Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista zadań nr 9 (2-7.12.2009)
Cechy podzielności liczb
1. Wykazać, że liczba ABCD jest podzielna przez 99 wtedy i tylko wtedy, gdy
suma AB + CD jest podzielna przez 99.
2. Udowodnić, że liczba trzycyfrowa ABC jest podzielna przez 7, jeżeli
3A + B = 2C.
3. Cecha podzielności liczb naturalnych przez 4.
(a) Liczba naturalna jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy dwucyfrowa końcówka jej zapisu dziesiętnego jest podzielna przez 4.
(b) Liczba dwucyfrowa AB jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy
liczba 2A + B dzieli się przez 4.
4. Dana jest liczba naturalna w zapisie dziesiętnym. Odrzucamy ostatnią cyfrę
i od otrzymanej liczby odejmujemy dwukrotność odrzuconej cyfry. Z liczbą
otrzymaną w ten sposób postępujemy analogicznie, i tak dalej, aż uzyskamy
liczbę nie większą od 10. Udowodnić, że liczba dana na początku jest podzielna
przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba otrzymana na końcu jest podzielna
przez 7.
5. Cechy podzielności liczb naturalnych przez 3 i 9.
6. Niech A = 44444444 , zaś B jest sumą cyfr liczby A, C jest sumą cyfr liczby B
i D jest sumą cyfr liczby C. Ile wynosi D?
7. Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, których sumy cyfr są podzielne
przez 7?
8. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby
12 + 22 + 32 + . . . + 20092.