Jak podczas rozwiązywania zadania tworzyć plan

Jak podczas rozwiązywania zadania tworzyć plan poczynań?
Znaczny procent zadań, z jakimi spotyka się młody człowiek zdający maturę z
matematyki, to zadania mające ciekawą charakterystykę: można w nich (nie wchodząc
w szczegółowe obliczenia) zaplanować krok po kroku czynności, jakie będzie się
wykonywać.
Najczęściej będą to zadania z parametrem, z geometrii analitycznej, płaskiej i
przestrzennej. Takie zadania zdarzają się w każdym innym dziale matematyki, choć już
rzadziej.
Przykłady.
1. Dla jakich wartości parametru m, każdy z dwóch różnych pierwiastków
równania x + mx + 4 = 0 jest mniejszy od 4?
Plan:
− ∆ > 0 - mają być dwa różne pierwiastki x1 , x 2
− oba pierwiastki większe od 4: x1 < 4 i x 2 < 4 , co daje x1 − 4 < 0 i x 2 − 4 < 0 .
Dwie liczby są ujemne, jeżeli ich suma jest ujemna, a iloczyn dodatni.
Należy wobec powyższych zapisów rozwiązać układ:
∆>0


 (x1 − 4 )(x 2 − 4 ) > 0
(x − 4 ) + (x − 4 ) < 0
2
 1
Po rozwiązaniu tego układu (w trakcie obliczeń wykorzystujemy wzory Viete’y),
otrzymamy rozwiązanie: m ∈ ( −5,−4) ∪ (4, ∞ )
2. Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej o równaniu f ( x ) = 2x 2 + x − 4 , wiedząc,
że styczna jest prostopadła do prostej o równaniu − x + 3y + 2 = 0 .
Plan:
1
2
x− .
3
3
y = −3x + b - bo jest prostopadła do danej prostej
− 3 = f ' ( x 0 ) , gdzie x 0 jest punktem styczności
− równanie
−
kierunkowe
danej
prostej:
y=
Równanie
stycznej:
− z ostatniego równania wyliczę x 0
− Do równania stycznej wstawię punkt styczności (x 0 , f ( x 0 )) i z otrzymanego
równania obliczę b.
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy rozwiązanie: y = −3x − 6
3. W trójkącie równoramiennym o podstawie 10, dwusieczna kąta przy podstawie
dzieli ramię na dwa odcinki, z których jeden, którego końcem jest wierzchołek
trójkąta, jest o 3 większy od drugiego.
Wyznacz długości promieni okręgów opisanych na powstałych trójkątach.
Plan:
− Za pomocą twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta obliczymy x:
x+3
x
=
2x + 3 10
− Promienie okręgów opisanych na ∆ABD i ∆ADC obliczymy za pomocą
twierdzenia sinusów:
x+3
a) opisany na ∆ABD z równania
= 2R 1
sin α
x
b) opisany na ∆ADC z równania
= 2R 2
sin α
− Potrzebujemy sin α .
h
W trójkącie AEC sin 2α =
, a h można wyliczyć za pomocą twierdzenia
2x + 3
Pitagorasa, bo mamy już wyliczone x.
Teraz sin α obliczymy z układu równań:
h

 2 sin α cos α = 2x + 3
 2
2
sin α + cos α = 1

W wyniku obliczeń uzyskamy wyniki:
x = 6 , h = 10 2 ,
sin α =
1+
2 2
2 2
2 2
2 2
1+
+ 1−
− 1−
3
3 lub sin α =
3
3
2
2
2 2
2 2
1+
+ 1−


2
3
3 ≈ 0,816
 , dlatego sin α =
czyli sin α ∈  0,

2
 2 
 2

odrzucamy 
≈ 0,707  . Otrzymaną wartość sin α należy teraz użyć do obliczenia
 2

długości promieni.
 π
α ∈  0,  ,
 4