Logika II Kognitywistyka II rok Zakres egzaminu rok akademicki

Logika II
Kognitywistyka II rok
Zakres egzaminu
rok akademicki 2011/2012
I. Pojęcia
Na egzaminie obowiązują definicje następujących pojęć wprowadzonych na wykładach;
definicje te mogą Państwo znaleźć w prezentacjach.
¾ interpretacja semantyczna języka KRP (interpretacja semantyczna danego języka pierwszego
rzędu);
¾ M-wartościowanie; wartość termu τ przy M-wartościowaniu s;
¾ spełnianie formuły zdaniowej A przy interpretacji M przez M-wartościowanie s;
¾ prawdziwość i fałszywość formuły zdaniowej (języka KRP, danego języka pierwszego rzędu)
przy interpretacji M;
¾ tautologia: języka KRP, danego języka pierwszego rzędu;
¾ wynikanie logiczne;
¾ domknięcie uporządkowane formuły zdaniowej A;
¾ model semantyczny zbioru formuł X danego języka pierwszego rzędu;
¾ sprzeczny / niesprzeczny (w sensie semantycznym) zbiór formuł zdaniowych danego języka
pierwszego rzędu;
¾ język pierwszego rzędu z identycznością; interpretacja semantyczna z absolutnym pojęciem
identyczności; model semantyczny z absolutnym pojęciem identyczności;
¾ tautologia logiki z identycznością;
¾ wynikanie na gruncie logiki z identycznością; wynikanie w języku (wynikanie z uwagi na
klasę interpretacji standardowych);
¾ spójnik ekstensjonalny, spójnik intensjonalny;
¾ formuła języka modalnego rachunku zdań;
¾ aksjomat rachunkowozdaniowy modalnego rachunku zdań;
¾ struktura modelowa i wartościowanie określone na strukturze modelowej, model Kripkego
(dla normalnych modalnych rachunków zdań);
¾ prawdziwość formuły języka modalnego rachunku zdań w:
o
świecie modelu Kripkego,
o
modelu Kripkego,
o
strukturze modelowej
o
niepustej klasie struktur modelowych.
¾ struktury modelowe i modele Kripkego:
o
seryjne,
o
zwrotne,
o
symetryczne,
o
przechodnie,
1
o
euklidesowe.
¾ wynikanie na gruncie modalnego rachunku zdań.
II. Semantyka teoriomodelowa: zadania
Rozumienie semantyki teoriomodelowej zostanie sprawdzone za pomocą zadań. Dobra wiadomość jest taka, że z pewnością będą to albo zadania z podanej niżej listy, albo zadania
bardzo do nich podobne, tj. z nieco zmienionymi danymi.
1. Niech L będzie językiem pierwszego rzędu, którego jedynymi stałymi pozalogicznymi są: a (stała
indywiduowa), P (predykat jednoargumentowy), R (predykat dwuargumentowy), F (jednoargumentowy symbol funkcyjny). Podaj przykład interpretacji semantycznej języka L.
2. Niech L będzie językiem pierwszego rzędu, którego zbiór stałych pozalogicznych zawiera dokładnie trzy elementy: 0 (stała indywiduowa), = (predykat dwuargumentowy), F (jednoargumentowy
symbol funkcyjny).
a)
b)
c)
sformułuj definicję pojęcia interpretacji semantycznej języka L;
podaj przykład interpretacji semantycznej języka L;
sformułuj definicję pojęcia wartości termu języka L przy M-wartościowaniu s;
d)
sformułuj definicję pojęcia spełniania formuły zdaniowej języka L przy interpretacji
M = <U, ∆> przez M-wartościowanie s.
3. Jaki warunek powinna spełniać formuła A, aby następujące warunki były równoważne:
a) A jest prawdziwa przy interpretacji M;
b) istnieje M-wartościowanie, które (przy interpretacji M) spełnia A.
4. Czy jest możliwe, aby formuła zdaniowa języka pierwszego rzędu była prawdziwa przy jednej interpretacji języka, nie będąc prawdziwą przy innej interpretacji tego języka? Uzasadnij odpowiedź.
5. Czy o każdej formule zdaniowej (danego języka pierwszego rzędu) możemy powiedzieć, że przy
pewnych interpretacjach języka jest ona prawdziwa, przy innych zaś nie? Uzasadnij odpowiedź.
6. Niech A będzie zdaniem języka pierwszego rzędu L. Załóżmy, że dla każdej interpretacji języka L
istnieje takie wartościowanie, które nie spełnia (przy tej interpretacji) zdania A. Czy wówczas zdanie
postaci ¬A jest tautologią? Proszę uzasadnić odpowiedź.
7. Wnioskowanie nazywamy dedukcyjnym wówczas, gdy jego wniosek wynika logicznie z przesłanek. Czy jest tak, że co najmniej jedna przesłanka każdego wnioskowania dedukcyjnego jest tautologią? Proszę uzasadnić odpowiedź.
8. Wnioskowanie nazywamy dedukcyjnym wówczas, gdy jego wniosek wynika logicznie z przesłanek. Czy jest tak, że wniosek każdego wnioskowania dedukcyjnego jest prawdziwy? Proszę uzasadnić
odpowiedź.
9. Niech A, B, C będą formułami zdaniowymi języka pierwszego rzędu L. Przypuśćmy, że A wynika
logicznie ze zbioru formuł {B, C}. Przypuśćmy też, że B oraz C są prawdziwe przy interpretacji M
języka L. Czy możemy stąd wnosić, że A jest prawdą przy każdej interpretacji języka L? Proszę uzasadnić odpowiedź.
10. Niech A, B, C będą formułami zdaniowymi języka pierwszego rzędu L. Przypuśćmy, że C wynika
logicznie z B, natomiast B wynika logicznie z A. Czy wówczas C wynika logicznie z A? Proszę uzasadnić odpowiedź.
11. Niech A, B, C będą formułami zdaniowymi języka pierwszego rzędu L. Przypuśćmy, że C wynika
logicznie z B, natomiast B wynika logicznie z A. Niech M będzie interpretacją języka L, przy której C
nie jest prawdą. Jaka jest wartość logiczna formuły A przy interpretacji M? Proszę uzasadnić odpowiedź.
12. Niech A ∈ CnL(X) oraz niech A╞ B. Przypuśćmy, że interpretacja M jest modelem zbioru formuł
X. Co w tej sytuacji możemy powiedzieć o wartości logicznej formuły B przy interpretacji M?
2
13. Niech A ∈ Cn(X) oraz niech A╞ B. Przypuśćmy, że interpretacja M jest modelem zbioru formuł X.
Co w tej sytuacji możemy powiedzieć o wartości logicznej formuły B przy interpretacji M?
14. Niech A będzie zdaniem danego języka pierwszego rzędu, natomiast X będzie zbiorem formuł zdaniowych tego języka. Przypuśćmy, że A nie wynika logicznie ze zbioru X. Czy w tej sytuacji możemy
powiedzieć, że zbiór X ∪ {¬A} posiada model? Proszę uzasadnić odpowiedź.
15. Niech A będzie zdaniem danego języka pierwszego rzędu, natomiast X będzie zbiorem formuł
zdaniowych tego języka. Przypuśćmy, że A wynika logicznie ze zbioru X. Czy w tej sytuacji możemy
powiedzieć, że zbiór X ∪ {¬A} nie posiada modelu? Proszę uzasadnić odpowiedź.
16. Przypuśćmy, że zachodzą: (a) X╞ A, (b) X╞ B, (c) A╞ ¬B. Czy w tej sytuacji możemy z całą pewnością stwierdzić, ze zbiór X jest semantycznie sprzeczny? Proszę uzasadnić odpowiedź.
17. Niech X będzie zbiorem formuł zdaniowych danego języka pierwszego rzędu L spełniającym następujący warunek:
(*)
nie istnieje formuła zdaniowa A języka L taka, że zarówno A, jak i ¬A są elementami
X-a
Czy w tej sytuacji możemy z całą pewnością stwierdzić, ze zbiór X nie jest semantycznie sprzeczny?
Proszę uzasadnić odpowiedź.
18. Niech X będzie zbiorem formuł zdaniowych danego języka pierwszego rzędu L spełniającym następujący warunek:
(*)
nie istnieje formuła zdaniowa A języka L taka, że zarówno A, jak i ¬A wynikają logicznie z X-a
Czy w tej sytuacji możemy z całą pewnością stwierdzić, ze zbiór X nie jest semantycznie sprzeczny?
Proszę uzasadnić odpowiedź.
19. Przypuśćmy, że Ygrekowski najpierw ustalił (i się nie pomylił!), że X ╞ A, a następnie znalazł taką
formułę B, że zachodzi X ∪{B} ╞ ¬A. Czy w tej sytuacji Ygrekowski może dalej zasadnie utrzymywać, że zachodzi X ╞ A ? Proszę uzasadnić odpowiedź.
20. Przypuśćmy, że Ygrekowski najpierw ustalił (i się nie pomylił!), że X╞ A, a następnie znalazł taką
formułę B, że zachodzi X ∪{B}╞ ¬A. Czy w tej sytuacji Ygrekowski może zasadnie utrzymywać, że
zachodzi X ∪{B}╞ A ? Proszę uzasadnić odpowiedź.
Uwaga: Kolejne pytania to pytania testowe: wśród stwierdzeń (a)-(d) należy zaznaczyć wszystkie te (i
tylko te !) stwierdzenia, o których prawdziwości wolno wnosić wyłącznie na podstawie podanej informacji.
21. Załóżmy, że formuła zdaniowa A = ‘∀x1P2(a3, x1)’ jest spełniona przez pewne M-wartościowanie s
(przy interpretacji M). Czy wówczas:
(a) każde M-wartościowanie spełnia formułę A,
(b) formuła A jest spełnialna,
(c) formuła A jest prawdziwa przy interpretacji M,
(d) negacja ¬A formuły A jest fałszywa przy interpretacji M.
22. Załóżmy, że formuła zdaniowa A = ‘R(x1, x2) → P(a)’ jest spełniona przez pewne Mwartościowanie s (przy interpretacji M). Załóżmy ponadto, że M-wartościowanie s spełnia (przy interpretacji M) formułę P(a). Czy wówczas:
(a) A ∈ Vr(M),
(b) formuła P(a) jest prawdziwa przy interpretacji M,
(c) formuła zdaniowa A jest prawdziwa przy interpretacji M,
(d) interpretacja M jest modelem jednoelementowego zbioru {P(a)}.
23. Załóżmy, że zdanie A języka KRP wynika logicznie ze zbioru formuł zdaniowych X języka KRP.
Załóżmy też, że M jest interpretacją języka KRP. Czy wówczas:
3
(a)
(b)
(c)
(d)
interpretacja M jest modelem zbioru X ∪{¬A},
jeśli X ⊆ Vr(M), to M ╞ ¬A,
jeśli M jest modelem zbioru {A}, to M jest modelem zbioru X,
jeśli M jest modelem zbioru X, to zdanie A jest prawdziwe przy interpretacji M.
24. Załóżmy, że formuła zdaniowa A = ‘∃x4 (P12(a7, x4))’ jest spełniona przez pewne wartościowanie s
przy interpretacji M. Czy wówczas:
(a) może istnieć takie M-wartościowanie s’, które nie spełnia formuły A,
(b) A ∈ Vr(M),
(c) formuła zdaniowa A nie jest ani prawdziwa ani fałszywa przy interpretacji M,.
(d) interpretacja M jest modelem jednoelementowego zbioru {A}.
25. Załóżmy, że formuła zdaniowa A języka KRP wynika logicznie ze zbioru formuł zdaniowych X
tego języka. Załóżmy też, że M jest dowolną interpretacją języka KRP. Czy wówczas:
(a) musi istnieć model zbioru X ∪ {A},
(b) jeśli M╞ X, to M╞ A,
(c) jeśli M╞ A, to M╞ X,
(d) jeśli jakaś formuła ze zbioru X nie jest prawdziwa przy interpretacji M, to nie wiadomo,
czy formuła A jest prawdziwa przy interpretacji M.
26. Załóżmy, że zachodzi X ╞ A. Czy wówczas:
(a) Y╞ A dla każdego Y takiego, że X ⊆ Y;
(b) Y╞ A dla każdego Y takiego, że Y ⊆ X;
(c) istnieje interpretacja M taka, ze X ⊆ Vr(M);
(d) istnieje interpretacja M taka, że A ∈ Vr(M).
III. Semantyka teoriomodelowa: twierdzenia
Przyzwoitość wymaga, aby znać (i rozumieć :)) wszystkie twierdzenia, o których była mowa
na wykładach. Kompromis między bytem a powinnością skutkuje następującym zestawem
zagadnień (dobra wiadomość jest analogiczna do poprzedniej):
27. Podaj treść i przeprowadź dowód twierdzenia: (a) o semantycznej zasadzie wyłączonego środka;
(b) o semantycznej zasadzie sprzeczności (Twierdzenia 3.5, 3.6).
28. Podaj dowód następującego twierdzenia (Twierdzenie 5.6): Jeżeli Y╞ A oraz Y ⊆ X, to X╞ A oraz
wyjaśnij jego treść intuicyjną.
29. Proszę udowodnić następujące twierdzenie (zob. Lemat 6.2. część (i)). Jeżeli każdy syntaktycznie
niesprzeczny zbiór formuł zdaniowych posiada model, to każda tautologia jest tezą KRP.
30. Podaj dowód następującego twierdzenia: Jeżeli istnieje formuła zdaniowa A taka, że A nie wynika
logicznie ze zbioru formuł zdaniowych X, to X jest zbiorem (semantycznie) niesprzecznym (uwaga:
twierdzenie to jest bezpośrednim następstwem Twierdzenia 5.10: Jeżeli X jest sprzecznym zbiorem
formuł zdaniowych, to X ╞ A dla dowolnej formuły zdaniowej A, wystarczy zatem udowodnić to
twierdzenie i dokonać transpozycji).
31. Podaj treść twierdzenia (a) o adekwatności KRP (względem semantyki teoriomodelowej), (b) o
pełności KRP (względem semantyki teoriomodelowej).
32. Podaj treść twierdzenia Gődla o istnieniu modelu.
33. Co głosi lemat Lindenbauma?
34. Co głosi twierdzenie Lőwenheima-Skolema?
4
Uwaga: W odpowiedzi na kolejne pytania należy sformułować odpowiednie twierdzenie(a) i
ewentualnie dodać komentarz.
35. Co to znaczy, że reguły inferencyjne KRP gwarantują „dziedziczenie prawdziwości”?
36. Co to znaczy, że operacja konsekwencji (konsekwencji logicznej) nie wyprowadza poza zbiór formuł prawdziwych (przy danej interpretacji języka)?
37. Co łączy a co różni następujące pojęcia:
(a) pojęcie tezy KRP i pojęcie tautologii KRP?
(b) pojęcie konsekwencji logicznej i pojęcie wynikania logicznego?
(c) pojęcie syntaktycznie sprzecznego (niesprzecznego) zbioru formuł i pojęcie semantycznie
sprzecznego (niesprzecznego) zbioru formuł?
38. Co to znaczy, że relacja wynikania logicznego jest (a) monotoniczna, (b) finitystyczna?
IV. Logiki nieklasyczne
W przypadku modalnych rachunków zdań omówionych na wykładach trzeba z pewnością:
¾ wiedzieć, czym różni się możliwość jednostronna od możliwości obustronnej;
¾ odróżniać modalności de dicto od modalności de re;
¾ odróżniać modalności aletyczne od modalności epistemicznych, deontycznych i temporalnych;
¾ wiedzieć, jak można zdefiniować operator możliwości korzystając z negacji i operatora konieczności; oraz operator konieczności korzystając z negacji i operatora możliwości;
¾ umieć określać własności relacji binarnych w zadanych zbiorach;
¾ wiedzieć, czym są formuły K, D, T, B, 4, E i 5;
¾ znać reguły inferencyjne: RO, RP, RG, RZ, RR (reguła regularności), RE (reguła ekstensjonalności);
¾ wiedzieć, czym są rachunki K, D, T, B, S4 i S5 (tj. czym są ich aksjomaty i pierwotne reguły
inferencyjne) oraz znać ich hierarchię (tj. „który jest zawarty w którym”);
¾ znać co najmniej 5 tez któregoś z powyższych rachunków zdań, tez nie będących aksjomatami, oraz umieć przeprowadzić dowody najmniej czterech (wybranych przez Państwa) takich tez konstruując odpowiednie tabele analityczne.
¾ znać twierdzenia o adekwatności i pełności rozważanych modalnych rachunków zdań
względem semantyki relacyjnej (tj. twierdzenia 10.5, 10.6, 10.8, 10.9, 10.11, 10.12, 10.14,
10.15, 10.17, 10.18, 10.19, 10.20, 10.21, oraz stosowne „Wnioski”; podpowiadam, ze treść
tych twierdzeń podsumowałem w odpowiedniej tabeli).
¾ umieć udowodnić twierdzenia 10.2 (tylko dla przypadków RO i RG!) oraz 10.16.
W przypadku logiki intuicjonistycznej należy:
¾
znać intuicjonistyczny sposób rozumienia stałych logicznych;
¾
znać przykłady co najmniej 4 tez KRZ, które nie są tezami IRZ;
¾
wiedzieć, czym jest „własność dysjunkcji”
W przypadku trójwartościowego rachunku zdań Łukasiewicza należy::
¾
znać charakterystykę tabelową spójników w tym rachunku;
¾
wiedzieć, czym jest matryca wyznaczająca ten rachunek;
¾
a ponadto wiedzieć, czym jest wynikanie na gruncie trójwartościowego rachunku zdań
Łukasiewicza.
5