Lista 30C

Uniwersyteckie Kółko Matematyczne - poziom C
www.math.uni.wroc.pl/˜preisner/jg
Maciej Dołęga, Jelenia Góra, 16 kwietnia 2011 r.
Chińskie twierdzenie o resztach
Zanim przejdziemy do głównego Twierdzenia, zróbmy parę zadań na rozgrzewkę.
1. Jakie liczby x spełniają układ kongruencji:
(a) x ≡ 1( mod 2),
x ≡ 2( mod 3)
(b) x ≡ 1( mod 2),
x ≡ 4( mod 8)
(c) x ≡ 5( mod 6),
x ≡ 4( mod 9)
(d) x ≡ 1( mod 2),
x ≡ 2( mod 3),
(e) x ≡ 3( mod 7),
x ≡ 5( mod 11)
x ≡ 3( mod 5)
2. Dlaczego w przykładach b) i c) z zadania pierwszego nie było rozwiązań? Kiedy możemy być pewni,
że znajdzie się rozwiązanie?
3. Jakim (prostszym) kongruencjom jest równoważne przystawanie:
(a) x ≡ 17( mod 30)
(b) x ≡ 13( mod 70)
(c) x ≡ 13( mod 70)
4. Znajdź jakiekolwiek, całkowite rozwiazanie (x, y) równania:
(a) 7x + 2y = 1
(b) 5x + 18y = 1
(c) 22x + 18y = 1
(d) 35x + 84y = 1
Twierdzenie 0.1 Załóżmy, że liczby d1 , d2 , . . . , dk są względnie pierwsze oraz że liczby r1 , r2 , . . . , rk ,
to dowolne całkowite. Wówczas układ:

x ≡ r1 ( mod d1 )



x ≡ r ( mod d )
2
2

.
.
.



x ≡ rk ( mod dk )
ma nieskończenie wiele rozwiązań. Wszystkie one są postaci x = u + D · n, gdzie D = d1 · d2 · · · dk ,
u ∈ {0, 1, 2, . . . , D − 1}, zaś n jest dowolną liczbą całkowitą.
Twierdzenie to może wydawać się dość abstrakcyjne. Popatrzmy więc na przykłady:
Przykład 0.1 Rozważmy układ:
x ≡ 1(
mod 2),
x ≡ 2(
mod 3),
x ≡ 3(
mod 5)
z zadania 1. Chińskie twierdzenie o resztach mówi, że układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań,
gdyż liczby 2, 3, 5 są względnie pierwsze. Mówi ono również, że rozwiązania są postaci r + 30n, co
zgadza się z naszm rozwiązaniem.
1
Przykład 0.2 Rozważmy układ:
x ≡ 5(
mod 6),
x ≡ 4(
mod 9)
z zadania 1. Okazuje się, że układ ten nie ma rozwiązań. Nie przeczy to Chińskiemu twierdzeniu o
resztach, gdyż liczby 6 i 9 są podzielne przez 3, więc nie są względnie pierwsze.
Zobaczmy teraz jak możemy wykorzystać to Twierdzenie, aby rozwiązać nieco trudniejsze zadania.
5. Reszta przy dzieleniu liczby całkowitej a przez 7 wynosi 4, zaś reszta przy dzieleniu tej liczby przez
8 wynosi 6. Oblicz resztę przy dzieleniu liczby a przez 56.
6. W sadzie zebrano jabłka, których nie było więcej niż 1000. Gdyby podzielić jabłka równo do 7 koszy,
to zostanie 1 jabłko. Gdyby podzielić jabłka równo do 13 koszy, to zostanie 6 jabłek. Można jednak
podzielić jabłka równo na 11 części. Ile zebrano jabłek?
7. Pokaż, że istnieje 2011 kolejnych liczb naturalnych, z których każda jest podzielna przez kwadrat
liczby naturalnej.
8. Pokaż, że istnieje 2011 kolejnych liczb naturalnych, z których każda ma co najmniej 2011 dzielników
pierwszych.
9. Pokaż, że istnieje 1000001 kolejnych liczb naturalnych, z których żadna nie jest sumą 2 kwadratów
liczb całkowitych. Wskazówka: Liczba naturalna jest sumą dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy,
gdy w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby pierwsze postaci 4k + 3 występują tylko w parzystych
potęgach.
10. Pokaż, że istnieje taka liczba całkowita dodatnia n, że liczba n4 + n3 + n2 + n + 1 ma co najmniej
2007 różnych dzielników pierwszych.
11. Dla jakich dodatnich liczb całkowitych n, istnieje dodatnia liczba całkowita N , taka że żadna z liczb
1 + N , 2 + N , . . . , n + N nie jest kwadratem liczby pierwszej?
2