1 Uzupeanienie ! dyfeomorfizm, jakobian, zami! ana zmiennych w

1
Uzupe÷
nienie - dyfeomor…zm, jakobian, zamiana zmiennych w ca÷
ce Riemanna
Niech G Rk bedzie
¾
zbiorem otwartym, f : G ! Rm . Macierza¾ Jacobiego
odwzorowania f w punkcie p nazywamy macierz pochodnych czastkowych
¾
h
i
fixj (p)
2
3
@f1
: : : @x
(p)
k
5
::: :::
= 4 :::
@fm
@fm
@x1 (p) : : :
@xk (p)
0
i m;j k
@f1
@x1
(p)
Jez·eli m = k, to wyznacznik macierzy Jacobiego
2
3
@f1
(p) : : : @x
(p)
k
@ (f1 ; : : : ; fk )
5
::: :::
Jf (p) =
(p) = det 4 : : :
@ (x1 ; : : : ; xk )
@fk
@fk
@x1 (p) : : :
@xk (p)
f
@f1
@x1
nazywamy jakobianem odwzorowania f . Jez·eli f jest bijekcja¾ taka,
¾ z·e f i
sa¾ klasy C (1) , to mówimy, z·e f jest dyfeomor…zmem.
1
Twierdzenie: a) Odwzorowanie odwrotne do dyfeomor…zmu jest dyfeomor…zmem.
b) Z÷
oz·enie dwóch dyfeomor…zmów jest dyfeomor…zmem.
c) Jez·eli f jest dyfeomor…zmem, to Jf (x) 6= 0 dla wszystkich x. Ponadto
Jf
1
(f (x)) =
1
.
Jf (x)
Twierdzenie (o zamianie zmiennych w ca÷ce Riemanna) Niech U; V
Rk
bed
¾ a¾ zbiorami otwartymi, ' : U ! V dyfeomor…zmem, D V zbiorem takim,
z·e D i ' 1 (D) sa¾ mierzalne oraz jakobian J' jest ograniczony na ' 1 (D).
Wówczas dla dowolnej funkcji ciag÷
¾ ej f : D ! R zachodzi równość
Z
Z
f=
(f ') jJ' j .
D
'
1 (D)
1