Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa dla III roku WPPT

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa dla III roku WPPT
Zad.14. Udowodnić nierówność: dla każdego x ∈ R oraz m = 0, 1, 2, 3, ...
ix
e
m
X
(ix)k |x|m+1
−
.
¬
(m + 1)!
k=0 k!
Zad.15. Udowodnić: dla każdego zespolonego z spełniającego warunek |z| <
nierówność
| ln(1 + z) − z| ¬ |z|2 ,
1
2
zachodzi
gdzie ln oznacza gałąź główną logarytmu, to znaczy tę, dla której ln 1 = 0.
Zad.16. Wykazać, że uogólniony warunek Lapunowa: istnieje taka liczba δ > 0, że
n
1 X
lim 2+δ
E(|Xk − mk |2+δ ) = 0
n→∞ b
n
k=1
implikuje warunek Lindeberga.
Zad.17. Niech X1 , ..., Xn , ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
i niech X(n) oznacza największą z nich. Pokazać, że:
a) Jeżeli Xi mają rozkład Cauchy’ego, to
!
P
X(n)
¬ x → e−1/(πx) ,
n
b) Jeżeli Xi mają rozkład o gęstości f (x) =
x > 0.
√ 1 e−1//(2x) ,
2πx3
√
X(n)
− 2/(πx)
¬
x
→
e
,
n2
x > 0, to
!
P
−x
Zad.18. Sprawdzić, że funkcja e−e
x > 0.
dla x ∈ R, jest dystrybuantą.
Zad.19. Niech Σ będzie macierzą kowariancji niezdegenerowanego wektora losowego (X1 , ..., Xn ).
Pokazać, że Σ jest dodatnio określona. (Wsk. Feller, tom II, str. 82-83) Uwaga: Mówimy, że
wektor n-wymiarowy jest zdegenerowany, gdy jego rozkład jest miarą skupioną na podprzestrzeni liniowej wymiaru mniejszego niż n.
Zad.20. Niech σ3 będzie unormowaną do jedynki miarą powierzchniową na sferze jednostkowej w R3 . Obliczyć macierz kowariancji wektora o rozkładzie σ3 .
Uogólnienie♥: Jaka jest ta macierz dla wektora o rozkładzie σd na sferze w Rd ?
Zad.21. Niech (X1 , ..., Xn ) będzie wektorem o rozkładzie normalnym. Wykazać, że dla dowolnych liczb a0 , a1 , ..., an zmienna
a1 X1 + a2 X2 + ... + an Xn + a0
ma rozkład gaussowski na prostej. Znaleźć jej wartość oczekiwaną i wariancję. Umowa: funkcja stała też jest zmienną gaussowską, o wariancji σ 2 = 0.
Zad.22. Niech (X1 , ..., Xn ) będzie wektorem losowym o dowolnym rozkładzie. Wykazać, że
jeśli dla dowolnych liczb a0 , a1 , ..., an zmienna
a1 X1 + a2 X2 + ... + an Xn + a0
ma rozkład gaussowski na prostej, to wektor (X1 , ..., Xn ) ma n-wymiarowy rozkład normalny.
Wsk. Może najpierw wykazać to w R2 ?