pp_1.07.

1.7.
Zastosowanie zmiennej zespolonej do opisu przepływów elementarnych
Jak zauważono w rozdziale poprzednim, zastosowanie rachunku zmiennej zespolonej
upraszcza analizę przepływów potencjalnych i dla zilustrowania tego stwierdzenia
rozważymy raz jeszcze przepływy elementarne opisane w rozdz.1.4. Zwróćmy przy tym
uwagę, na ile prostsze stają się wówczas obliczenia potrzebne do określenia funkcji
potencjału, prądu oraz pola prędkości tych przepływów.
1.7.1. Przepływ równoległy
Rozważmy funkcję zespoloną:
f ( z ) = Az = (a + i b ) ( x + i y )
(1.53)
gdzie a ,b są skończonymi liczbami rzeczywistymi. Jeżeli f ( z ) przedstawia zespolony
potencjał, wówczas:
f ( z ) = ϕ + iψ = a x − b y + i ( b x + a y )
co daje potencjał prędkości ϕ i funkcję prądu ψ :
ϕ = ax − by ; ψ = bx + ay
które tworzą ortogonalną siatkę (patrz rys. 1.8) daną równaniami:
b
y = − x+C
(linie prądu)
a
a
y = x+C
(linie ekwipotencjonalne)
b
Prędkość sprzężona (patrz równ. 1.52) dana jest związkiem:
df
= U x − iU y = a + ib
dz
co pozwala wyliczyć następujące wartości składowych prędkości:
Ux = a
Uy =b
Zerowa linia prądu ψ o jest dana równaniem:
b
x
a
i jeżeli zamiast zerowej linii prądu ψ o umieścimy nieskończenie cienką, sztywną ścianę,
wówczas zespolony potencjał dany równ. (1.53) będzie przedstawiał przepływ wzdłuż
nieskończenie długiej ściany (patrz rys. 1.8).
y=−
1.7.2. Przepływ w narożu
Użycie zmiennej zespolonej sprawia, że łatwo można udowodnić, iż przepływ w
narożu opisany w rozdz. 1.4.2. jest specjalnym przypadkiem bardziej ogólnej klasy
przepływów, danej następującym przepływem zespolonym:
a
f ( z ) = zn
(1.54)
n
gdzie a , n są skończonymi liczbami rzeczywistymi.
Jeżeli zdecydujemy się na opis w biegunowym układzie współrzędnych, tzn.:
z = r exp ( iϑ )
wówczas równanie (1.54) opisujące zespolony potencjał przybiera postać:
a
a
f ( z ) = r n exp ( inϑ ) = r n (cos nϑ + i sin nϑ )
n
n
która po rozdziale na część rzeczywistą i urojoną prowadzi do potencjału prędkości i funkcji
prądu danych następującymi związkami:
40
a n
a n
r
r
n
n
ϕ=
cos nϑ
; ψ =
sin nϑ
n
n
Rodzina linii prądu dana jest związkiem
r n sin nϑ = C
a zerową linię prądu ψ o otrzymujemy dla C = 0 , co oznacza, że jest to linia spełniająca
warunek:
sin nϑ = 0
Warunek ten wymaga, aby kąt ϑ był równy
kπ
ϑ=
; k = 0 ,1...
n
co oznacza, że linie prądu ψ o są rodziną linii prostych wychodzących z początku układu
współrzędnych.
Można łatwo sprawdzić, że dla n = 2 potencjał zespolony odpowiada przepływowi
uderzającemu, tzn.:
a
f ( z ) = z2
(1.55)
2
w którym linie ψ o są określane jako
1
2
ϑ = kπ
( k = 0 ,1,2 ,3 )
co odpowiada osiom x oraz y układu współrzędnych (patrz rys. 1.11.), podczas gdy
pozostałe linie prądu są dane równaniem równoosiowych hiperbol:
ψ = 2 axy
jak już pokazano na rys. 1.10.
Czytelnik może łatwo sprawdzić, że dla n = 1 otrzymujemy przepływ równoległy do
osi x , którego pole prędkości dane jest równaniem:
U =Ux = a
podczas gdy w ogólnym przypadku zespolony potencjał dany wz. (1.54) przedstawia
przepływ między dwoma płaszczyznami nachylonymi pod dowolnym kątem względem siebie
(kąt jest dowolny lecz określony wartością n ).
1.7.3. Źródło płaskie
Rozważmy zespoloną funkcję logarytmiczną:
z
(1.56)
a
w której A, a są skończonymi liczbami rzeczywistymi i która to funkcja wyrażona być może
w biegunowym układzie współrzędnych następującą zależnością:
r
f ( z ) = A (ln + iϑ )
a
Potencjał zespolony dany wz. (1.56) po rozdziale na część rzeczywistą i urojoną pozwala
uzyskać potencjał prędkości i funkcję prądu, które będą dane następującymi zależnościami:
r
ϕ = A ln
; ψ = Aϑ
a
Jeżeli założymy stałą wartość funkcji potencjału prędkości φ=const, wówczas warunek ten
będzie spełniony wzdłuż linii:
r =C
które tworzą rodzinę współśrodkowych okręgów o środkach umiejscowionych w początku
układu współrzędnych. Linie stałych wartości funkcji prądu ϕ = const są dane następującą
zależnością:
f ( z ) = A ln
41
ϑ =C
co oznacza, że tworzą one rodzinę linii prostych przecinających początek układu
współrzędnych. Obraz linii ekwipotencjalnych i linii prądu zespolonego źródła płaskiego jest
przy tym identyczny jak na rys. 1.14.
Spróbujmy teraz powiązać wartość stałej A z fizycznymi parametrami przepływu i w
tym celu należy obliczyć różnicę wartości funkcji prądu wzdłuż linii prądu odpowiadających
następującym wartościom kąta ϑ :
ϑ = 2π
; ϑ =0
co daje:
Q =ψ 2π −ψ o = 2π A
co pozwala wyrazić zespolony potencjał źródła w sposób następujący gdzie Q -wydatek
objętościowy źródła:
Q
z
(1.57)
f(z)=±
ln
2π a
gdzie znak + / − oznacza odpowiednio źródło lub upust.
Prędkość sprzężona w biegunowym układzie współrzędnych może być wyrażona jako:
Q 1
U r − iUϑ = ±
exp ( iϑ )
2π 2
co daje:
Ur = ±
→
Q
2πr
U= U =
;
Uϑ = 0
Q 1
2π r
Linie prądu i linie ekwipotencjalne pokazano schematycznie na rys. 1.13 i jak wykazano w
rozdz. 1.4.2. w początku układu współrzędnych otrzymujemy osobliwość, gdyż w punkcie
tym r → 0 co daje U → ∞ .
1.7.4. Płaski wir potencjalny
Dla opisu płaskiego wiru potencjalnego przyjmujemy następującą funkcję zespoloną:
z
f ( z ) = iB ln
(1.58)
a
gdzie B - jest skończoną liczbą rzeczywistą, po uwzględnieniu zal. (1.47) pozwala zapisać w
kartezjańskim układzie współrzędnych:
r
ϕ + iΨ = iB ln − Bϑ
a
Rozdział tej funkcji na część rzeczywistą i urojoną pozwala uzyskać następujące funkcje
potencjału i prądu:
r
ϕ = − Bϑ ; ψ = B ln
a
co oznacza, że jest to przepływ sprzężony względem źródła płaskiego. Możemy zatem
stwierdzić, że zal. (1.58) przedstawia zespolony potencjał wiru płaskiego, którego linie prądu
tworzą rodzinę współśrodkowych okręgów, jak pokazano na rys. 1.15.
Stała B może być powiązana z cyrkulacją prędkości Γ w sposób następujący:
Γ = ϕ 2π − ϕ o = − 2 Bπ
co daje:
B=−
Γ
2π
42
Podstawienie powyższej zależności do równ. (1.58) pozwala zapisać następującą postać
potencjału zespolonego:
Γ
z
Γ
z
f(z)= −i
ln =
ln
(1.59)
2π a i 2π a
opisującego pole przepływu płaskiego wiru potencjalnego.
Prędkość sprzężona tego przepływu jest równa:
U r −iU ϑ =− i
Γ
2π r
co pozwala otrzymać następujące wyrażenia na promieniową i obwodową składową
prędkości:
Ur = 0
;
Uϑ =
Γ
2π r
→
Γ
U= U =
2π r
Jak można zauważyć na rys. 1.15, wartość promieniowej składowej prędkości jest odwrotnie
proporcjonalna do promienia a dla potencjału zespolonego danego wz. (1.59) kierunek obrotu
jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Ponadto, dla r → 0 wektor prędkości U → ∞ ,
co oznacza, że mamy punkt osobliwy w początku układu współrzędnych.
1.7.5. Źródło podwójne i dipol.
Zajmijmy się superpozycją źródła o wydatku Q umieszczonego w punkcie ( a ,0 ) i
upustu o identycznym, lecz przeciwnym co do znaku wydatku - Q zlokalizowanego w
punkcie ( −a ,0 ) . Zespolone potencjały źródła f 1 ( z ) oraz upustu f 2 ( z ) można zapisać
następująco:
Q
z−a
f1( z ) =
ln
2π
a
Q
z+a
f2( z ) =
ln
2π
a
co pozwala przeprowadzić następującą superpozycję:
Q
z−a
ln
(1.60)
f ( z ) = f1( z ) + f 2 ( z ) =
2π z + a
i po wykonaniu typowych przekształceń (patrz rozdz. 1.4.5.), tzn.:
z + a = r1 exp( iϑ1 ) ;
z − a = r2 exp( iϑ 2 )
otrzymujemy potencjał prędkości i funkcję prądu źródła podwójnego:
Q
Q r2
(ϑ2 − ϑ1 )
ϕ=
; Ψ =
ln
2π
2π r1
w sposób, który omawialiśmy poprzednio.
Jeżeli założymy, że odległość między źródłem i upustem zmierza do zera, tzn.:
2a → 0
lecz jednocześnie moment dipola M zachowuje stałą wartość:
M = 2 a Q = const
wówczas możemy przekształcić równ. (1.60) do postaci:
a
1−
Q
z
(1.60.a)
f(z)=
ln
a
2π
1+
z
Po rozłożeniu funkcji występującej po prawej stronie powyższego równania w szereg Taylora
o postaci:
43


1+ x
x3 x5

=2 x+
+
+ ... dla
ln


1− x
3
5


x <1
potencjał zespolony dany zw. (1.60.a) możemy zapisać:
 2 aQ 1  1  a  2
 
f ( z ) = − lim 
1 +   + ... 
a →0
 2π z  3  2 
 
co daje w granicy zespolony potencjał dipola:
M 1
f(z)=−
(1.61)
2π z
Rozdzielenie powyższej funkcji zespolonej na część rzeczywistą i urojoną:
M 1
ϕ + iϕ = −
exp ( −iϑ )
2π r
prowadzi do następujących wyrażeń na potencjał prędkości ϕ oraz funkcję prądu ψ :
M
M
ϕ=−
cos ϑ
; ψ=
sin ϑ
2πr
2πr
Siatka linii prądu i linii ekwipotencjalnych dipola jest naszkicowana na rys. 1.22, natomiast
prędkość sprzężona tego przepływu jest opisana następującym związkiem:
M 1
exp ( −2iϑ )
U r − i Uϑ =
2π r 2
z którego wynikają następujące wyrażenia dla składowych prędkości:
M 1
M 1
sin 2ϑ
Ur =
cos 2ϑ
; Uϑ =
2
2π r
2π r 2
Jak stwierdzono wcześniej w rozdz. 1.4.5. zarówno źródło podwójne jak i dipol nie powinny
być nazywane przepływami elementarnymi. Ponieważ jednak są one tak często używanymi
elementami składowymi bardziej złożonych przepływów, stąd też przyjęło się traktować je
jak gdyby były one prostymi przepływami potencjalnymi. Warto również zauważyć, że w
wielu zastosowaniach (patrz rozdział następny) dipol charakteryzuje się odwrotnym
położeniem źródła ( −a ,0 ) oraz upustu ( a ,0 ) i w tym przypadku zespolony potencjał jest
dany jako:
M 1
(1.62)
f(z)=
2π z
i łatwo można zauważyć, że jedyną różnicą w porównaniu ze związkiem (1.61) jest zmiana
znaku.
44