Zadania domowe na kolokwium nr 1, ISD 2016 Zad1. Korzystając z

Zadania domowe na kolokwium nr 1, ISD 2016
Zad1. Korzystając z przekształcenia Laplace’a znajdź 𝑌(𝑠)
a) 𝑦̈ (𝑡) − 4𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)
b) 𝑦̈ (𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)
c) 𝑦̈ (𝑡) + 2𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)
d) 𝑦̇ (𝑡) + 3𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)
e) 𝑦̈ (𝑡) + 5𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)
𝑢(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛(𝑡), 𝑦(0) = 3, 𝑦̇ (0) = 1
𝑢(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(2𝑡), 𝑦(0) = 0, 𝑦̇ (0) = 4
𝑢(𝑡) = 3𝑒 𝑡 , 𝑦(0) = 1, 𝑦̇ (0) = −1
𝑢(𝑡) = 9𝑠𝑖𝑛(3𝑡), 𝑦(0) = −2, 𝑦̇ (0) = 0
𝑢(𝑡) = 𝑒 5𝑡 , 𝑦(0) = 5, 𝑦̇ (0) = −5
Zad2. Korzystając z przekształcenia Laplace’a znajdź oryginał funkcji 𝑦(𝑡)
a)
𝑌(𝑠) =
b) 𝑌(𝑠) =
c)
𝑌(𝑠) =
d) 𝑌(𝑠) =
e)
𝑌(𝑠) =
𝑠 2 +2𝑠+1
𝑠 3 +9𝑠 2 +26𝑠+24
3𝑠 2 +12𝑠+1
𝑠 3 +6𝑠 2 +11𝑠+6
𝑠 2 +5𝑠+2
𝑠 3 +5𝑠 2 +8𝑠+4
1
𝑠 4 +3𝑠 3 +3𝑠 2 +𝑠
5𝑠+2
𝑠 4 +𝑠 3 +2𝑠 2 +2𝑠
Zad3. Korzystając z przekształcenia Laplace’a znajdź rozwiązanie równań różniczkowych 𝑦(𝑡)
a)
b)
c)
d)
𝑦̈ (𝑡) + 3𝑦̇ (𝑡) + 2𝑦(𝑡) = 5𝑢(𝑡)
𝑦̇ (𝑡) + 3𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)
𝑦̈ (𝑡) + 5𝑦̇ (𝑡) + 4𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)
𝑦̈ (𝑡) + 5𝑦̇ (𝑡) + 6𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)
Zad4. Znajdź transmitancję 𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
𝑢(𝑡) = 𝟏(𝑡), 𝑦(0) = −1, 𝑦̇ (0) = 2
𝑢(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛(2𝑡), 𝑦(0) = 2
𝑢(𝑡) = 𝑒 −2𝑡 , 𝑦(0) = 0, 𝑦̇ (0) = 0
𝑢(𝑡) = 𝛿(𝑡) − 2𝑒 −2𝑡 , 𝑦(0) = 0, 𝑦̇ (0) = 0
układów opisanymi równaniami różniczkowymi
a) 𝑦̈ (𝑡) + 3𝑦̇ (𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 2𝑢̇ (𝑡)
b) 𝑦̈ (𝑡) + 𝑦̇ (𝑡) = 𝑢(𝑡)
c) 𝑦̈ (𝑡) − 2𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 2𝑢̇ (𝑡)
Zad5. Znajdź transmitancję 𝐺(𝑠) =
1
0
1
b) A = [
3
a)
A=[
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
układów opisanymi równaniami stanu
2
1
] B=[ ]
C = [1 0]
−1
2
2
1
] B=[ ]
C = [0 1]
0
0
Zad6. Narysuj schemat strukturalny układu
a)
𝑦̈ (𝑡) − 2𝑦̈ (𝑡) − 2𝑦̇ (𝑡) + 22𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)
b) 𝐺(𝑠) =
c)
𝑠 2 +10𝑠+15
3𝑠 3 +15𝑠 2 +𝑠+5
0
𝐴=[ 0
−12
1
0
−19
0
1]
−8
0
𝒃 = [0]
1
𝑥1 (𝑡)
𝒄 = [1 0 0]T 𝒙(𝑡) = [𝑥̇1 (𝑡)]
𝑥̈1 (𝑡)
Zad7. Napisz równanie różniczkowe opisujące działanie układu, wyznacz transmitancję operatorową układu 𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
, wyznacz równia stanu oraz na ich podstawie transmitancję układu oraz oblicz wartość odpowiedzi skokowej w
stanie ustalonym.
1.
2.
Przykłady wzmacniaczy operacyjnych w materiałach ćwiczeniowych
Przykłady układów RLC
𝑥(𝑡) = [ 𝐼𝐿 (𝑡) 𝑈𝐶 (𝑡)]𝑇
𝑥(𝑡) = [ 𝑈𝐶1 (𝑡) 𝑈𝐶2 (𝑡)]𝑇
Zad9. Napisz równania różniczkowe. Zakładamy, że na masę 𝑚 działa zewnętrzna siła 𝑢(𝑡) , znajdź transmitancję
operatorową opisującą wpływ tej siły na przesunięcie masy 𝑚. Wyznacz model stanowy. Przyjmij 𝑦(𝑡) = 𝑧1 (𝑡) oraz
wektor stanu 𝑥(𝑡) = [ 𝑧1 (𝑡) 𝑧̇1 (𝑡) 𝑧2 (𝑡)]𝑇 .
Zad10. Wyznacz transmitancję układu stosując reguły przekształcania schematów strukturalnych
Zad.11 Dokonaj diagonalizacji (tylko PA)
0 1 0
a) 𝐴 = [0 0 1]
1 −3 3
0
1
0
b) 𝐴 = [ 0
0
1]
−2 −5 −4
−2 0
1
c) 𝐴 = [
] 𝐵 = [ ] 𝐶 = [0
−1 −1
2
d) 𝐺(𝑠) =
4
𝑠 3 +3𝑠 2 +2𝑠
1]