Notacja mechaników

Notacja mechaników
Symbol nabla może być przedstawiony w notacji wektorowej:
∂ ∂ ∂
,
,
.
∇=
∂x ∂y ∂z
Wtedy np. gradient jest formalnie pomnożeniem tego wektora przez funkcję (skalar) z prawej strony:
∂f ∂f ∂f
∂ ∂ ∂
,
,
f=
,
,
.
∇f =
∂x ∂y ∂z
∂x ∂y ∂z
Dywergencja pola wektorowego ~v = (v 1 , v 2 , v 3 ) to funkcja
div ~v =
∂v 1
∂v 2
∂v 3
+
+
,
∂x
∂y
∂z
a jego rotacja to pole wektorowe
rot ~v =
∂v 2 ∂v 1
∂v 3 ∂v 2
∂v 1
∂v 3
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
.
1. Udowodnić zależności
(a) ∇ ◦ ~v = div ~v
(b) ∇ × ~v = rot ~v
(c) div(rot f ) = 0
(d) div(∇f ) = (∇ ◦ ∇)f = ∆f
(e) rot(∇f ) = 0
(f) rot(rot ~v ) = ∇(div ~v ) − ∆~v
[Rachunek wektorowy w R3 ] Stosujemy tzw. konwencję sumacyjną Einsteina, tzn. nie piszemy znaku
sumy oraz sumujemy po wskaźnikach, które się powtarzają:
3
X
ai bi = ai bi .
i=1
Ponadto, jeśli jeden ze wskaźników nie ma „pary”, to traktujemy go tak jakby był sumowany z wersorami
~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1), tzn.
v k = v k~ek = (v 1 , v 2 , v 3 ).
Zatem v k jest tak naprawdę wektorem (v 1 , v 2 , v 3 ), a np. v k v k jest liczbą – długością tego wektora podniesioną
P3
do kwadratu: v k v k = k=1 v k v k = |~v |2 .
Wprowadzamy deltę Kroneckera:
δij =
1,
0,
gdy i = j
gdy i =
6 j
Za pomocą tego symbolu możemy np. „wyłuskać” k-tą wsółrzędną wektora ~v :
v k = v i δik =
3
X
v i δik .
i=1
Pożyteczne jest także wprowadzenie symbolu Levi-Civita:

 +1, gdy (i, j, k) ∈ {(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)}
−1, gdy (i, j, k) ∈ {(1, 3, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 3)}
εijk =

0, w pozostałych przypadkach
Zauważmy, że εijk = 0 dokładnie wtedy, gdy któreś dwa z trzech wskaźników i, j, k są takie same. Ponadto
zachodzą wzory εijk = εjki = εkij = −εikj .
Symbol Levi-Civita pozwala na zgrabne zapisanie
a1 a2
b1 b2
c1 c2
wyznacznika:
a3 b3 = εijk ai bj ck .
c3 W szczególności, ponieważ iloczyn wektorowy jest specjalnego rodzaju wyznacznikiem, mamy wzór
~e1 ~e2 ~e3 1
~u × ~v = u u2 u3 = εijk ui v j ~ek = εijk ui v j .
v 1 v 2 v 3 Zachodzi ważny wzór, wiążący symbole Levi-Civita i Kroneckera:
εijk εmnk = δim δjn − δin δjm
(zgodnie z konwencją sumacyjną, po lewej stronie powyższej równości sumujemy po k, a pozostałe wskaźniki
się nie zmieniają).
2. Udowodnić:
(a) ~u ◦ ~v = ui v i
(b) |~u|2 = ~u ◦ ~u
(c) ~u × ~u = 0
(d) ~u × ~v = −~v × ~u
(e) (~u × ~v ) ◦ ~u = 0
1
2
3
u
1 u2 u3 v
v = (~u × ~v ) ◦ w.
(g) v
~
w 1 w 2 w 3 (f) ~u × (~u × ~v ) = (~u ◦ ~v )~u − |~u|2~v
(h) ~u × (~v × w)
~ = (~u ◦ w)
~ ◦ ~v − (~u ◦ ~v ) ◦ w
~
(i) (~u × ~v ) ◦ (w
~ × ~y ) = (~u ◦ w)(~
~ v ◦ ~y ) − (~v ◦ w)(~
~ u ◦ ~y )
(j) (~u × ~v ) × (w
~ × ~y ) = (~u ◦ (~v × ~y ))w
~ − (~u ◦ (~v × w))~
~ y
[„Notacja mechaników”] Podobnie jak dla wektorów, wprowadzimy uproszczoną notację dla pochodnych
cząstkowych. Niech f = f (x1 , x2 , x3 ) będzie funkcą trzech zmiennych. Pochodne cząstkowe będziemy pisali
po przecinku:
∂f
f,i =
,
∂xi
∂f
itd. W szczególności, stosując konwencję sumacyjną, możemy zapisać gradient funkcji w
czyli f,1 = ∂x
1
prostej postaci:
∇f = f,k~ek = f,k .
Podobnie jeśli mamy do czynienia z polem wektorowym ~v = ~v (x1 , x2 , x3 ) = v k (x1 , x2 , x3 )~ek = v k (x1 , x2 , x3 ),
to możemy zastosować powyższą notację do każdej z jego składowych:
v,ik =
∂v k
.
∂xi
Dzięki konwencji sumacyjnej możemy np. w prosty sposób zapisać dywergencję pola ~v jako div ~v = v,ii , a
i
także jego rotację jako rot ~v = εijk v,j
.
3. Udowodnić wszystkie zależności z zad. 1, korzystając z powyższej notacji.