1031 Wymiana com
Transkrypt
1031 Wymiana com
Krzepnięcie metal i i stopów t. IX Pl ISSN 0208-9386 ISBN 83-04-2019-X Ossolineum 1985 Radosław Grzymkowski PRZYBLIŻONA METODA ANALIZY WYMIANY CIEPŁA NA POWIERZCHNI WLEWKA CIĄGŁEGO l. Wprowadzenie inżynierskiej W praktyce czę sto zachodzi procesu fizycznego celem wyznaczenia konieczność brakujących modelowania paramet rów proc esu lub poznania lepiej j·ego charakteru. Zagadnienie to j est typowe dla procesu wytwarzania wlewków sposobem gą zaliczać się ciągłym . .-Sfo rmułowane do prostych lub odwrotnych . zagadnień modele mo- przewodzenia cie- pła. W zagadnieniach odwrotnych chodzi nie tyle o wyznaczenie zania Wł!wnątrz wartości tego obszaru ograniczonego brzegiem, na którym zadane poszukiwanej funkcji lub jej pochodnych, co o rozw-ią zania ce to zagadnienia, które ci w miejscach mogą zostać problemów korzysta wiążą kłócających na łatwo dostępnych. zmierzone tylko z danych przebieg staranność ekstrapolucję metody matematyczne, pomiary oraz pewPrzykładowo, pomiarów zwykle dokonuje Niejednokrotnie poszukiwane pośrednio. Stąd doświadczalnych, wielkości odwrotnych, gdy jest problem pomiarów mierzonych. wielkoś jednym z podstawowych dotyczących zastosowań rozwiązań zagadnień się są po za ten obszar. Ogólnie problemy odwrotne w techni- ne uwarunkowania techniczne. się rozwią mało za- Wymagana jest tu szczegól- w doborze technik pomiarowych i miejsc pomiarów. 64 Radosław Grzymkowski ciepła Odwrotne zagadnienia transportu się spotyka w modelach ma- tematycznych dotyczących optymalizacji procesu wytwarzania wlewków ciągłych [ 7 J. prowadzania strefie Zagadnienie to polega na określeniu takich warunków odciepła chłodzenia z powierzchni wlewka w obszarze krystalizatora, Jednym z czynników do ciągłego wpływających krzepnącego Można zatem na jakość wlewka ciągłego są postulaty sformułować dotyczące charakteru jest po- ur ządzeń metalu. Technologom i proj ektantom odlewania znane temperatury. przy których się najlepszą jakością. wyrób finalny charakteryzuje l e temperatury chłodzenia końcowego, wtórnego i strefie rozkładu zagadnienie, w którym poszukuje l się ciepła warunków brzegowych, tj. warunków wymiany wlewka czyniących zadość Badania na za·gadnień nych logii COS ograniczeniom możliwością nakładanym wykorzystania metod brzegowych transportu ciepła na powierzchni na pole temperatury. rozwiązywania odwrot- przy projektowaniu techno- (ciągłego odlewania stali) prowadzone są w ramach Międzyre sortowego Problemu Badań P odstawowych nr 20 [ 7 Prezentowana praca jest kontynuacją metody odtwarzania strumienia ciepła J. prowadzonych badań i dotyczy oraz w spółczynnika wymiany ciepła na powierzchni wlewka przy zadanych przebiegach temperatury. 2. W pracy ro zważa dzeniu pionowym do się płaskie ciągłego Założenia okrągłe i urzą się odlewania. Modelowane obiekty traktuje jako obiekty dwuwymiarowe, dla których sa ć wlewki wytwar zane na rozkład dwuwymiarowym równaniem przewodnictwa temperatury da ciepła. Przyjmuje się opi- się, że wlewki o grubości 2r* odlewane ze stałą prędkością w, wytwarzane są z metalu krzepnącego w przedziale temperatur <T", T'>{T"- temperatura solidus, T' - temp eratura likwidus ), który wlewany do krystalizatora ma temperaturę T* ~ do ciągłego długości z* T: Bezawaryjna praca pionow ego urządzenia odlewania powoduje wygene rowanie pseudousta:lonegc pola temperatury, które układzie współrzędnych związanym nanie się w ewnątrz z krzepnącym wlewka o w nieruchomym wlewkiem opisuje rów- Przybliżona metoda analizy wymiany ciepła 65 "(?l!.w J T= r-m J (rmĄ . J T) . + J (.:>..J T), z r r z z l (l) O<r<r* O<z<z*, gdiie T = T (r, z ) jest temperaturą, ~ = cieplną (6] , -ae (T ) zastępczą pojemnością 0 , = Y (T ) gęstością masy, A. · = A.(T ) współc zynnikiem prze- wodzenia ciepła, a indeks m określa geometrię wlew_ka (m ·= O wlewek płaski, m = l wlewek Ókrągły ) . Równanie ( l ) można częściowo uprościć pomijając człon J (:.t J T ) (p . 7 ), w czego rezultacie otrzymuje się rówz . z współrz~dn!l nanie paraboliczne, w którym z spełni;a rolę czasu. Lir 123 ~~--~-- l - - l l - - I J,-1 - - - 1;" -ł+<-H-H+++ł-H-f-t+Hfł+H-i i,., jil~-H-H+++ł++f++~+H - - - t-; -++f+ł++t-H++t++-ł/t1~-t+ J~ H+++++++++++t+f+ł-t+ti l z Rys. l. Modelowany obiekt. Siatka różnicowa r 66 Rados~aw Zakłada się ponadto, że Grzymkowski są znane zmienne przebiegi temperatury w l przemieszczających się dowolnych ustalonych wraz z wlewkiem punktach kontrolnych r = r , n = (N, O«r ~ r*, przy czym przyjmuje się, że n n każdej chwili czasu odpowiada tylko je-den taki punkt (rys. 1) . Zakładane wynikać mogą przebiegi temperatury rów lub innych Nie znane ka r = z wymogów technologicznych, pomia- ograniczeń nakładanych są na modelowany obiekt. natomiast warunki wymiany ciepła na powierzchni wlew- r* . Fokażerny, że te informacje pozwolą wyznaczyć pole tempe- ratury w całym przekroju obiektu oraz gowy, jaki powinien być zadany aby odtworzyć brakujący uzyskać warunek brze- postulowane przebiegi tempe- ratury w punktach kontrolnych. 3. Układ równań Niech q(z ) będzie poszukiwanym strumieniem ciepła na granicy r = r*. Wówczas korzystając z analitycznej postaci warunku brzegowego III ro- dzaju można wyznaczyć współc_zynnik wymiany ciepła , gdzie T00 jest temperaturą . O<z~z ciepła Jednocześnie przyjęte ć)r , została r .-m T(r*,z), 0< w rozdziale poprzednim zagadnienie brzegowe, które E Cl T z * (2 ) na rekonstrukcję co odpowiada warunkowi brzegowemu II rodzaju postaci q(z),;,- A.[T(r*,z)j mułować (z ) . Otrzymuje się otoczenia. Dlatego dalsza analiza problemu ukierunkowana strumienia 01. ar (i\.rm T(r,O ) CJ T (O, z) r opisują sfor- równania O< z <z* , T*(r ) , O,.::r~r* O, (3) założenia pozwalają T), ar z~z*. o <z ~z* O< r < r*, (4) (5 ) (6) Przybliżona metoder analizy wymiany zn_l< z~zn' T(rn' z)= fn(z), ciepła 67 n= l,N, (7) , z , n= l,N, oznaczają początgdzie E = E (T ) = -ae(T ) · t'(T ) ·w, z n- 1 n kowe i końcowe położenie punktów kontrolnych r = r , przy czym -z = O, n o ~ z*. Natomiast funkcje fn (z ) oznaczają zakładane przebiegi tempe- a zN ratury, pr':! czym przyjmuje się, że fn(z)~T". Funkcje fn(z) zadawane są ·zazwyczaj w postaci tabeli wartości (dziedzina i I>rzeciwdziedzina są zbiorami liczb ) lub w postaci wykresu. Zagadnienie (3) -1- (7) nale ży do grupy odwrotnych nieliniowych zagadnień brzegowych dla równania przewodnictwa ciepła [l nienia przewodnidwa Oznacza to, dużą ciepła należą do kla·sy J. zadań źle Odwrotne zagad- uwarunkowanych. że mała niedokładność wielkości wejściowych może powodować niedo~ładnoś ć w rozwiązaniu. wpływu tej właściwości na jakość I~tnieją różne sposoby łagodzenia uzyskiwanych rezultatów [ 3, 4]. W niniejszej pracy celem źłagodzenia wpływu złego uwarunkowania proponuje się obok metody dzających. bliczeń różnicow e j Pode3ście rozwiązania łagodzi wpływ to ale nie usuwa go wykorzystanie splajnów złego uwarunkowania na wyniki o- całkowicie'" 4. Metoda rozwią z ania Przybliżonego rozwiązania sformułowanego wy żej kuj e się w c zter ech krokach. W kroku pierwszym wejściow e, wygła dotyczące zakładanych zagadnienia pos zu- wygładza się przebiegów t empe ratury w informacje punktach kon- trolnych. Na obszar modelowanego obiektu cową QI,J = w (r ) 1 w (r ) 1 gdzie l, J oznaczają kroki siatki >< nałożono równomierną siatkę ró żni w ( z ) , przy czym 1 { r (i ) liczby r (i ) w ęzłów L\ r (i-l ) , i = 1,1 } , L\ z (j-1 ) , j = l,J}, w kierunku r z odpowiednio, L\ r i L\ z 68 Radosław /:). r = r* !::J. z = z*" Grzymkowski l (I - l) l (J - (8) J l) W modelu założono, że położenie punktów kontrolnych określają te węzły siatki dla których i a j Z = ~ jn-l' jn' n = l, N, gdzie in' in' l !::J. Z + l. należą do + l, Węzły te Każdy z tych zbiorów można traktować jako lokalną siatkę, na której n n zbiorów W~(z) =-rnl !::J.r } = {z(:j ) jn-l' jn,n = l,N. zadane są z pewnymi błędami wartości funkcji f (z .) = f (:j ) . Z uwagi n J n na błędy w określeniu wartości funkcji f (j) należy skonstruować nowe n funkcje F n (z), tak by ich p f.zebieg w otoczeniu zadanyc)l. punktów był "płynny" niż bardziej funkcjami funkcji interpolujących. Funkcje takie nazywamy wygładzającymi. Żądając aby szukane funkcje wygładzające działach < zn-l, z n> f n (z ) określone w prze- minimalizowały funkcjonały n = 1, N gdzie P n (j ) , j . = jn-l, jn jest zadanym . układem liczb dodatnich - wymusza się . przebieg konstruowanych krzywych w oraz gwarantuje się ich minimalne pobliżu "wygięcia". 1m zadanych punktów większe są wartości współczynników wagowych P n (j ) , tym więks c:'l -rolę odgrywają warunki interpolacyjne i tym bliżej zadanych punktów przebiega funkcja wygła- dzająca [ 8]. Rozwiązaniami zadań wariacyjnych (9) są splajny sześcienne (funk- cje sklejane trzeci_e go stopnia ) [ 8] , które konstruuje się w sposób podany w pracy [s]. Wyznaczenie splajnów Fn(z), n= ich wartości liczbowych F i";N, a dokładniej (j ) w węzłach siatki Wn(z), koliczy pierwszy J • e tap poszukiwania przybliżonego rozwiązania zagadnienia (3 ) + _(7 ) . Krok drugi polega na (4 ) + • ro-związaniu proste go zagadnienia brzegowego (7 ) , tzn. na wyznac zeniu pola temperatury w obszarze od osi wlewka do linii r = rn' n " n = l, N. Wykorzystać do tego celu można opra- Przybliżona ciepła metoda analizy wymiany cowane specjalnie dla tego typu zagadnień 69 · różnicowe ·, metody szczegółowy opis można znaleźć w pracach [ 9 + 12 J. których Stosując propono- .~najduje się w węzłach siatki Q l, J naieiących do rozwaobszaru tj. gdy i = l, i , n = l, N a. j = l,J dyskretne pole wane metody żanego n temperatury T(i,j) =T [ .6r(i-l), .6z(j-l )]. Jednocześnie zrozumiałe . jest,~e 'dla węzłów należących do W~(z), tzn. gdy i = in' n = l,N a j = l,J zachodzi T(i,j ) =F (j..). Wyznaczenie powyższego pola tempen ratury zamyka drugi etap obliczeń. rozwią W kroku trzecim otrzymane na poprzednim etapie dyskretne zanie przedłuża się cały na rozpatrywany obszar oraz wyznacza peraturę powierzchni wlewka W pracy [ 13 J omówiono szereg budowy wspomnianych schematów należących stabilnych, o wysokim rzędzie apro·- różnicowych okazał się znalezionego w kroku poprzednim do obszaru chni wlewkar tem- (tam, gdzie nie jest ona zadana) . ksymacji s c hematów różnicowych dla równania prŹewodnictwa. przedłużaniu się poło żonego . pomocny p_rzy rozwiązania. od linii r = r , n :n = Sposób Dla węzłów l, N do powierz- . = r* (tj. gdy i=~. n= l,N aj = 2,J ) różnicową n aproksymację l ewej strony równania (4 ) przyjęto w postaci [E <::1 E (i,j )[ 3T (i+l, i+l ) - J z T]. . l,J ( " 4T (i+l 1 i ) + T (i+l 1 j-1 ) 24 b z· + 15 T (i 1 j+l ) - 20 T (id ) + ST{id l2Lh + 3 T {i-1 2 j+l ) gdzie E (i,j) = E - -;~:~ - l) + + 4 T (i-1 2 i ) + T {i-1 2 j-1 ) 24.6z ] (10 ) [T (i,j)J. Natomiast prawą stronę równania (4) aproksymowano zgodnie z zasadami podanymi w pracacli [9,11,.12]. Przyjmując, , że w rozważanym obszarze A. = const. można napisać ·. . [ r-m d r (rmA.d r. T)] · 1, J / l"' 70 Radosław A. [(i-0,5_\m T( · l ""' /:,. r 2 i-l ) l+ ·) J ' Grzymkowski 2T(· ·) - l' J + (i-1,5)m T( · l · ) ] i-l l- 'J • (11) Związki (10 ) i (11 ) wstawione · do równania (4 ) pozwalają po przekształ ceniach uzyskać dla każdej i- tej warstwy i "' i i "' i 1 + l, l n + l, i n- 1 , n "' N, 2 oraz układ równań e.T(i,j-1) - 4a (i,j) T(i,j) + 3?T(i,j+l) ~ b(i,j )' (12) j "' j n- l + l, 1- l Występujące w równaniach (12) w spółczynniki mają postać "' jn-1 + 1 (13) ' j ~ jn-1 + 1 l o ? 2 - a (i, j) l "' 1 - ! ' l (14) jjJ-1 l+ 6H(i,j) (~l - 1 5 • ) 2 m (15) , gdzie (16 ) Jednocześnie b(i,j ) "'24H(i,j ) [c-=_'~)m T(i-2, j)- 2T(i-1, j ) ]+ [3T(i-2, j+l ) - 4T(i-2,j) + T(i-2), j-lJ] + / - 10[3T(i-1, j+l ) - 4T(i-l,j ) + T(i-1, j-1 ) ] + + (1-t )T(i , j+l ) + (1-? ) T(i,J ) , przy czym T(i,J ) = ( ~=i. 5 )m[ T(i-l,J ) - T(i-l, _ J-1 )] /H(i-1, j ) + (17 ) .. Przybliżona C:~, s) m 71 ciepła metoda analizy wymiany T (i-1, J) l (18) oraz l T (1, l ) (19 ) (i ) ' gdzie T* (i) = T* [lir (i-l )]. Ponieważ macierze główne układów równań (12 ) są macierzami trój- diagonalnymi do rozwiązania w /w układów można z astosować algorytm Thomasa [14]. Uzyskane na tym etapie pole temperatury jest przedłużeniem rozwią zania zagadnienia prostego (4) + (7) na· obszar położony od linii r = r \ n = l, N do powierzchni wlewka r = r*. Znalezione wyżej rozwiązanie po zwala w ostatnim kroku wyznaczyć , n w postaci dyskretnej poszukiwany strumień ciepła q (z ) . Dla wyznaczenia strumienia lansu energii zależno..ś ć [ 7 + . się· wynikającą z bi- J . 41-1 m T (l,J-1 ) ae(l,J-1 ) llr ( ~) gdzie q (j ) wykorzystuje T(l,j ) - T(I-1,j ) lir + A.(l,J-1 ) ( 2ij"1) m q (j ) · iCiepła q [ Llz(j-1 )] dyskretne \ T(l,j ) -T(l,j-1 ) 2llz ' j= 2 ,J ' wartości ( 0) 2 poszukiwanego strumienia ciepła. S. Przedstawiony algorytm w języku Przykład posłużył do opracowania programu obliczeń· BASIC do realizacji na EMC W ANG 2200. Opracowany program, pozwalający odtworzyć testowano na licznych dokładnością strumienie ciepła · na ' powierzchni wlewka, prze- przykładach uzyskując odtwarzane są strumienie na powier zc4ni wlewka lub w jej zadowalające ciepła, pobliżu. wyniki. Z gdy punkty kontrolne du żą leżą W przypadku gdy punkty kon- ' trolne leżą na powie rzchni, to nawet znaczne zaburzenia w danych wejściowych nie zakłócają w sposób istotny wyników obliczeń . • 72 Radosław. A 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Grzymkowski B -0 -- ·o= 1 2 3 - . 1 4 -- i 2 3 4 5 6 7. 8 9 10 ·j o ~ E ~. ; "' 10 11 12 - . 6 5 - - 10 11 - - .g, E c ·o .C; "i "i o .Q ~ {'j :cu . c 'O o ~u ~ f ~ i:' ,.. • ~ ;;; ~ ~ :l: ":!. 46 49 50 48 49 50 l R - l 3.59 - ,. 0.105 p oroż enie Rys. 2. Siatka różnicowa. 0.105 pun k tów k ontrolny ch ...... Dwa przykłady lokalizacji punktów kontrolr~ych(A, B ) l Na rysunkach 2 kiego wlewka o 7 zamie s z czono wyniki t grubości obliczeń uzyskane dla 0,21 m, wytwarzanego ze stali bardze> odl ew a nego z prędkością w = płas miękkiej, 0 , 018.3 m/s. ·Obliczenia testowe prąwadzono w ten spos.ób, ż e najpierw rozwiązano proste zagadnienie brzegowe (p. np. [ 9 , 10, 11 J) przy założonych warunka'ch "-. chłodzenia , a .. uzyskane tą drogą po- le temperatury (rys. 3 ) wykorzystano przy konstruowaniu postulowanych ·. pr'zebie gów temp eratury w. punktach kontrolnych dla zagadnienia odwrotnego. Uzyskane wyniki zamieszczono na rysunkach 4 + .7. 6. Podsumowanie W pracy prze dstawiono dogodny do r eali zac~ i na EMC algorytm re- konstrukcji warunkow brzegowych dla kr zepnącego wlewka. W mod e lu wykor zys tuj e się informacj ę o _p r zebie gach t emp e ratury w ustalonych, pr zemi e szc zających się wionyc h w z ąkrz epłej .wra z z wlewkiem punktach kontrolnych, umiejsco- czę ś c-i wlew k a. 73 Prz;rbliżona metoda anali~ wymian;r cieEła l 0.07 0.14 0. 22 0.29 0.36 0.43 0.51 0.58 0.65 0.73 0.80 0.87 0.95 1.02 1.10 1.17 1.24 1.32 1.39 1.46 1.54 1.61 1.68 . l. 76 1.83 1.90 1.98 2.05 2,12 2.20 2.27 2.34 2.42 2.49 2.56 2.64 2. 71 2.78 2.85 2.93 3.00 3.07 3.15 3.22 3.29 3.37 3. 44 3. 51 3.59 Pole temperatury 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1S50 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 15SO 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1548 1548 1548 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 15.50 1550 1550 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1548 1548 1548 1548 1548 1547 1547 1547 1547 1546 1546 1546 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 . 1549 1549 1549 1549 1549 1549 i548 1548 1548 1547 1547 1547 1547 1546 1546 1546 1545 1545 154L· 1544 1544 1543 1543 1542 1542 1542 1541 1541 1550 1550 1550 1550 1550 1550 15So 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1549 1549 1549 1549 1548 1548 1547 1547 1547 1546 1546 1545 1545 1544 1544 1543 1543 1542 1541 1541 1540 1539 1539 1538 1538 1537 1536 1535 1535 1534 1533 1532 1531 1531 1530 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 15~0 1549 1550 -1548 1550 1548 1550 1546 1549 1545 1549 1543 1548 1542 1548 1540 1547 1538 1547 15:37 1546 1535 1545 1534 1545 1532 1544 1531 1543 1527 1542 1526 1541 1525 1540 1523 1539 1522 1538 1520 1537 1519 1536 1517 1535 1515 1534 1513 1533 1511 1532 1509 1531 1507 1530 1505 1529 1503 1527 1501 1527 1476 1526 1456 1525 1440 1524 1427 1523 1416 1522 1407 1521 1399 1519 1391 1518 1385 1516 1379 1515 1:373 1513 1368 1512 1363 1510 1359 1509 1356 1550 1548 1546 1544 1542 ·1540 1537 1530 1521 1519 1517 1515 1513 1510 1507 1505 1502 1499 1466 1439 1418 1400 1386 1373 1362 1352 1344 1336 1328 1321 1315 1309 1304 1299 1291 1281 1271 1261 1251 1242 1233 1224 1216 1209 1202 1196 1190 1186 1183 1544 1525 1521 1516 1510 1505 1500 1440 1392 1357 1330 1309 1291 1277 1265 1254 1245 1237 1225 1212 1298 1185 1172 1159 1147 1136 1125 1116 1106 1098 1090 1082 1075 1069 1062 1056 1Q49 1041 1034 1027 1020 1013 1006 999 992 990 990 991 992 1464 1290 1162 1082 1042 1031 1037 1032 1009 1007 1000 989 978 967 957 947 939 931 923 915 906 987 887 878 869 1 860 851 844 . 836 829 822 816 810 805 799 794 789 784 779 773 ' 768 763 758 753 748 772 788 800 808 s ex. o 1014 o 1610 1487 1315 1164 1100 1193 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 S50 950 950950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 550 550 550 550 o 1442 o 1618 o o o o o l l l l l l l l l l l l l l l l L l l . l l l l l l l . l l l l l l l l l l 2 2 2 2 Rys. 3. Fragment pola temperatury (obszar krystalizatora + l sektor strefy chłodzenia wtórnego); l - odległość od górnej powie rzchni (m ) , s - strefa chłodzenia, at.- współczynnik wymiany ciepła (W /m 2 K ) Radosław 74 l 0.07 0.14 0.22 0 ..29 0.36 0.43 0.5I O.S8 0.6S o. 73 0.80 0.87 0.9S 1.02 1.10 1SSO 1550 I5SO I5SO I5SO I S50 ISSO 1SSO I550 ISSO ISSO 15SO ISSQ 16SO 1550 LF 1SSO 1.24 1SSO I.~2 15SO I550 1.39 1.46 I S50 I.54 1SSO 1.6I 15SO I.68 1550 1.76 I550 1.83 1550 1.90 1550 1150 1. 98 2.05 1550 2.I2 ISSO . 2 ..20 1SSO 2.27 . ISSO 2..34 1SSO 2.42 1550 15SO 2.49 2..56 1550 2. 64 1550 2.71 1S50 2.78 1550 1550 2. 85 2 ..93 1550 3.00 1550 1550 3.07 3 ..1S 1550 3.22 1550 3 ..29 1549 3.37 1S49 3.44 1549 3.51 1549 1549 3. 59 Grzymkowski Pole temperatury 1SSO 1S50 1550 I S50 I S50 I550 1SSO ISSO 1550 1SSO ISSO 1SSO 1SSO I550 I S50 1SSO 1S50 1S50 1SSO I S50 1S50 1550 15SO I550 1550 1550 1550 ISSO ISSO 1550 1SSO 15SO 1550 1SSO 1S50 1550 1550 1550 1550 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1548 1S48 1SSO 1S50 I550 I5SO 1S50 I550 ISSO 1SSO ISSO 1SSO ISSO 1SSO I5SO 1550 1550 1SSO 1SSO 1550 1S50 1550 1550 I550 I550 1550 1550 I550 1550 ISSO 1550 1SSO 1549 1S49 1549 1S49 1549 1S49 1549 1548 1548 1548 1548 1548 1547 1547 1547 1547 1546 1546 1S46 1SSO 1550 I550 I550 1S50 I550. I5SO 1SSO 1SSO 1S50 ISSO 1SSO ISSO I550 I550 1SSO 1SSO I550 ISSO ISSO 1550 1549 1549 1549 I549 I549 1549 IS48 IS48 1S48 1548 1547 1547 1547 1S46 1546 1S46 154S 154S 1544 1544 1544 1S43 1S43 1542 1542 1541 1S41 1540 1SSO 1SSO I5SO I550 ISSO 1550 I550 1SSO 1SSO 1SSO ISSO ISSO ISSO 1SSO I549 IS49 I549 IS49 1S4t3 I548 I547 1547 1547 I546 1546 I545 1545 ~544 1S44 1543 1543 1542 1541 1541 1546 1S39 1S38 1538 1537 1536 1S3S 1535 1534 1S33 1532 1S31 1530 1530 1529 1SSO ISSO I550 I550 I5SO I550 ISSO 1SSO 1549 1S49 IS49 IS48 IS47 1S47 1546 1S45 I54S I544 IS43 1542 ' I541 l 1546. 1539 I538 1537 I536 1535 1S35 1533 1S32 1531 1530 1529 1528 152S 1524 1523 1522 1521 1520 1519 1517 1516 1514 1273 -1511 1510 1500 1507 Ot 1SSO ISSO ISSO ISSO IS49 I548 I 54& IS47 1S4S 1S43 IS42 IS40 1S39 1537 1535 1S34 IS32 IS3I 1S27 1S26 1525 1523 1522 I528 1S19 ISI7 I5I5 I513 1S11 1S09 1S07 1505 1503 1501 1476 1456 :440 1427 1416 1407 1399 1391 138S 1279 1204 1368 1363 1359 1356 1SSO 1548 I546 I544 I542 IS40 1537 IS3I 152I 15I9 IS17 ,ISIS ISI3 1510 1500 ISOS 1S02 ISOO ' 1466 I440 I419 ;1.40I I307 1374 1363 1354 1345 1337 1338 1323 1317 I311 130S I300 1292 1203 1273 1263 1253 1244 1235 1226 1218 1211 1204 1198 1193 1188 1185 1S44 I 52S IS2I -I5I6 1S11 IS06 1500 1441 I393 13S8 I331 1310 I293 I278 I266 1256 1247 1230 I227 12llf 1200 1.187 1174 116I 1150 1138 1128 1118 1109 110I 1093 1086 · I079 1072 1066 1059 1052 1045 10.38 1031 1024 1017 1016 1003 99799S 995 995 997 1464 I292 117I 109I lOS I 104I 1047 I034 1011 1010 I002 992 ' 98I 970 960 951 943 93S 927 919 910 901 891 882 873 864 856 848 841 834 827 821 8I6 .810 sos 800 79S 790 785 780 775 770 765 760 75S 799 796 806 816 1014 I436 I539 I573 I449 I278 1128 11SO 1186 942 942 941 94I 946 940 939 939 930 940 93Q 939 939 938 938 937 937 936 936 936 935 935 934 934 933 933 932 931 931 930 929 929 928 928 927 927 532 S32 532 532 Rys. 4. Odtworzone pole temperatury .i współczynnik wymiany ciepła na powie rzchni wlewka - wariant A (por. rys. 2 ) . Dane wejściowe za burzone losowo w kolumnie 9 w granicach : SK a w kolumnie 10 w granicach.:: lOK / Prz~bliżona l ALFA RZECZ. 0.07 0.14 0.22 0 ..29 0.36 0.43 0.51 0.58 0 ..65 0 ..73 0.80 0.87 g. 95 1.02 1.10 1.17 1.24 1 ..32 1.39 1.46 1.54 1.61 1.68 1. 76 1.83 1014.487918222 1442.351701333 1618.511392 1610.887032887 1487.398666669 1315.966336 1164.510083557 1100.949951989 1193.205983989 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 . 950 950 950 950 950 950 950 950 950 550 550 550 550 1.90 1.98 2.05 2.12 2.20 2.27 2 ..34 2.42 2.49 2 ..56 2 ..64 2 ..71 2. 78 2~85 l metoda analizy 2.93 3.00 3 ..07 3 ..15 3.22 3.29 3 ..37 3.44 3.51 3.59 w~iany cieEła ALFA ODTW. 1014.48791814 1430.762171011 1539.441065115 1573.832495115 1449.565646398 1278.939039574 . 1128. 7.8777 2464 1150.226332157 1186.384472697 942 ..97 31416559 942.4665999172 941 ..9333790442 941.3854256278 946.83651151375 946.2737083115 939.7182844621 939. 1662894484 938.6189494421 940.1194118608 939.816991521 939 •.4751493244 939.1024708533 938.7061868449 938.2921991187 937.8652334333 937 ..4290236169 936.9864895692 936.5398978057 936. 0909910677 935.6411002291 . 935.1912325535 934.7421418701 934.2943849573 933.8483659858 933.0402135943 932.3109551367 931.6420007215 931.0193531016 930.4325704786 929.8738931406 929.3375485506 928.819222275 928.3156654368 927. 8244b39005 927.3435316383 532.0300909978 532.2156189343 532.2848205097 532.2815573424 75 BŁl\,D WZGL. (% ) 8. 08289566E-09 .0035162513615 4.885373515184 2. 30025675392 2.543569596896 2.813696324372 3.067502805628 4.475805651199 .5716960343423 . 7396692993789 . 7929894824 .8491179953474 .9067973023368 .9652093065789 1.023820177737 l. 882285852411 l. ).48398584379 1.198005321884 l. 040061909389 1.071895629368 1.107879018484 1.147108331232 1.188822437379 l. 232400092768 1. 277 343849126 1.323260671905 1 ..369843203242 1.416852862558 1..4641062034 1.511463133770 l. 558817625947 1.606090329463 l. 65322263607 4 1.700172001495 l. 785240674284 1 ..862004722453 1.932420976684 1.997962831411 2..059729424147 2.118537564147 2. •,.17499488941 2 ..22955555 2.282561532968 2.334273273632 2.384891406495 3.267256182218 3.233523830127 3 ..220941725509 3. 221535028655 . Rys. 5. Porównanie strumienia rzeczywistego i odtworzonego - wariant A Radosław 76 l 0.07 0.14 0.22 0.29 0.,36 0.43 . 0.51 0.58 0.65 0.73 0. 80 0.87 0.95 10.2 1.10 1.17 1.24 1.32 1.39 1.46 1.54 1.61 1.68 1.76 1.83 1.90 1.98 2.05 2.12 2.20 2.27 2 ..34 2.42 2.49 2.56 2.64 2. 71 2.78 2.85 2.93 3.00 3.07 3 ..15 3 ..22 3.29 3.37 3.44 3·. 51 3.59 Grzvmkowski Pole temperatury 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 i549 1549 1549 1549 1549 1549 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 ' 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1549 1548 1548 1548 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 -1550 ' 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 l S50 1549 1549 l549 1549 1549 1549 1549 1548 1548 1548 1548 1548 1547 1547 1547 1547 1546 1546 1546 1546 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1S50 1550 1550 1550 1550 15.50 1550 1550 1549 1549 . 1549 1549 1549 1548 1548 1548 1547 1547 1547 1546 1546 1546 1538 1545 1545 15U 1544 1544 1_543 1543 1542 1542 1541 1541 1540 1540 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1549 1549 1549 1548 1548 1548 1547 1547 1546 1546 1545 1545 1544 1543 1543 1542 1542 1541 1540 1540 1539 1524 1538 1537 1536 1536 1535 1534 1533 1533 1532 1531 1530 1529 1528 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 ' 1550 1549 1549 1548 1548 1547 1547 1546 '1545 1544 . 1543 1542 1541 1540 1539 1538 1537 1536 1534 1533 1532 1531 1538 1529 1527 1527 1526 1525 1429 1523 1522 1521 1520 1518 1517 1515 1514 1512 15ll 1509 1507 1506 Ol. 1550 1550 1543 1454 1550 1548 1523 1281 1550 1546 1519 1153 1t;(. Q 1544 151~ 1549 1548 1547 1546 1545 1543 1541 1540 1538 1537 1535 1533 1532 1528 1522 1521 1520 1519 1517 1516 1514 1512 -1510 1500 1506 1504 1502 1500 1476 1457 1442 1267 1419 1410 1402 1394 1388 1382 1377 1371 1367 1362 1358 1355 1351 1541 1500 1503 1498 1438 1390 1354 1327 1306 1288 1274 1262 1252 1242 1210 1217 1203 1189 1176 ~539 1537 1530 1520 1518 1516 1514 1512 1509 1507 1504 1501 1468 1441 1419 1402 1387 1374 1363 1353 1344 1337 1329 1322 1316 1316 1305 1297 12$7 1277 1052 1258 1248 1239 1231 1223 1216 1209 1202 ll96 1191 ll86 ll83 ll80 1164~ ll52 ll41 1130 1120 ll11 ll03 1095 1087 1080 1073 1066 1059 1052 1045 1038 1031 1024 *017 1010 1004 998 992 990 991 992 994 11)"7'1 1034 1023 1030 1025 1002 . 1001 994 984 973 963 953 944 936 928 921913 984 895 886 877 869 860 852 845 838 931 825 819 813 808 804 799 794 789 785 780 775 770 765 761 756 780 797 809 818 1139 1468 1647 1639 1514 1340 1185 1118 1209 962 960 958 957 956 955 953 952 939 931 92~ 926 925 925 925 926 926 926 926 92G 926 926 926 924 926 916 912 909 907 905 904 904 903 903 903 903 509 510 5ll 512 Rys. 6. Odtworzone pole temperatury i współczynnik wymiany ciepła na pow ierzchni wlewka - wariant B (por. rys. 2 ) . Dane wejściowe za burzono losowe w granicach + lOK w kolumnie 10 Prz,rbliżona metoda anali~ wymian,r cieEła 77 l ALFA RZECZ. ALFA ODTW. BLĄD W ZGL. 0.07 0.14 0.22 0.29 0.36 0.43 0.51 0.58 0.65 0.73 0.80 0.87 0.95 1.02 1..10 1.17 1.24 1.32 1.39 1.46 1.54 1.61 1.68 l. 76 1.83 1.90 1.98 2.05 2.12 2.20 2.27 2.34 2 ..42 2.49 2.56 - 2.64 2.71 2.70 2.85 2.93 3.00 3.07 3.15 3.22 3.29 3.37 3.44 3.51 3.59 1014.487918222 1442.351701333 1618.511392 1610. 887-032887 1487.398666668 1315.966336 1164. 510083557 1100.949951989 1193.205983989 950 950 950 950 950 950 950 . 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 950 550 550 550 550 1139.751531787 1468 •.354605205 1647.294608126 1639.95566824 1514.638864177 1346.204361573 1185.635686143 1118.576403922 1209.2590'71921 962.2202408984 . 960.4640082932 958.9360349965 957.5512912113 956.2579923409 955.0235440003 953.8269944778 952.6547128349 939.3009682042 931.874516:1.665 928.0107350732 926.2314894114 92:).6234836689 925.628088179 925.908212169 926.264812181 926.58451340693 J 926. 8071332329 926.9043175067 926.867268079 9 26. 698 2383565 926.4055302625 926.0003692696 924.0799093156 920.2800358087 916.2191562156 912.6171388238 909.7188900266 '907.5346395178 905.9718482112 904 ..9044359678 904.2067402747 903.7682694246 903.4984370479 903. 3264004841 903.1987755722 509.7192213355 510.9875761934 511.9112334954 512.5943500565 12.34747218917 l. 802812992696 l. 778375874787 l. 804511102241 1.831398542936 1.841842371643 1.814119335186 1.601022090165 1.345374407052 1..2863411472 1.101474557179 .9406352627il95 •79487 27 590842 .6587360358842 .5287941137158 .4028415239789 .2794434563053 1.126213873242 l. 007945666684 2.314659465979 2.501948483011 2.565949087484 2.565464402211 2.535977666421 2.498440823053 2.464780540074 2. 441354396537 2.431124463505 2.435024412737 2..452817015105 2.483628393421 2.5262769189!39 2. 728430598358 3.128417283295 3.555878293095 3.935038018547 4.240116839305 4.470037945495 4.634542293558 4.746901477074 4. 820343128979 4.866497955305 4.894901363379 4. 913010475358 4.926444676611 7 ..323777939 7.093167964836 6 ..925230273564 6. 801027262455 (%) Rys. 7. Porównanie strumienia rzeczywistego i odtworzonego -wariant • B Radosław 78 Grzymkowski Prezentowany algorytm oparto na rozwiązaniu odwrotnego nieliniowe- go zagadnienia brzegowego dla równania przewodnictwa . Rozwiązania w/w zagadnienia pozwala dla z góry ustalonych przebiegów temperatury w punktach kontrolnych wyznaczyć warunki chłodzenia powierzchni wlewka. Wyznaczone na podstawie modelu 'realne strumienie ciepła mogą być wykor "zystane przy konstruowaniu nych ze Na względu na urządzeń określone wc~eśniej przykład właściwe chłodzenie ne, aby na całym do ciągłego obwodzie wlewka była jakościowe potrzeby wtórne powinno odlewania, optymal- być wlewka. tak przeprowadzo- utrzymywana równomierna tem- peratura. R.,ównież temperatura powierzchni wlewka- po jego wyjściu z krystalt zatora aż do skrzepn-Lęcia na całym przekroju powinna spadać stale i równomiernie. Ten drugi postulat może być z powodzeniem testo- wari.y przy pomocy omawianej w pracy metody. 7. Literatura [1] Tichonow A. N.; lnż. Fiz. Żurnal, 34, 2(1975) 338-343. (2] Wolska- Bochenek J. i in.: Zarys teorii równań całkowych i równań różniczkowych cząstkowych, PWN, Warszawa 1981. [3] Tichonow A. N.: Mietody nieszenija niekorriektnych zadacz, Nauka Moskwa 1980 . . [4] Hills R.G. i in.: lnt.Journal of Heat and Mass Transfer, 22, 8 (1979 ) 1221-1229. [SJ Zawiałow J. S., i in. Metody splajn-funkcji, Nauka, Moskwa 1980. [6] Samejłowicz J.A.: Formirowanije slitka, Metallurgija, l7] Sprawozdanie z realizacji zadania "Optymalizacja procesów przepływu ciepła wy Problem [8] Moskwa 1977. w układzie Badań odlewu i formy", 20.04.02. Międzyresorto Podstawowych nr 20, Gliwice 1983. Marczuk G. I.: Analiza numeryczna zagadnień -, -fizyki matematycznej , PWN, Warszawa 1983. [9] Grzymkow ski R.: Modelowanie procesów odlewania i krystalizacji wlewków ciągłych, Praca doktorska, Gliwice 1980. [10] Sprawozdanie z realizacji zadania "Podstawy krystalizacji w procesie odlewania dań ciągłego", 20. 04.04 Międzyresortowy Podstawowych nr 20 , Gliwice 1976-1980. Problem Ba- Przybliżona [11] metoda analizy wymiany ciepła Grzymkowski R., Mochnacki B.: Krzepnięcie Metali 79 Stopów, 2 (1980) 69-134. [12J Mochnacki B.: Arch. Hutn., 28, zesz. l (1983) 79-100. [13] Richtmyer R. D.: Difference methods for initial - ralne problems luterscince Publisher s, New York 1957. [14] Rosenberg D. V.: Methods for the Numerical solution of partia! differential equations, American Elsevir Publishing Company, New York 1969.