Modelowanie matematyczne pracy generatorów indukcyjnych w

1
1
2
Andriy CZABAN , Marek LIS , Andrzej GASTOŁEK , Jarosław SOSNOWSKI
2
Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny (1), REVICO Płock (Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny) (2)
doi:10.15199/48.2016.01.19
Modelowanie matematyczne pracy generatorów indukcyjnych
w złożonych układach energetycznych
Streszczenie. W pracy sformułowano ogólny model matematyczny zespołu elektroenergetycznego składającego się z generatorów indukcyjnych,
transformatorów i baterii kondensatorów. Wykorzystując przedstawiony model poddano analizie procesy nieustalone zachodzące w zespole
elektroenergetycznym w różnych stanach pracy. Dla sformowania różniczkowych równań stanu układu wykorzystano metody klasyczne. Wyniki
obliczeń numerycznych symulacji komputerowych przedstawiono w postaci graficznej
Abstract. In the paper a general mathematical model of an electric power set is presented. The set consists of induction generators, transformers
and batteries of capacitors. On the basis of the abovementioned mathematical model the transient processes in the electric power set were analyzed
for various operation states. Classical methods were applied in order to formulate the state differential equations. The results of computer simulation
numerical calculations are presented as graphs. (Mathematical modeling work of induction generators in composite energy systems)
Słowa kluczowe: zasada Hamiltona-Ostrogradskiego, Euler-Lagrange’a system, zespól elektryczny, transformator mocy
Keywords: Hamilton-Ostrogradsky’s principle, Euler-Lagrange’s system, electrical set, power transformer
Wstęp
Zespoły elektryczne są jednymi z podstawowych
jednostek systemu elektroenergetycznego. W przypadku
ogólnym elektrownie małej mocy można rozpatrywać jako
jednostki elektryczne. Elektrownie malej mocy znajdują
coraz większe zastosowanie w gospodarce na co mają
wpływ różne przyczyny: ekonomiczne, logistyczne,
społeczne i in. Podstawowym elementem elektrowni
oczywiście jest generator: tzn. maszyna która przekształca
energię
mechaniczną
w
elektryczną.
Najczęściej
wykorzystuje się dwa typu generatorów: synchroniczne (w
tym z magnesami trwałymi) oraz asynchroniczne. Każda z
wymienionych typów maszyn ma swoje zalety i wady.
Generatory
synchroniczne
mają
dość
sztywną
charakterystykę mechaniczną, natomiast wymagają źródło
prądu stałego oraz w temacie niezawodności są gorsze od
maszyn asynchronicznych, co związane jest z konstrukcją
maszyn obu typów. Dla generatora asynchronicznego jedną
z głównych wad jest to, że wymieniony typ maszyn
potrzebuje w stanie autonomicznym źródła energii biernej
zazwyczaj to bateria kondensatorów statycznych.
Schemat
połączeń
analizowanego
układu
przedstawiono na rys. 1.
W skład analizowanego układu elektroenergetycznego
wchodzą:
 generatory indukcyjne – N sztuk,
 autotransformator,
 bateria kondensatorów statycznych,
 obciążenia mini-elektrowni.
W pracy wykorzystano metodę klasyczną, polegającą
na dekompozycji jednolitego układu z wykorzystaniem praw
fizyki [2, 6]. Otrzymane równania stanów każdego z
analizowanych podukładów połączono za pomocą równań
powiązań stacjonarnych.
Model matematyczny układu.
Model matematyczny układu zapisano na podstawie
modelu uogólnionego [2, 3, 6]. Dla k-tego generatora:
dΨ S , k
(1)
dt
dΨ R ,kk
dt
 u S , k  rS , k i S , k
 u R ,kk  rR , k i R ,kk   R , k  R ,kk , k  1, 2,..., N ,
Do równań (1) zależności stacjonarnych powiązań
miedzy strumieniami skojarzonymi oraz prądami generatora
[2, 6] można zapisać w postaci:
(2)
Ψ S , k  α 1S , k i S , k  ψ S , k , Ψ R  α 1R , k i R , k  ψ R , k ,
(3)
ψ S , k  k 1 (i S , k  Π k i R , k ), Lm , k  k 1 , ψ S , k  Π k ψ R , k ,
gdzie ψ – macierz sprzężeń magnetycznych, Lm –
indukcyjność magnesowania maszyny,  główna odwrotna
indukcyjność statyczna.
Rozwiązujący razem wyrażenia (1) – (3) dla współrzędnych
prądów fazowych [2] otrzymano
di S , k
(4)
dt
 A S , k (u S , k  rS , k i S , k ) 
 A SR, k (Ωk Ψ R, k  rRL, k i R, k )
(5)
di R , k
dt
 A RS , k ( u S , k  rS , k i S , k )  A R , k (Ω k Ψ R , k 
rRL, k i R , k )  Ω k i R , k ,
Rys. 1. Schemat ogólny układu elektroenergetycznego
82
gdzie A S , k , A SR , k , A RS , k , A R , k – współczynniki, które zależą
od indukcyjności rozproszenia i magnesowania generatora
PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 92 NR 1/2016
asynchronicznego, Ω – macierz SEM rotacji [6].
Moment elektromagnetyczny opisuje zależność [2, 6]:


M E , k  3 p0, k (iSA, k iRB
, k  iSB , k iRA, k ) / m, k ,
(6)
gdzie p0,k – liczba par biegunów maszyny,

– wskazuje
Uwzględniając w wyrażeniach (1) – (3) zależności (21)
można zapisać:
(24)
na przekształcenie we współrzędnych ukośnych [1, 2].
Dla pozostałych elementów układu energetycznego opisujące je zależności matematyczne przyjmują postać [1, 2]:
(7)
di1(2)
(3) (3)
 K11(u1(2)  r1(2)i1(2) )  K12 (u(3)
2  r2 i 2 ) ,
dt
(8)
di (3)
2  K (u (2)  r (2)i (2) )  K (u(3)  r (3)i (3) ) ,
21 1
22 2
1 1
2 2
dt
iCA  iCC  iCA  2iCA  iCB , iCB  iCB  iCA .
(23)
d
( SA, k   SB , k   SC , k )  (uSA, k  uSB , k  uSC , k ) 
dt
 rS , k (iSA, k  iSB , k  iSC , k )  uSA, k  uSB , k  uSC , k  0 .
Na podstawie rys.1 można zapisać
(25)
Skąd, patrz (24, 25), otrzymano:
(26)
indukcyjnego, (2),(3) – wskazuje na porządek macierzy lub
wektora kolumnowego [2].
a12  a13
b
b
b
, K12  11 12 13 ,
a22  a23
b21 b22 b23
b11  b13 b21  b23 b31  b33
b12  b13 b22  b23 b32  b33
(11)
(3)
(3) (3)
K (3)
22  α  2 (1  α  2 G ) ,
(12)
 B  C   02
1
( 0   C )  0
G

(  0   B ) 0
(13)
(3) (3)
(3) (3) (3)
α (3)
 bmn ,
1 (1  α 1 G )  amn ,  α 1 α  2 G
(14)
(3)
1
1
1
α (3)
1  diag( L1 j ), α  2  diag( L 2 j ),  0  L 0 ,
(15)
   A B  C   02 ( A   B   C  2 0 ) ,
(16)
j 
(17)
(3)
u (3)*
 kT u (3)
2
2  u ,
gdzie:
(3)
α (3)
1 α  2
,
iCB  iCB  iCA   iSB, k  i1B .
,  j   j  1, j   2, j   0 , j  A , B , C ,
i (3)
2  i (3) ,
kT
kT 
(30)

1 N
iCA    (iSA, k  iSB , k )  (i1 A  i1B )  ,

3  k 1

(31)
 N

1 N
iCB    iSA, k  i1 A  2   iSB , k  i1B   .


3  k 1
 k 1

Podstawiając wyrażenia (30), (31) do równania (18),
otrzymano
w1
,
w2
– odwrotne indukcyjności rozproszenia
Dla baterii kompensacyjnej [4].
(32)

duCA
1  N

  (iSA, k  iSB , k )  (i1 A  i1B )  ,

3C  k 1
dt

(33)
 N

duCB
1  N
  iSA, k  i1 A  2   iSB , k  i1B   .




3C  k 1
dt
 k 1

Przedstawione równania są podstawą obliczenia
napięcia na uzwojeniach wszystkich generatorów i
pierwotnego uzwojenia autotransformatora. Uwzględniając
(19) w zależności (8) otrzymano
( 34)
di (3)
2  1  K L(3)
22
dt


duC 1
 iC , uCAB  uCBC  uCCA  0, iCA  iCB  iCC  0 ,
dt
C
gdzie uC , iC – napięcie oraz prąd baterii.
Model matematyczny obciążenia baterii [6]
(3)
di
 R (3)i (3) .
dt
Dla uzupełnienia modelu matematycznego układu
niezbędne jest uwzględnienie dodatkowo równań powiązań
stacjonarnych [2]
(3)
u(3)  kT u(3)
2 L
(20)
i A  iB  iC  i0  0,
(21)
iSA, k  iSB, k  iSC , k  0, uC  u SA, k  u1 ,
N
(22)
iCA  2iCA  iCB   iSA, k  i1 A ,
Wtedy, prądy w baterii:
( 0   B ) 0
( 0   A ) 0 ,
 B  A   02
uzwojeń transformatora, – wskazuje na rzeczywisty układ
współrzędnych (nie przekształcony), kT – przekładnia,  –
główna odwrotna statyczna indukcyjność.
(19)
N
(28)
(29)
*
(18)
k 1
(lub dla postaci współrzędnych)
k 1
( 0   C )  0
 A C   02
(  0   A ) 0
i (3)*

2
i C   i S , k  i1 .
k 1
N
K 21 
 j
 i k  i  0,
k 1
1
1
 2uCA  uCB  , uSB,k   uCB  uCA  .
3
3
N
(27)
T
(10)
 j
uSA,k 
Następnie, z równania (22):
od indukcyjności rozproszenia i magnesowania generatora
a11  a13
a21  a23
uSB,k  uSC ,k  uCB ,
uSC , k  uSA, k  uCC .
gdzie, K1,1, K1,2 , K 2,1, K 2,2 – współczynniki, które zależą
(9) K11 
uSA, k  uSB, k  uCA ,
i1 A  i1B  i1C  0 ,

1



K 22 (R (3)  r2(3) )i (3)
2  .
Dodatkowo należy pamiętać, że:
(35)
i0  i A  iB  iC .
Wspólnemu całkowaniu podlega taki układ równań
różniczkowych: (4), (5), (7), (32) – (34) z uwzględnieniem
wyrażeń: (3), (6), (9) – (17), (23), (28) – (35).
Wyniki symulacji komputerowej.
Do obliczeń numerycznych wykorzystano generatory
indukcyjne o danych znamionowych: РН  4,5 kW,
UN  400V,
ІN  9,4
А,
nN  1440 s 1 ,
rS  1,2
,
rR  1,21  ,  S  146 GH ,  R  128 GH , p0  2,
-1
i   i C  i1  0 ,

K u(2)  r (2)i (2) 
1 1
 21 1
PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 92 NR 1/2016
-1
83
J  0,05 kgm2. Krzywa magnesowania maszyny opisana
jest zależnością:
(36)
gdzie:
10
 m  m , if  m   k ;
im  
3
5
k0  m  k1 m  k2  m , if  m   k ,
k0  8,13,
k1  –5,34,
k2  7,21,
iSA, A
15
5
 m  7,14,
 k  0,63.
0
-5
Bateria kondensatorów o pojemności: I – C1  200 F ,
II – C2  350 F . Pierwsza kaskada wykorzystana została
dla rozruchu układu w stanie jałowym. Natomiast druga –
wykorzystana została w stanie roboczym. W stanie
ustalonym momenty maszyn napędowych przyjęto jako
stałe, aktywne. Przekładnia autotransformatora kT  1,02
-10
t, s
-15
0
4
8
12
16
20
Rys. 4. Przebieg czasowy prądu fazy A stojana w obu
generatorach (pierwszy przypadek obliczeniowy)
oraz obciążenie R  30  , L  80 mH . Do analizy układu
wykorzystano trzy przypadki obliczeniowe w zależności od
momentu rozwijanego przez silniki napędowe: dla
pierwszego – M (1 )  M (2 )  30Nm , dla drugiego –
M (1 )  20Nm , M (2 )  30 Nm , oraz dla trzeciego –
M (1 )  20Nm M (2 )  20Nm .
Na rysunku 2 przedstawiono przebieg czasowy
prędkości kątowych obu generatorów indukcyjnych dla
pierwszego przypadku obliczeniowego. Rozruch układu
trwał do 5 s. W chwili czasu t  10 s do końcówek linii
zasilania zostało podłączono obciążenie RL. Co
spowodowało
spadek
prędkości
obrotowej
obu
generatorów, a także zmniejszenie częstotliwości oraz
napięcia układu elektroenergetycznego (rysunek 3)
Rys. 5. Przebieg czasowy prądu fazy A płynącego przez baterię
(pierwszy przypadek obliczeniowy)
Rys. 6. Przebieg czasowy prądu fazy A w gałęzi obciążenia
(pierwszy przypadek obliczeniowy)
Rys. 2. Przebieg czasowy prędkości kątowej wirników obu
generatorów (dla pierwszego przypadku obliczeniowego)
uSA, V
400
200
0
-200
Rys. 7. Przebieg czasowy prędkości kątowej wirników obu
generatorów (trzeci przypadek obliczeniowy)
t, s
-400
0
4
8
12
16
20
Rys. 3. Przebieg czasowy napięcia fazy A obu generatorów
(pierwszy przypadek obliczeniowy)
Rysunki 4 – 6 przedstawiają przebiegi czasowe prądów:
fazy A stojana, płynącego przez baterię oraz w gałęzi
obciążania dla pierwszego przypadku obliczeniowego.
84
Na rysunkach 7 i 8 przedstawiono prędkości kątowe obu
generatorów oraz napięcie dla trzeciego przypadku
obliczeniowego. Podłączenie obciążenia w drugim i trzecim
przypadku obliczeniowym odbywało się w chwili t  12,5 s.
Na rysunku 9 przedstawiono przebiegi czasowe
napięcia fazy A na obciążeniu dla wszystkich trzech
przypadków obliczeniowych w zakresie czasowym
t  [16, 16,02] s.
PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 92 NR 1/2016
charakteryzujących układ na jego pracę, a programy
symulacyjne mogą być wykorzystane do projektowania
nowych lub
analizy pracy istniejących
układów
energetycznych.
Autorzy: dr hab. inż. Andriy Czaban prof. PCz, Politechnika
Częstochowska, Wydział Elektryczny, al. Armii Krajowej 17, E-mail:
[email protected], dr. hab. inż. Marek Lis Politechnika
Częstochowska, Wydział Elektryczny, al. Armii Krajowej 17
lism@el. pcz.czest.pl, mgr inż. Andrzej Gastołek REVICO Płock
(Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny), mgr inż.
Jarosław Sosnowski REVICO Płock (Politechnika Częstochowska,
Wydział Elektryczny)
Rys. 8. Przebieg czasowy napięcia fazy A obu generatorów (trzeci
przypadek obliczeniowy)
Rys. 9. Napięcie fazy A pierwszego generatora w zakresie
t  [16,0;16,02]
s
dla
trzech
przypadków
czasowym
obliczeniowych
Wnioski
Przedstawiony w pracy przy wykorzystaniu metod
klasycznych
model
matematyczny
zespołu
elektroenergetycznego, który składa się z N generatorów
indukcyjnych połączonych miedzy sobą równolegle i
pracujący przez autotransformator na asymetryczne
rezystancyjno-indukcyjne obciążenie z uwzględnieniem
baterii kondensatorów statycznych umożliwia analizę w
szerokim zakresie pracy całego układu energetycznego.
Przedstawiona analiza obliczeniowa pozwala na ocenę
wpływu parametrów wewnętrznych i zewnętrznych
LITERATURA
[1] Czaban A., Rusek A., Lis M.: The Approach Based on Variation
Principles for Mathematical Modeling of Asymmetrical States in
a Power Transformer. Przegląd Elektrotechniczny R.88 nr 12b
2012 s.240-242 ISSN 0033-2097.
[2] Czaban A. Zasada Hamiltona-Ostrogradskiego w układach
elektromechanicznych. Monografia. W-wo T. Soroki, Lwów,
2015, 464 s.
[3] Lis M. Modelowanie matematyczne procesów nieustalonych w
elektrycznych układach napędowych o złożonej transmisji
ruchu. Częstochowa. – W-wo Politechniki Częstochowskiej,
2013. – 258 s.
[4] Kopyłow I. Maszyny elektryczne (Electrical Machines),
Moscow: Wyższa Szkoła, 2004, p. 607.
[5] A. Rusek Stany dynamiczne układów napędowych z silnikami
indukcyjnymi specjalnego wykorzystania. Monografia. W-wo
Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa, 2012.
[6] Tchaban V. Podstawy teorii procesów przejściowych w
układach elektromaszynowych. – Lwów: High School, 1980. –
200 s.
[7] Szewczyk K., Golisz R., Walasek T., Kucharczyk Z., The
influence of an air gap around the permanent magnets with the
flux concentrator in Permanent Magnet Synchronous Motor
with
Internal
Magnetic
Circuits,
Zastosowania
Elektromagnetyzmu
w
Nowoczesnych
Technikach
i
Informatyce. XXI Sympozjum Środowiskowe PTZE. 5-8
czerwca 2011. Lubliniec.
PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 92 NR 1/2016
85