Porównywanie mocy zbiorów

Porównywanie mocy zbiorów
Wszyscy intuicyjnie czujemy, czym jest zbiór. A jeśli mielibyśmy podać ścisłą definicję? No
właśnie, tu pojawia się problem – jak mogłaby wyglądać definicja zbioru. W szkole z
pewnością wiele mówiono nam o tym, że zbiór to jest ‘dużo różnych rzeczy’. Niestety, dla
matematyków, a w szczególności dla teoriomnogościowców1, definicja taka jest
niewystarczająca. Jak więc rozwiązali problem znalezienia dobrej definicji dla pojęcia zbioru?
Otóż stwierdzili, że zbiór jest pojęciem niedefiniowalnym, danym za pomocą relacji ∈ oraz
pewnych podstawowych własności, czyli aksjomatów.
To, że nie można podać ogólnej definicji dla pojęcia zbioru, nie przeszkadza nam
zadowalająco definiować konkretnych zbiorów. Najczęściej definicje takie piszemy w ten
sposób:
X = {x ∈ Z : W ( x )}
Co to oznacza? Otóż tyle, że zbiór X, to takie elementy Z, które mają własność W. Na
przykład zbiór Y = {1,2,3,4,5} można zdefiniować w ten sposób: Y = {x ∈ Z : 0 < x < 6} .
Skoro wiemy już, czym jest zbiór, to zastanówmy się nad następującą rzeczą: jak określić, czy
dwa zbiory są tak samo duże? Najpierw zastanówmy się, co to znaczy, że zbiór jest duży albo
mały. Zapewne będzie nam chodzić o liczbę jego elementów. Ilość elementów zbioru
będziemy nazywać mocą zbioru. Moc zbioru X będziemy oznaczać następująco: X .
Policzenie mocy zbioru skończonego nie nastręcza większych trudności, dla przykładu
{1,2,3,4,5} = 5 . Co jednak w przypadku zbiorów nieskończonych? Jak określić ich
liczebność?
Ale zanim powiemy o zbiorach nieskończonych zatrzymajmy się jeszcze na chwilę przy
zbiorach o skończonej liczebności. Jak łatwo określić, czy dwa zbiory są równoliczne (tj. są
tej samej mocy) czy może któryś ma więcej elementów, a jeśli tak, to który?
Jak nakazują odgórne kuratoryjne zarządzenia należy podać przykład z życia. Wyobraźmy
sobie, że jesteśmy na wielkim balu. I jak to zwykle bywa na takich balach musimy określić,
czy więcej jest na nim pań czy panów. Jak to zrobimy? Moglibyśmy policzyć ilość jednych a
potem drugich i porównać, ale to dość kłopotliwe. Dużo szybciej uzyskalibyśmy
satysfakcjonującą nas odpowiedź, gdybyśmy krzyknęli „A teraz panowie proszą panie do
tańca!”. Kiedy wszystkie pary tańczą my możemy zobaczyć, czy zabrakło par dla pań, panów
czy może dla nikogo. Łatwo już wtedy stwierdzić, który ze zbiorów (pań czy panów) jest
większej mocy.
No dobrze, wróćmy do naszych zbiorów. Jaki wniosek można wysnuć dla nich z tej
pouczającej opowieści? Otóż chcąc porównywać moce zbiorów należy ich elementy dobierać
1
Teoria mnogości jest to dziedzina matematyki zajmująca się zbiorami.
w pary aż do wyczerpania jednego zbioru – ten, którego elementy zostaną, jest większej
mocy.
Możemy zatem sformułować następującą definicję równoliczności zbiorów:
Definicja
O dwóch zbiorach A i B powiemy, że są równoliczne, jeżeli istnieje między nimi bijekcja.
Równoliczność zbiorów oznaczamy A = B . Można też pisać A~B.
Wyjaśnijmy teraz, co mówi ta definicja. Stanowi ona sformalizowanie tego, co
powiedzieliśmy wcześniej – dwa zbiory są równoliczne, jeśli ich elementy można dobrać w
pary. To właśnie skrywa się pod pojęciem ‘bijekcja’. Mówiąc nieco bardziej ściśle bijekcja
jest to funkcja różnowartościowa i na. Spróbujmy wyjaśnić i te dwa pojęcia.
Definicja
O funkcji f : A → B powiemy, że jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi
następująca implikacja: f ( x1 ) = f (x 2 ) ⇒ x1 = x 2 . Funkcję różnowartościową oznaczamy:
1−1
f : A →
B.
Mówiąc bardziej zrozumiałym językiem – funkcja różnowartościowa różnym argumentom
przyporządkowuje różne wartości.
Definicja
O funkcji f : A → B powiemy, że jest funkcją na wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości
na
jest całym zbiorem B. Funkcję na oznaczamy f : A →
B.
Oznacza to, że przeciwdziedzina funkcji na jest równa jej zbiorowi wartości.
1−1
Wprowadźmy jeszcze następujące oznaczenie dla bijekcji: f : A →
B.
na
Umiemy zatem określić, kiedy dwa zbiory są równoliczne. A jak określić, że któryś ze
zbiorów ma więcej elementów niż drugi? Przyjrzyjmy się następującej definicji:
Definicja
Moc zbioru A jest mniejsza od mocy zbioru B (ozn. A < B ) wtedy i tylko wtedy, gdy moce
te są różne (ozn. A ≠ B ) oraz moc zbioru A jest równa mocy pewnego podzbioru zbioru B.
Wyjaśnijmy jeszcze tylko, czym jest podzbiór:
Definicja
Podzbiorem zbioru A nazywamy taki zbiór B, że spełniony jest następujący warunek:
∀x∈B ⇒ x∈ A.
x
Oznacza to, że do zbioru B należą pewne elementy zbioru A i żadne inne. W szczególności
zbiór B może być zbiorem pustym lub zbiorem A.
Chcąc zatem wykazać, że jakieś dwa zbiory są równoliczne, będziemy starali się
skonstruować bijekcję ustanawiającą tę równoliczność. Z kolei chcąc pokazać, że jeden ze
zbiorów jest mniejszy od drugiego będziemy pokazywać, że taka funkcja nie istnieje.
Zauważmy teraz, że każdemu zbiorowi skończonemu możemy przypisać liczbę określającą
jego moc. Liczbę tę będziemy nazywać liczbą kardynalną. Liczby kardynalne zaczynają się
od 0 (moc zbioru pustego) i wyrażają się kolejnymi liczbami naturalnymi 0, 1, 2, …, n, ….
Czy ciąg ten ma jakiś koniec? Tu dochodzimy do postawionego dawno (bo aż półtorej strony
temu) pytania – jak porównywać zbiory nieskończone?
Jako pierwszy problem ten postawił w drugiej połowie XIX wieku twórca teorii mnogości,
niemiecki matematyk – Georg Cantor. Zauważył on, że najmniejszą nieskończoną liczbą
kardynalną jest moc zbioru liczb naturalnych, oznaczona przez niego przez ℵ0 (czyt. alef
zero).
Spostrzeżenie to stawia przed nami dwa pytania: czy istnieją inne zbiory o mocy ℵ0 oraz czy
istnieją zbiory o większej mocy? Odpowiedzi na oba te pytania są twierdzące.2
Przykładem zbioru o mocy równej mocy zbioru liczb naturalnych jest zbiór liczb parzystych.
Skonstruujmy bijekcję ustalającą tę równoliczność. Zbiór liczb naturalnych oznaczać
będziemy przez N, zbiór liczb parzystych przez P. Szukana bijekcja wygląda zatem
następująco:
1−1
f :N 
→
P dana wzorem f (n ) = 2n . Dowód faktu, że funkcja spełnia wymagane warunki
na
pozostawiamy Czytelnikowi jako proste ćwiczenie.
Innym przykładem zbioru równolicznego ze zbiorem liczb naturalnych jest zbiór liczb
naturalnych bez 0. Spójrzmy na następującą konstrukcję:
1−1
{1,2,3,...}dana wzorem f (n ) = n + 1 . I znów dowód faktu, że f spełnia nasze
f :N 
→
na
kryteria pozostawimy Czytelnikowi.
Dochodzimy zatem do zaskakującego wniosku – jeśli zbiór jest nieskończony to może być
równoliczny z pewnym swoim podzbiorem właściwym (właściwym, czyli różnym od całego
zbioru). W przypadku zbiorów skończonych taka równoliczność nie może mieć miejsca.
Zauważmy ponadto, że zbiór jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, jeśli jego
elementy mogę ustawić w ciąg nieskończony – każdy bowiem taki ciąg mogę ponumerować
liczbami naturalnymi, co ustanowi równoliczność.
Pokażemy teraz, że również zbiór liczb całkowitych również jest równoliczny ze zbiorem
liczb naturalnych. Ustawmy elementy zbioru liczb całkowitych w ciąg: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, …
Pewnie ciężko w to uwierzyć. Na wszelki wypadek podajmy jeszcze funkcję, która ustala tę
równoliczność3:
2
3
Liczby kardynalne numeruje się kolejnymi alefami: ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 ,...
Na moim kółku, podobnie jak na całym świecie z wyjątkiem polskich szkół, zbiór liczb całkowitych oznacza
się literą Z, zbiór liczb wymiernych literą Q, a zbiór liczb zespolonych C. Polacy przyzwyczaili się najwyraźniej
do myślenia, że jak sobie coś zrobią w swoim Kaczym Gródku, to tak samo ma być wszędzie…
1−1
f :Z 
→
N dana wzorem
na
f (k ) = 2 k − 1 dla k ∈ (− ∞,0]
f (k ) = 2k
dla k ∈ (0,+∞ )
To jednak nie jest koniec zbiorów równolicznych ze zbiorem liczb naturalnych. Innym takim
zbiorem jest zbiór liczb wymiernych. W tym jednak wypadku dowód nie jest już aż taki
prosty. Zróbmy więc wszystko w sposób ścisły i formalny:
Twierdzenie
Zbiór liczb wymiernych Q jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Dowód
Wiemy już, że zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Jeżeli
więc wykażemy, że zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych
otrzymamy żądaną tezę.
W dowodzie pokażemy, że zbiór liczb wymiernych dodatnich jest równoliczny ze zbiorem
liczb całkowitych dodatnich. Oba zbiory są symetryczne względem 0 na osi liczbowej, zatem
uzyskany wynik ustali ich równoliczność.
Każda dodatnia liczba wymierna daje się przedstawić w postaci pary liczb całkowitych
dodatnich, z których jedna reprezentuje licznik, a druga mianownik ułamka będącego liczbą
wymierną. Ustawmy więc liczby wymierne w ciąg według następującej zasady – na początku
stawiamy liczbę, której suma licznika i mianownika jest równa 2. Następnie dwie liczby,
których suma licznika i mianownika jest równa 3, następnie 3 liczby o sumie licznika i
mianownika równej 4 itd. W ten sposób ustawiliśmy dodatnie liczby wymierne w ciąg. Na
mocy tego, co powiedzieliśmy na początku dowodu stwierdzamy, że otrzymaliśmy tezę.
CBDO
Uwaga
Ciąg, w który ustawiamy liczby wymierne w powyższym dowodzie wygląda w ten sposób:
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
, , , , , , , , , , , , , , ,... Zauważmy, że niektóre liczby pojawiają się w nim
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1
2 3
kilkakrotnie, np. 1 = = = ... , co nie stanowi większego problemu.
2 3
Jak na razie wszystkie rozważane przez nas zbiory liczbowe były równoliczne ze zbiorem
liczb naturalnych. Może więc wszystkie zbiory nieskończone są z nim równoliczne? Tak
dobrze niestety nie jest. Pokażemy teraz, że zbiór liczb rzeczywistych ma liczbę kardynalną
większą niż ℵ0 . Wykażemy mianowicie, że liczb rzeczywistych nie da się ponumerować w
całości liczbami naturalnymi.
Twierdzenie
R > ℵ0
Dowód
na
Pokażemy, że nie istnieje funkcja f : N →
R . Zauważmy, że możemy się w tym celu
4
ograniczyć do znacznie mniejszego zbioru niż R, mianowicie do przedziału (0,1] . Innymi
na
(0,1] , co w oczywisty sposób dowiedzie tezy.
słowy wykażemy, że nie istnieje f : N →
Załóżmy przeciwnie – przyjmijmy mianowicie, że taki ciąg istnieje. Spróbujmy wypisać
wszystkie liczby wchodzące w skład tego ciągu.
W tym miejscu pozwolimy sobie na drobną uwagę – każda liczba rzeczywista ma rozwinięcie
dziesiętne – skończone lub nieskończone. O ile rozwinięcia nieskończonego nie mogę
zamienić w skończone, o tyle każde rozwinięcie skończone mogę zamienić w nieskończone.
Metoda jest następująca: ostatnią cyfrę rozwinięcia skończonego zmniejszam o 1, a za nią
piszę nieskończenie wiele dziewiątek. Np. 1 = 0,9999….; 0,23 = 0,229999…
Przyjmijmy, że każdą liczbę należącą do przedziału (0,1] ustawiłem w ciągu i zapisałem przy
użyciu nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego. Otrzymałem więc tablicę:
r1 = a11 a12 a13 a14 a15 Κ
r2 = a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 Κ
r3 = a31 a32 a33 a34 a35 Κ
r4 = a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 Κ
r5 = a51 a52 a53 a54 a55 Κ
Μ
rn = a n1 a n 2 a n 3 a n 4 Κ a nn Κ
Μ
Ciąg ten mogę oczywiście ponumerować liczbami naturalnymi. Rozważmy jednak liczbę b,
równą 0, b1b2 b3 Κ która różni się od każdej liczby rn na n-tym miejscu po przecinku. Liczbę
taką w każdej chwili mogę skonstruować (Czytelnik sam zechce wymyślić metodę). Czy tak
otrzymana liczba znajduje się w tym ciągu? Ponieważ należy do przedziału (0,1] zatem musi
też znaleźć się na którymś miejscu w naszym ciągu. Powiedzmy, że będzie to miejsce k-te.
Zatem b = rk . Ale b różni się na k-tym miejscu po przecinku od rk . Otrzymaliśmy
sprzeczność, co dowodzi, że liczb z przedziału (0,1] nie da się ustawić w ciąg. Zatem
przedział ten ma większą moc niż zbiór liczb naturalnych. CBDO
Wykażemy teraz, że każdy przedział jest tej samej mocy. Pokażemy bowiem równoliczność
pomiędzy pewnym przedziałem a zbiorem liczb rzeczywistych. Bijekcją ustanawiającą
 Π Π  1−1
R dana wzorem f ( x ) = tgx . Równoliczność
równoliczność będzie: f :  − ,  →
na
 2 2
przedziałów można uzyskiwać odpowiednio zwężając, rozszerzając lub przesuwając
dziedzinę tangensa.
Co więcej, zbiór liczb rzeczywistych ma tyle samo elementów co zbiór R 2 , czyli
płaszczyzna, czego dość nietrudny dowód również pozostawimy Czytelnikowi. Warto tu
nadmienić, że tyle samo punktów jest też w całej przestrzeni. Moc zbioru liczb rzeczywistych
oznaczamy literą c (czyt. kontinuum).
4
Określenie, że jest to zbiór znacznie mniejszy jest nieco na wyrost – wykażemy niedługo, że dowolny przedział
jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
Kiedy w XIX wieku Cantor odkrywał to, o czym dzisiaj mówimy, napisał w liście do swojego
przyjaciela: „widzę, ale nie wierzę”. Na tym jednak problemy Cantora się nie skończyły.
Rozwijając coraz bardziej teorię mnogości postawił on w końcu dość zasadnicze pytanie. Czy
istnieje zbiór, który ma więcej elementów niż zbiór liczb naturalnych a mniej niż zbiór liczb
rzeczywistych? Jest to słynny problem kontinuum Cantora, znany też jako hipoteza
kontinuum (CH).5 Cantor przez wiele lat próbował ja udowodnić lub obalić, co doprowadziło
go do Nervenklinik w Halle – jego rodzinnym mieście. W 1938 roku, austriacki matematyk,
Kurt Goedel udowodnił, że nie da się wyprowadzić z aksjomatów teorii mnogości
zaprzeczenia hipotezy kontinuum a w 1963 roku Paul Cohen stworzoną przez siebie metodą
forcingu wykazał, że nie da się wyprowadzić też samej hipotezy kontinuum. Co to oznacza?
Otóż hipoteza kontinuum jest niesprzeczna z aksjomatami teorii mnogości. W systemie
dedukcyjnym, jakim jest teoria mnogości, nie można udowodnić ani CH , ani ¬CH . Szerzej o
tego typu zdaniach powiemy jeszcze przy okazji omawiania twierdzenia Goedla.
5
Dokładniej – hipoteza kontinuum Cantora głosi, że ℵ1 = c