Ćwiczenie 10 - Instytut Inżynierii Biomedycznej i Pomiarowej

Ćwiczenie 10 - Instytut Inżynierii Biomedycznej i Pomiarowej

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, WYDZIAŁ PPT
LABORATORIUM Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI 2
Ćwiczenie nr 10.
Dwójniki RLC, rezonans elektryczny
I-21
Cel ćwiczenia:
Podstawowym celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów właściwościami elementów
reaktancyjnych oraz ze zjawiskiem rezonansu elektrycznego. Zastosowanie przyrządów
pomiarowych a zwłaszcza oscyloskopu umożliwia lepsze opanowanie zasad ich obsługi i
realizowania pomiarów z ich udziałem.
1. Wprowadzenie w tematykę ćwiczenia
Trzy podstawowe elementy bierne obwodów elektrycznych to oporność, indukcyjność oraz
pojemność elektryczna. Ich symbole stosowane przy rysowaniu schematów obwodów
elektrycznych przedstawia rysunek 1. Każdy z tych elementów ma wyprowadzone na zewnątrz
dwie końcówki (1 – 1’), dlatego często bywa nazywany dwójnikiem. Dwójnikiem jest również
połączenie większej liczby elementów, jeżeli na zewnątrz te połączone elementy mają
wyprowadzone tylko dwie końcówki. Mówimy wtedy o dwójnikach wieloelementowych
(dwuelementowe, trójelementowe itd.).
Dwójniki jednoelementowe
a)
b)
R
1
1'
Oporność
c)
L
1'
1
Indukcyjność
1
d)
L
1'
Indukcyjność z rdzeniem
C
1
1'
Pojemność
e)
U = RI
q = Cu
Φ = Li
Rys. 1. Symbole dwójników - jednoelementowych; U – napięcie na oporności, R – oporność, I – prąd stały płynący
przez opornik, φ - strumień magnetyczny, L – indukcyjność, i – chwilowa wartość prądu płynącego przez indukcyjność,
q – ładunek elektryczny zgromadzony w pojemności elektrycznej, C – pojemność elektryczna, u – wartość chwilowa
napięcia występującego na pojemności elektrycznej
O dwójniku mówimy, że jest liniowy jeżeli dla elementów R, L, C, wchodzących w jego skład,
zachodzą zależności podane na rysunku 1e. Jeżeli dwójnik nie posiada elementów przetwarzających
energię elektryczną na ciepło (oporności R) to taki dwójnik nazywa się dwójnikiem reaktancyjnym.
Dwójniki zawierające element R nazywają się dwójnikami ze stratami. Dwójnik zawierający źródła
wytwarzające czynną moc elektryczną (źródła napięć lub prądów stałych bądź zmiennych)
nazywamy dwójnikiem aktywnym. Dwójniki bez takich źródeł mocy czynnej to dwójniki pasywne.
W niniejszym ćwiczeniu i w dalszej części instrukcji omawiane są liniowe dwójniki pasywne,
wieloelementowe.
Idealna oporność zachowuje stałą wartość nie zależnie od częstotliwości sygnału. Inaczej jest w
przypadku indukcyjności i pojemności elektrycznej. Wartość oporu, jaki te elementy obwodu
elektrycznego stawiają przy przepływie przez nie prądu zmiennego zależy od częstotliwości tego
sygnału. W przypadku indukcyjności ich opór wrasta proporcjonalnie do wartości częstotliwości
(XL- reaktancja indukcyjna), natomiast w przypadku pojemności elektrycznej (XC- reaktancja
pojemnościowa) jej oporność maleje odwrotnie proporcjonalnie do częstotliwości (rysunek 2a).
Ponadto (rysunek 2b):
• W przypadku oporności prąd zmienny płynący przez oporność i wywołany na tej oporności
spadek napięcia są w fazie (kąt przesunięcia między wektorem prądu a wektorem napięcia jest
równy zero).
• W przypadku indukcyjności najpierw na niej pojawia się spadek napięcia a dopiero później
zaczyna przepływać przez indukcyjność prąd (wektor napięcia wyprzedza wektor prądu o kąt
plus 900).
• W przypadku pojemności elektrycznej najpierw zaczyna przez nią przepływać prąd a dopiero
Strona 1 z 6
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, WYDZIAŁ PPT
LABORATORIUM Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI 2
Ćwiczenie nr 10.
Dwójniki RLC, rezonans elektryczny
I-21
później pojawia się napięcie (wektor napięcia jest opóźniony w stosunku do wektora prądu o kąt
minus 900).
R
L
C
XL(f)
R(f)
a)
XL(f)
a)
a)
R
XC =
1
ωC
X L = ωL
0
b)
1
0
lgf
uR
i
1'
b)
1
uL
i
b)
1'
lgf
uC
i
1
1'
L
R
kierunek
wirowania
wektorów; UR, I
c)
0
lgf
c)
UR
C
kierunek
wirowania
wektorów; UL, I
UL
90o
90o
uR, i
I
I
uL, i
u R = Ri
UC
c)
di
uL = L
dt
u ,i
C
I
kierunek
wirowania
wektorów; UC, I
i=C
du C
dt
Rys. 2. Podstawowe właściwości dwójników jednoelementowych R, L, C; (a) wartość oporności elementu w funkcji
częstotliwości; (b) symbol elementu i chwilowe wartości prądu i oraz napięcia uR lub uL lub uC; (c) zależności kątowe
między wektorem prądu I oraz wektorem napięcia U.
Powyżej podane relacje zachodzące między wartością chwilową prądu a wartością chwilową
napięcia w odniesieniu do danego elementu (dwójnika jednoelementowego) wynikają z poniżej
podanych zależności różniczkowych:
Jeżeli wartość chwilowa prądu jest równa
i = I m sin(ω ⋅ t)
(1)
to chwilowa wartość spadku napięcia na oporniku jest
u R = Ri = R I m sin(ω ⋅ t)
(2)
natomiast chwilowa wartość napięcia na indukcyjności jest
uL = L
oraz chwilowa wartość napięcia na pojemności jest
uC =
π
di
= ω ⋅ L I m sin(ω ⋅ t + )
2
dt
(3)
1 t
1
π
∫ idt = ω ⋅ C I m sin(ω ⋅ t − 2 )
C0
(4)
Stosując zapis symboliczny (liczby zespolone) powyższe zależności zapisane w postaci wektorowej
są następujące; dla oporności UR = RI, indukcyjności UL = jωLI oraz pojemności UC = - j[1/(ωC)]I.
W ogólnym przypadku gałąź obwodu elektrycznego jest utworzona przez szeregowe połączenie
dwójnika rezystancyjnego R oraz dwójników reaktancyjnych L i C. Charakteryzuje ją wielkość
fizyczna jaką jest impedancja. Wielkość ta jest wielkością wektorową. Oznacza się ją symbolem Z.
Szeregowe połączenie dwójników R i L. Tworzy ono dwójnik stratny. Impedancja tego dwójnika ma
postać: Z = R + jωL = R + jXL = |Z|ejϕ. Impedancja zespolona Z, rezystancja R oraz reaktancja
indukcyjna XL tworzą na płaszczyźnie trójkąt impedancji (rys. 3).
X L = ωL
R
1
1'
+
1
Im Z
Z = R + j XL
1'
1
1'
R
Z=
X
+j
R
L
X L = ωL
Re Z
Rys. 3. Dwójnik RL, trójkąt impedancji
Strona 2 z 6
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, WYDZIAŁ PPT
LABORATORIUM Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI 2
Ćwiczenie nr 10.
Dwójniki RLC, rezonans elektryczny
I-21
Podobnie jak w przypadku impedancji, można dla dwójnika jak na rysunku 3, zbudować; trójkąt
prądu, trójkąt napięcia (rys. 4) oraz trójkąt mocy (rys. 5). Przy konstrukcji trójkąta prądu i napięcia
przyjęto, że faza początkowa napięcia na zaciskach dwójnika RL jest równa zero. Zależności
między prądami w elementach dwójnika i napięciami na elementach dwójnika mają postać:
I = I cz + j I b = I (cosϕ − jsinϕ )
(5),
U = U cz + j U b = U (cosϕ + jsinϕ )
(6)
I cz = ReI = I cosϕ
(7),
U cz = Re U = U cosϕ
(8)
I b = ImI = − I sinϕ
(9),
U b = ImU + U sinϕ
(10)
a)
b)
R
I
1
c)
X L = ωL
1'
Icz
Ucz
Ib
U
Icz
ϕ
Ub
U
Ib
I
ϕ
Ub
Ucz
Rys. 4. Szeregowe połączenie oporności R oraz indukcyjności L; (a) elementy dwójnika oraz prądy płynące przez
dwójnik i jego elementy oraz napięcie występujące na dwójniku i jego elementach; (b) trójkąt prądów dla dwójnika RL;
(c) trójkąt napięć dla dwójnika RL; Icz, Ucz, - prąd czynny i napięcie czynne (związane z elementem R), Ib, Ub – prąd
bierny i napięcie bierne (związane z elementem L), I, U – prąd dwójnika i napięcie na zaciskach dwójnika
a)
b)
c)
2
Z
+
=R
ϕ
jX L
S=
X L = ωL
I
Z⋅
Q = X⋅ I
ϕ
R
P=R⋅ I
2
P = U ⋅ I ⋅ cosϕ = R I
2
Q = U ⋅ I ⋅ sinϕ = X I
2
S= U⋅I = Z⋅I
2
2
Rys. 5. Trójkąt mocy w przypadku szeregowego dwójnika RL; (a) trójkąt impedancji; (b) trójkąt mocy; (c) zależności
na moc czynną P, moc bierną Q, moc pozorną S
Rezonans w obwodach prądu sinusoidalnego. Zjawisko rezonansu w obwodzie elektrycznym może
wystąpić, jeżeli w tym obwodzie są jednocześnie włączone; element reaktancyjny indukcyjny
(cewka indukcyjna) oraz element reaktancyjny pojemnościowy (pojemność elektryczna –
kondensator). Jest to możliwe zarówno przy szeregowym połączeniu elementów (szeregowy obwód
rezonansowy) ja również przy równoległym połączeniu elementów (równoległy obwód
rezonansowy). W szeregowym obwodzie rezonansowym występuje tak zwany rezonans napięć,
natomiast w równoległym obwodzie rezonansowym rezonans prądów. W dalszej części instrukcji
omawiany będzie szeregowy obwód rezonansowy (rys. 6).
a)
Źródło
Wymuszenia
b) Wektory napięć na
elementach obwodu
UL
UR
R
Odpowiedź i = I m sinω ⋅ t
C
u = Um sin(ω⋅ t + ϕ)
U R = RI
L
Obwód rezonansowy
UC
U L = jω ⋅ LI
1
UC = − j
I
ωC
Rys. 6. Szeregowy obwód rezonansowy; (a) obwód i źródło wymuszające przepływ prądu; (b) wektory napięć
Strona 3 z 6
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, WYDZIAŁ PPT
LABORATORIUM Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI 2
Ćwiczenie nr 10.
Dwójniki RLC, rezonans elektryczny
I-21
Z trójkątów napięcia (rys. 4c) i prądu (rys. 4b) wynika, że na cewce idealnej napięcie wyprzedza
prąd o kąt prosty (π/2) a na idealnej pojemności napięcie opóźnia się w fazie względem prądu też o
kąt prosty (π/2). Napięcia na indukcyjności i pojemności mają charakter napięć biernych – tej
energii nie można wykorzystać do wykonania pracy. Jedynie napięcie na idealnym oporniku jest
napięciem czynnym – a więc związanym z energią, która może wykonać pracę.
Zjawisko rezonansu napięć w gałęzi szeregowej polega na tym, że przy pewnej, ściśle
określonej częstotliwości nazywanej częstotliwością rezonansową obwodu napięcia na
indukcyjności obwodu (napięcie UL ) i pojemności obwodu (napięcie UC )są sobie równe co do
wartości, przeciwnie skierowane i wielokrotnie większe od napięcia wymuszenia. Równość
modułów tych napięć i przeciwny zwrot wektorów tych napięć powoduje, że napięcia te się
kompensują przy częstotliwości rezonansowej. Warunek ten można zapisać jako:
U L + UC = 0
(11)
1
)⋅I = 0
ω0 C
lub inaczej
(ω0 L −
a to oznacza, że pulsacja
ω0 = 2π ⋅ f 0 =
i częstotliwość rezonansowa
f0 =
(12)
1
(13)
LC
1
(14)
2π LC
Z zależności (14) widać, że częstotliwość rezonansowa zależy tylko od wartości indukcyjności
cewki i wartości pojemności kondensatora ( f0 w Hercach, jeżeli L w Henrach a C Faradach). W
czasie rezonansu obwodu szeregowego, reaktancja wypadkowa obwodu jest równa zero a wartość
prądu płynącego w obwodzie jest maksymalna a ponadto prąd jest wtedy w fazie z napięciem. W
czasie rezonansu wartość prądu płynącego w obwodzie jest określona równaniem:
U
I=
R + j(ω0 L −
1
)
ω0 C
=
U
R
(15)
Wartość prądu płynącego przy innej częstotliwości niż częstotliwość rezonansu określa również
równanie (15) tylko z wstawioną aktualną wartością częstotliwości. Wykres wartości prądu
płynącego w obwodzie w funkcji częstotliwości sygnału wymuszenia ma charakterystyczny kształt
noszący nazwę krzywej rezonansowej (rys. 7). Podobny kształt ma krzywa reprezentująca zmianę
wartości spadku napięcia na kondensatorze (lub cewce indukcyjnej) w funkcji częstotliwości
sygnału wymuszenia.
Rodzina
krzywych
rezonansu
1
I
I0
Q - dobroć obwodu rezonansowego
I - prąd w obwodzie przy innej częstotliwości
niż częstotliwość rezonansu
Q
I0 - prąd w obwodzie przy częstotliwości
rezonansu
f
f0
Rys. 7. Znormalizowane krzywe rezonansu dla szeregowego obwodu rezonansowego
Impedancja charakterystyczna szeregowego obwodu rezonansowego, dobroć obwodu. Z warunku
rezonansu XL = XC można wyznaczyć, że
ω0 L =
1
=
ω0 C
Strona 4 z 6
L
. Wyznaczona wartość nosi nazwę
C
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, WYDZIAŁ PPT
LABORATORIUM Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI 2
Ćwiczenie nr 10.
Dwójniki RLC, rezonans elektryczny
I-21
impedancji charakterystycznej obwodu rezonansowego. Dla obwodu rezonansowego jest
zdefiniowana jeszcze jedna wielkość charakterystyczna – tak zwana dobroć obwodu
rezonansowego. Dobroć obwodu rezonansowego jest określona stosunkiem energii zgromadzonej w
czasie rezonansu w obwodzie rezonansowym do energii traconej w tym obwodzie w czasie jednego
okresu. Pod pojęciem energii zgromadzonej w obwodzie rozumiana jest energia zgromadzona pod
postacią pola magnetycznego w cewce oraz pola elektrycznego w kondensatorze. Pod pojęciem
energii traconej rozumie się całkowitą energię rozpraszana w obwodzie (zamiana na ciepło,
wypromieniowanie itp.). Podstawowe zależności energetyczne w szeregowym obwodzie
rezonansowym podano na rysunku 8.
Energia pola magnetycznego cewki Energia pola elektrycznego kondesatora
Energia strat za okres
1 2 1
WL
WR
Wc
Oscyluje
Energia
zgromadzona
w układzie
WL =
Energia
Wukł = WL + WC =
2
L I m sin 2 ω0 t
Li =
2
2
1 2 1
2
WC = u c = C UCm cos 2 ω 0 t
2
2
tracona w okresie WR (T) = R I 2 T
1
L Im
2
2
=
1
C UCm
2
2
= (WL )max = (WC )max
Rys. 8. Zależności energetyczne występujące w rezonansowym układzie R, L, C. Energie WL i WC oscylują
przechodząc na przemian z energii pola magnetycznego cewki w energię pola elektrycznego kondensatora. Suma
energii (WL+WC) jest w każdej chwili w danym obwodzie wielkością stałą. W czasie jednego okresu oscylacji część
energii (WR(T)) jest tracona.
2. Pomiary oporności i reaktancji dwójnika (metoda trzech woltomierzy)
W przypadku dwójników R, L jak i dwójników R, C możliwe jest określenie wartości oporności i
reaktancji takiego prostego dwójnika (rys. 9a). Układ pomiarowy zawiera oprócz elementów
mierzonego dwójnika trzy woltomierze (rys. 9b). Woltomierze te muszą pracować poprawnie w
zakresie częstotliwości pomiarów. Zalecane jest, aby oporności wewnętrzne tych woltomierzy były
znacznie większe od wartości oporności rezystancji R dwójnika oraz modułu impedancji Z.
a)
b)
V3
Oporność resztkowa cewki indukcyjnej
1
R
2
RL
L
V1
3
1
Cewka indukcyjna
V2
R 2
L
3
Z = RL2 + (ω ⋅ L)2 = RL2 + XL2
Generator
Rys. 9. Pomiar oporności czynnej i biernej trzema woltomierzami; (a) rzeczywista cewka indukcyjna zawierająca
oprócz rezystancji indukcyjności L, oporność resztkowa RL połączona w szereg z opornikiem R; (b) Sposób
podłączenia woltomierzy do układu elementów dwójnika.
Pomiar wartości indukcyjności L i oporności resztkowej RL wymaga określenia oporności opornika
R. Można zastosować opornik wzorcowy lub zmierzyć wartości tego opornika w inny sposób na
przykład przy prądzie stałym, jednak wartość jego oporności nie może zmienić się znacząco przy
częstotliwości pomiaru wartości indukcyjności L. Wyjaśnienie zasady pomiaru trzema
Strona 5 z 6
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, WYDZIAŁ PPT
LABORATORIUM Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI 2
Ćwiczenie nr 10.
Dwójniki RLC, rezonans elektryczny
I-21
woltomierzami należy szukać na rysunku 3 oraz rysunku 4.
3. Wykonanie ćwiczenia
Dwójniki R, L, C; rezonans elektryczny
Generator
f
Zasilanie obwodu R, L, C
Upp
Y1 Y2
Zasilanie obwodu R, L
Oscyloskop
L1
HI
1
L2
2
3
6
C1
L2
4
R2 L2
R3 L2
HI
C2
R1 L2
5
1
IBIP
3.325 V
Woltomierz
C1
C2
2
C2
C2
Pomiar napięcia UC
Generator
HI
ACV
Com
V
3
Dwójnik R, L
1.0895 kHz
Częstościomierz
Rys. 10. Ilustracja połączeń przyrządów na stanowisku pomiarowym
1. Na stanowisku laboratoryjnym złożyć układ pomiarowy jak na rysunku 10. Ustawić
amplitudę sygnału sinusoidalnego z generatora na poziomie 1V. Zmieniając wartość
częstotliwości generowanego sygnału określić właściwości różnych wariantów obwodu
rezonansowego (częstotliwość rezonansu, krzywe rezonansu, dobroć obwodu, energię
zgromadzoną w obwodzie.
2. Przełączyć generator z zasilania obwodu R, L, C na zasilanie Dwójnika R, L. Do zacisków
1, 2, 3 dwójnika R, L dołączyć trzy woltomierze realizując układ pomiarowy jak na rysunku
9b. Sygnał z generatora można obserwować na jednym z kanałów oscyloskopu.
Częstotliwość sygnału ustawić posługując się odczytem z częstościomierza (zalecana
częstotliwość f = 1 kHz). Zmierzyć wartość opornika R. Wyliczyć wartość reaktancji cewki
indukcyjnej oraz jej oporność resztkową RL.
3. Wyniki opracować i zamieścić w sprawozdaniu.
4. Pytania kontrolne
1. Omów właściwości idealnych elementów R, L, C.
2. Omów właściwości dwójników R, L oraz R, C w połączeniu szeregowym i równoległym (wykresy wektorowe).
3. Elementy R, L, C w połączeniu szeregowym i równoległym. Zjawisko rezonansu elektrycznego. Wykres
wektorów. Krzywa rezonansu, właściwości selektywne obwodu rezonansowego, zależności energetyczne, dobroć
obwodu rezonansowego?
4. Pomiary właściwości dwójników R, L oraz R, C metodą techniczną (trzy woltomierze, trzy amperomierze).
Zależności energetyczne, moc czynna, moc bierna.
5. Literatura
[1] B. Konorski.: Podstawy elektrotechniki. PWN Warszawa 1967
[2] T. Cholewicki.: Elektrotechnika teoretyczna. WNT Warszawa 1967
[3] J. Rydzewski.: Pomiary oscyloskopowe. WNT, Warszawa 1994
[4] A. Jelonek, Z. Karkowski.: Miernictwo radiotechniczne. WNT, Warszawa 1972, wydanie IV
Opracował: dr inż. Piotr Ruszel
Instytut Inżynierii Biomedycznej i Pomiarowej Wydziału PPT Politechniki Wrocławskiej
Strona 6 z 6