B-biała kula, C-czarna kula

A5
a) ułożenie macierzy przejść (B-biała kula, C-czarna kula)
BC
(mając w ręce kulę białą trafiam do I urny gdzie są 2B i 2C kule
więc prawdopodobieństwa po 0.5)
[]
1
2
3
4
B
C
1
2
1
4
=P
( mając w ręce kulę czarną trafiam do II urny gdzie są 3B i 1C kule
więc prawdopodobieństwa odpowiednio 0.75 i 0.25)
b) badanie ergodyczności
1. Sposób- stosuję twierdzenie:
Tw.
Warunkiem dostatecznym ergodyczności łańcucha o skończonej liczbie stanów jest
istnienie liczby naturalnej n>=1 takiej, że chociaż jedna kolumna macierzy P^n składa się z samych
wyrazów dodatnich.
np. pierwsza kolumna spełnia ten warunek
[]
1
2
3
4
(minus tej metody, że niekoniecznie w pierwszej macierzy przejścia będzie taka sytuacja... ale tu
jest od razu)
2. Sposób- udowodnić, że łańcuch jest nieprzywiedlny (np. z grafu)
c) Obliczyć prawdopodobieństwo, że po wylosowaniu czarnej po następnych trzech
losowaniach będzie znowu czarna
wymnażamy macierz P 3 i wybieramy element P 22 (pierwsza dwójka bo startuję z czarnej,
druga bo interesuje mnie prawdopodobieństwo wypadnięcia czarnej)
P
3
=
0,59375
[0.609375
0.40625
0.390625
]
więc
3
P 22 =0.390625
d) obliczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że po 50 losowaniach będzie kula czarna
1. Udowodniliśmy, że łańcuch jest ergodyczny.
2. Zastosujemy tw. Ergodyczne.
3. Aby to zrobić potrzebny nam rozkład stacjonarny
=[a
b]
aby wyznaczyć a i b rozwiązujemy układ równań
∗p=
ab=1
{
}
2
b=
0.5a0.75b=a
5
0.5a 0.25b=b ostatecznie
3
ab=1
a=
5
więc macierz  (duże PI) powstanie poprzez złożenie dwóch wierszy  czyli
z twierdzenia ergodyczności
[ ]
3
= 5
3
5
2
5
2
5
n
p  dla n ∞
czyli w przybliżeniu możemy powiedzieć, że
p 50≈
więc aby obliczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że po 50 losowaniach będzie kula czarna
2
wystarczy wybrać z macierzy  element  i2= (i bo dowolny wiersz możemy wybrać, bo
5
wszystkie są takie same, a 2 ponieważ interesuje nas kula czarna)