Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Transkrypt
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 KOLOKWIUM nr 52, 14.03.2016, godz. 14.15-15.00 53. Zadanie (10 punktów) Wyrazić całkę nieoznaczoną In (x) = Z √ xn · sin x dx za pomocą In−1 (x). Rozwiązanie: Przyjęcie we wzorach Z oraz Z funkcji f (x) = √ oraz f 0 (x) · sinf (x) dx = −cosf (x) + C f 0 (x) · cosf (x) dx = sinf (x) + C x prowadzi odpowiednio do √ Z √ sin x √ dx = −cos x + C 2 x √ Z √ cos x √ dx = sin x + C . 2 x W oparciu o powyższe wzory wykonujemy dwukrotnie całkowanie przez części (różniczkując pierwszy czynnik i całkując drugi): √ Z Z √ n n+1/2 sin x In (x) = x · sin x dx = 2 · x · √ dx = 2 x Z √ √ 1 = 2 · xn+1/2 · −cos x − 2 · n+ · xn−1/2 · −cos x dx = 2 Z √ √ n+1/2 = −2 · x · cos x + (2n + 1) · xn−1/2 · cos x dx = √ Z √ n+1/2 n cos x = −2 · x · cos x + 2 · (2n + 1) · x · √ dx = 2 x Z √ √ √ = −2 · xn+1/2 · cos x + 2 · (2n + 1) · xn · sin x − 2 · (2n + 1) · n · xn−1 · sin x dx = √ √ = −2 · xn+1/2 · cos x + 2 · (2n + 1) · xn · sin x − 2n · (2n + 1) · In−1 (x) . Odpowiedź: √ √ In (x) = −2 · xn+1/2 · cos x + 2 · (2n + 1) · xn · sin x − 2n · (2n + 1) · In−1 (x) = √ √ √ = −2 · xn · x · cos x + 2 · (2n + 1) · xn · sin x − 2n · (2n + 1) · In−1 (x) . Kolokwium 52 -1- Odpowiedzi i rozwiązania Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 54. Zadanie (13 punktów) Obliczyć całkę nieoznaczoną Z x· √ 5 dx x5 + 2x4 + x3 . Rozwiązanie: Przepisujemy daną całkę w postaci Z Z Z dx dx dx q r √ = = 2 5 5 x · x + 2x4 + x3 x · 5 x3 · (x + 1)2 x2 · 5 x+1 x i wykonujemy podstawienie s t= 5 x+1 , x czyli 1 , x 1 t5 − 1 = x t5 = 1 + oraz formalnie 5t4 dt = − Otrzymujemy Z dx r x2 · 5 x+1 x 2 =− Z dx . x2 Z Z −dx 1 5 · t3 4 2 r · = − · 5t dt = −5 · t dt = − +C = x2 t2 3 5 x+1 2 1 x s 3 5 5 x+1 = − · +C . 3 x Odpowiedź: Z x· Kolokwium 52 √ 5 dx 5 x+1 =− · 5 4 3 3 x x + 2x + x -2- 3/5 +C . Odpowiedzi i rozwiązania