PODSTAWY AUTOMATYKI I MIERNICTWA PRZEMYSŁOWEGO

Rok akademicki 2015/2016
Semestr letni
PODSTAWY AUTOMATYKI I MIERNICTWA PRZEMYSŁOWEGO
Laboratorium 2
Modelowanie układów przy użyciu pakietu Simulink
Wstęp teoretyczny:
Częśd I: modelowanie reakcji chemicznych
Reaktor to naczynie reakcyjne, w którym zachodzą różnorodne procesy (zarówno chemiczne
jak i biochemiczne) służące do osiągnięcia zamierzonego celu, jakim jest przekształcenie
dostarczanego substratu w pożądany produkt. Może to byd określony związek chemiczny lub
namnożona biomasa (np. w hodowlach komórkowych). Reaktory to urządzenia, które zapewniają
i utrzymują odpowiednie warunki do przeprowadzania reakcji. Ważnym czynnikiem jest zapewnienie
sterylności. Budowa reaktora jest determinowana przez charakter procesu, który może mied różne
wymagania dotyczące na przykład: dostępu do światła lub tlenu, rodzaju doprowadzanego substratu.
Oprócz elementów konstrukcyjnych bardzo ważnym aspektem jest kontrola parametrów w czasie
rzeczywistym i umiejętnośd reagowania w odpowiedni sposób na pojawiające się zmiany środowiska
wewnątrz reaktora. W związku z czym reaktory są wyposażone w szereg narzędzi służących do
kontroli parametrów reakcji (np. stężenie tlenu, temperatura, odczyn) oraz system regulacji, który
umie automatycznie reagowad na zmiany środowiska.
Istnieje wiele różnych podziałów reaktorów ze względu na różne czynniki takie jak np.:
charakter prowadzonego procesu lub dostęp do tlenu. W automatyce reaktor jest obiektem, który
można odpowiednio zamodelowad i na niego oddziaływad.
Przykład: dany jest następujący reaktor ciągły, w którym substancja A jest rozcieoczana
sterylnym rozpuszczalnikiem. Założono, że objętośd reaktora jest stała.
1
Bilans masy całkowitej:
∆𝑀 = 𝑀𝑤𝑒 − 𝑀𝑤𝑦
(1)
Przekształcony wzór na gęstośd:
𝑀 = 𝜌 ∗ 𝑉 𝑙𝑢𝑏 𝑀 = 𝜌 ∗ 𝐹
,gdzie: V - objętośd reaktora, F - objętośd strumienia.
Podstawiono równanie (2) do (1):
𝑑(𝑉∗𝜌)
𝑑𝑡
= 𝐹𝑤𝑒 ∗ 𝜌 − 𝐹𝑤𝑦 ∗ 𝜌
(2)
(3)
Dla cieczy nieściśliwych można założyd, że ρ=const. i wyjąd przed znak pochodnej:
𝜌∗
𝑑(𝑉)
𝑑𝑡
= 𝐹𝑤𝑒 ∗ 𝜌 − 𝐹𝑤𝑦 ∗ 𝜌
(4)
Następnie równanie (4) można podzielid obustronnie przez ρ:
𝑑(𝑉)
𝑑𝑡
= 𝐹𝑤𝑒 − 𝐹𝑤𝑦
(5)
Na podstawie równania (5) można stwierdzid, że objętośd reaktora zależy od różnicy pomiędzy
strumieniami wejściowymi i wyjściowymi.
Bilans masowy i-tego składnika:
∆𝑀𝐴 = 𝑀𝐴𝑤𝑒 − 𝑀𝐴𝑤𝑦 ± 𝑀𝐴𝑟
(6)
Przekształcony wzór na stężenie A-tego składnika ma postad:
𝑀𝐴 = 𝐶𝐴 ∗ 𝑉 𝑙𝑢𝑏 𝑀𝐴 = 𝐶𝐴 ∗ 𝐹
(7)
Podstawiono równanie (7) do (6), dodatkowo człon MAr zeruje się (nie zachodzi żadna reakcja
chemiczna):
𝑑(𝑉∗𝐶𝐴 )
𝑑𝑡
= 𝐹𝑤𝑒 1 ∗ 𝐶𝐴 + 𝐹𝑤𝑒 2 ∗ 𝐶𝐴 − 𝐹𝑤𝑦 ∗ 𝐶𝐴
(8)
W przedstawionym przykładzie założono że objętośd się nie zmienia, w związku z czym można ją
wyjąd przed znak pochodnej:
𝑉∗
𝑑(𝐶𝐴 )
𝑑𝑡
= 𝐹𝑤𝑒 1 ∗ 𝐶𝐴 + 𝐹𝑤𝑒 2 ∗ 𝐶𝐴 − 𝐹𝑤𝑦 ∗ 𝐶𝐴
(9)
Następnie równanie (9) podzielono obustronnie przez V:
𝐹𝑤𝑦
𝑑(𝐶𝐴 ) 𝐹𝑤𝑒 1
𝐹𝑤𝑒 2
=
∗ 𝐶𝐴 +
∗ 𝐶𝐴 −
∗ 𝐶𝐴
𝑑𝑡
𝑉
𝑉
𝑉
W reaktorze może również przebiegad określona reakcja. W takim przypadku dodatkowo w bilansie
i-tego składnika uwzględnia się człon odpowiedzialny za zwiększenie/zmniejszenie się masy i-tej
substancji w wyniku zachodzącej reakcji.
Przykład: W reaktorze ciągłym prowadzona jest reakcja zobojętniania kwasu solnego
wodorotlenkiem wapnia. Substraty doprowadzane są osobnymi strumieniami wejściowymi. Założono
stałą objętośd.
Reakcja przebiega według poniższego równania:
𝐶𝑎(𝑂𝐻)2 + 2𝐻𝐶𝑙 → 𝐶𝑎𝐶𝑙2 + 2𝐻2 𝑂
W celu uproszczenia powyższe równanie można zapisad jako:
𝑆1 + 2𝑆2 → 𝑃1 + 2𝑃𝐵
2
Bilans masowy składnika HCl
Ogólny bilans masowy i-tego składnika wygląda następująco:
𝑀𝐻𝐶𝑙 = 𝑀𝐻𝐶𝑙𝑤𝑒𝑗 ś𝑐𝑖𝑜𝑤𝑒 − 𝑀𝐻𝐶𝑙𝑖𝑤𝑦𝑗 ś𝑐𝑜𝑤𝑒 ± 𝑀𝐻𝐶𝑙𝑟𝑒𝑎𝑘𝑐𝑗𝑎
(10)
Bilans masowy kwasu solnego to masa wejściowa pomniejszona o masę wypływającą z reaktora oraz
o masę wykorzystaną do zajścia reakcji chemicznej. Wzór na stężenie kwasu solnego ma postad:
𝐶𝐻𝐶𝑙 =
M HCl
𝑉
↔ MHCl = 𝐶𝐻𝐶𝑙 ∗ 𝑉
(11)
Równanie (11) podstawiono do równania (10):
𝑑(𝑉∗𝐶𝐻𝐶𝑙 )
𝑑𝑡
= 𝐹𝑤𝑒 1 𝐶𝑤𝑒 1𝐻𝐶𝑙 + 𝐹𝑤𝑒 2 𝐶𝑤𝑒 2𝐻𝐶𝑙 − 𝐹𝑤𝑦 𝐶𝐻𝐶𝑙 − 𝑉𝑟𝐻𝐶𝑙
(12)
Przy założeniu idealnego mieszania w reaktorze (w całej objętości jest stałe stężenie danej
substancji) stężenie substratu w strumieniu wypływającym jest równe stężeniu wewnątrz reaktora. Z
bilansu masy całkowitej dla reaktora ciągłego wiadomo, że objętośd jest stała gdy przepływy się
równoważą - dlatego można wyjąd objętośd przed pochodną. W analizowanym przypadku w
strumieniu wejściowym Fwe2, który doprowadza wodorotlenek wapnia stężenie kwasu solnego jest
równe zero. Ostatni człon w równaniu (12) opisuje ubytek kwasu solnego w związku z zachodzącą
reakcją zobojętniania z szybkością r.
𝑉∗
𝑑(𝐶𝐻𝐶𝑙 )
𝑑𝑡
= 𝐹𝑤𝑒 1 𝐶𝑤𝑒 1𝐻𝐶𝑙 − 𝐹𝑤𝑦 𝐶𝐻𝐶𝑙 − 𝑉𝑟𝐻𝐶𝑙
(13)
Po dzieleniu obustronnym równania (13) przez objętośd widad, że zmiana stężenia HCl
opisana jest wzorem:
𝑑(𝐶𝐻𝐶𝑙 )
𝑑𝑡
=
𝐹𝑤𝑒 1 𝐶𝑤𝑒 1𝐻𝐶𝑙
𝑉
−
(𝐹𝑤𝑦 𝐶𝐻𝐶𝑙 )
𝑉
−𝑟
(14)
Dla kwasu solnego szybkośd reakcji przebiega:
𝑟 = 2 ∗ 𝑘 ∗ 𝐶𝐶𝑎
𝑂𝐻 2
2
∗ 𝐶𝐻𝐶𝑙
(15)
W równaniu (15) występuje liczba 2, która oznacza współczynnik stechiometryczny przy kwasie
solnym.
Modelowanie w Matlabie
W środowisku Matlab równania różniczkowe można rozwiązywad między innymi za pomocą
funkcji z grupy "ode" lub z wykorzystaniem pakietu Simulink. Poniżej został przedstawiony przykład
układu, który obrazuje ubytek substratów podczas reakcji zobojętniania z opisywanego wyżej
przykładu:
(𝐹𝑤𝑦 𝐶𝐻𝐶𝑙 )
𝑑(𝐶𝐻𝐶𝑙 )
𝐹𝑤𝑒 1 𝐶𝑤𝑒 1𝐻𝐶𝑙
=
−
− 2 ∗ 𝑘 ∗ 𝐶𝐶𝑎
𝑑𝑡
𝑉
𝑉
3
𝑂𝐻 2
2
∗ 𝐶𝐻𝐶𝑙
𝑑(𝐶𝐶𝑎 𝑂𝐻 2 )
𝐹𝑤𝑒 1 𝐶𝑤𝑒 2𝐶𝑎
=
𝑑𝑡
𝑉
𝑂𝐻 2
−
(𝐹𝑤𝑦 𝐶𝐶𝑎
𝑉
𝑂𝐻 2 )
− 𝑘 ∗ 𝐶𝐶𝑎
𝑂𝐻 2
2
∗ 𝐶𝐻𝐶𝑙
Częśd II: Regulatory w Simulinku
Automatyka to dziedzina nauki, która zajmuje się zagadnieniami dotyczącymi sterowania
różnorodnymi procesami - przede wszystkim technologicznymi i przemysłowymi. Teoria sterowania
jest jedną z gałęzi cybernetyki, która skupia się na analizie i modelowaniu matematycznym obiektów
oraz różnorodnych procesów (m. in.: cieplnych, chemicznych, mechanicznych, elektrycznych).
Utworzony model pozwala na zachowanie się całego układu w pożądany sposób, poprzez dodanie
regulatora sterującego. Sterowanie polega na działaniu na konkretny obiekt w celu osiągnięcia
określonego rezultatu. Sterowanie nie wymaga nakładu energii - związane jest z informacją.
Natomiast efektem sterowania może byd między innymi zmiana energii. Obiekt sterowania to obiekt,
na który oddziałuje się podczas sterowania. Sterowanie może byd realizowane przy pomocy
człowieka (sterowanie ręczne) bądź za pomocą specjalnego urządzenia - regulatora (sterowanie
automatyczne). W języku polskim pojęcia regulacji i sterowania nie są sobie równe. O regulacji mówi
się wtedy gdy sterowanie zachodzi w układzie zamkniętym z pętlą sprzężenia zwrotnego. Sterownik
w takim układzie jest zwany regulatorem a cały układ - układem regulacji automatycznej. Pętla
sprzężenia zwrotnego to oddziaływanie sygnałów stanu koocowego układu na jego sygnały
wejściowe. Wyróżnia się sprzężenia dodatnie oraz ujemne. Różnica pomiędzy wartością zadaną a
wartością wyjściową nazywa się uchybem.
Do sposobów reprezentacji modelu matematycznego układu dynamicznego należą równania
stanu. Pozwalają one przedstawid zmianę poszczególnych zmiennych w układzie oraz określid związki
z innymi zmiennymi. Innym sposobem opisu układu są odpowiedzi czasowe, wśród których wyróżnia
4
się: charakterystykę skokową (odpowiedź układu na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego
przy zerowych warunkach początkowych) oraz impulsową (odpowiedź układu na wymuszenie w
postaci bardzo wąskiego i wysokiego impulsu jednostkowego, który można uznad w przypadku
układów ciągłych za przybliżenie idealnej delty Diraca). Są to charakterystyki dynamiczne, które
pozwalają na identyfikację układu.
Obok charakterystyk dynamicznych wyróżnia się charakterystyki statyczne, które opisują
zależnośd sygnału wyjściowego układu do sygnału wejściowego w stanie ustalonym. Stan ustalony to
stan, w którym wszystkie pochodne sygnału wejściowego i sygnału wyjściowego są równe zero - nie
zmieniają się w czasie.
Układy dynamiczne mogą zawierad różne elementy dobierane do odpowiedniego procesu
oraz układu regulacji. Wśród podstawowych, liniowych członów dynamicznych można wyróżnid:

Człon proporcjonalny:
Równanie dynamiki: 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑃 ∗ 𝑢 𝑡
Charakterystyka statyczna: 𝑦 = 𝐾𝑃 ∗ 𝑢
Odpowiedź skokowa: 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑃 ∗ 𝑢𝑠𝑡
Rysunek 1 Odpowiedź skokowa
członu proporcjonalnego
Transmitancja operatorowa: 𝐺𝑅 (𝑠) = 𝐾𝑃

Człon inercyjny:
Równanie dynamiki: 𝑇
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) = 𝐾 ∗ 𝑢 𝑡
Charakterystyka statyczna: 𝑦 = 𝐾 ∗ 𝑢
−𝑡
Odpowiedź skokowa: 𝑦 𝑡 = 𝑘 ∗ 𝑢𝑠𝑡 ∗ (1 − 𝑒 𝑇 )
𝑘
Rysunek 2 Odpowiedź skokowa elementu
inercyjnego
Transmitancja operatorowa: 𝐺𝑅 (𝑠) = 𝑇 +1
𝑠

Człon całkujący
𝑑𝑦
Równanie dynamiki: 𝑇 𝑑𝑡 = 𝑢 𝑡
Charakterystyka statyczna: 𝑦 = 0
Odpowiedź skokowa: 𝑦 𝑡 = 𝑢𝑠𝑡
𝑡
𝑇
1
Transmitancja operatorowa: 𝐺𝑅 (𝑠) = 𝑇
𝑠

Człon różniczkujący - idealny
Równanie dynamiki: 𝑦(𝑡) = 𝑇𝐷
Rysunek 3 Odpowiedź
skokowa elementu
całkującego
𝑑𝑢 (𝑡)
𝑑𝑡
Charakterystyka statyczna: 𝑦 = 0
5
−𝑡
Odpowiedź skokowa: 𝑦 𝑡 = 𝑘 ∗ 𝑢𝑠𝑡 ∗ 1 − 𝑒 𝑇
Transmitancja operatorowa: 𝐺𝑅 (𝑠) = 𝑇𝐷 𝑠
Rysunek 4 Odpowiedź skokowa
członu różniczkowego idealnego

Człon różniczkujący - rzeczywisty
Równanie dynamiki: 𝑇
𝑑𝑦 (𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦 𝑡 = 𝑇𝐷
𝑑𝑢 (𝑡)
𝑑𝑡
Charakterystyka statyczna: 𝑦 = 0
−𝑡
Odpowiedź skokowa: 𝑦 𝑡 = 𝐾𝑑 ∗ 𝑢𝑠𝑡 ∗ 𝑒 𝑇
𝑇 𝑠
Transmitancja operatorowa: 𝐺𝑅 𝑠 = 𝑇 𝐷+1
𝑠
Rysunek 5 Odpowiedź układu skokowego członu
różniczkowego rzeczywistego
Budowanie układu regulacji z wykorzystaniem Simulinka:
Przykład: Badanie odpowiedzi na skok jednostkowy elementu bezinercyjnego i inercyjnego.
Aby zbudowad model należy mied źródło sygnału - generatorem sygnału, jakim jest skok
jednostkowy, jest bloczek "Step". Następnie jako element bezinercyjny (proporcjonalny) może zostad
użyty bloczek "Gain". Aby porównad wpływ elementu proporcjonalnego na sygnał wymuszający
można przedstawid je na jednym wykresie. Do łączenia sygnałów należy użyd elementu "Mux", z
którego sygnał wyjściowy prowadzi do elementu "Scope", czyli do wykresu.
W przypadku elementu inercyjnego bloczek "Gain" należy zastąpid elementem inercyjnym.
Aby go uzyskad należy użyd bloczka "Transfer Fcn" (funkcja transmitancji). Następnie ustalane są
współczynniki: numerator coefficient = *1+, denominator coefficinet = *2 1+. Należy pamiętad, że w
środowisku Matlab nawiasy kwadratowe oznaczają wektor bądź macierz. W tym przypadku oznaczają
6
one wartości współczynników występujących odpowiednio w liczniku i mianowniku. Podane liczby
odpowiadają elementowi inercyjnemu o wzmocnieniu k=1 i stałą czasową T=2. Transmitancja
elementu inercyjnego ma postad: 𝐺𝑅 (𝑠) =
1
.
2𝑇𝑠 +1
Modele mogą też posłużyd do wyznaczania wpływu wartości parametrów na odpowiedź modelu. Na
przykład przy stałej czasowej T=1, sprawdzono wpływ wzmocnienia na układ. Sprawdzono k=1,2,3;
Zadania:
1. Równania różniczkowe podane przez prowadzącego zaimplementuj jako model z użyciem Pakietu
Simulink. Załóż, że reakcja przebiega przez 1 godzinę (3600 sekund). Przedstaw przebiegi czasowe
stężeo substratu i produktu na jednym wykresie.
2.Do modelu z poprzedniego zadania wprowadź modyfikację, w której wartośd stężenia substratu na
dopływie będzie zmieniad się w zadanym zakresie. Przeprowadź symulację dla składnika, którego
stężenie oscyluje w pewnym zakresie oraz dla przypadku w którym stężenie zmienia się w sposób
losowy. Otrzymane wyniki porównaj ze sobą oraz z rezultatem otrzymanym w zadaniu 1.
7
3. Dla elementu bezinercyjnego (k=3) i inercyjnego (k=1, T=2) wyznacz odpowiedzi skokowe na różne
rodzaje wymuszeo: jednostkowe, harmonijne, losowe. Osobno dla każdego układu na jednym
wykresie przedstaw 3 odpowiedzi na 3 różne wymuszenia. Dla jednostkowego oraz harmonijnego
rodzaju wymuszeo sprawdź jaki wpływ ma wielkośd stałej czasowej.
4. Z wykorzystaniem pakietu Simulink wyznacz odpowiedzi skokowe y(t) (dla x(t)=1):
a) członu proporcjonalnego (k=1,2),
b) członu inercyjnego (k=1, T1=100),
c) członu całkującego idealnego (k=1, Ti=200),
d) członu całkującego rzeczywistego (k=1, Ti=200, T1=50),
e) członu różniczkującego rzeczywistego (k=1, Td=200, T1=50).
5.
Wyznacz odpowiedź skokową y(t) układu otwartego, powstałego z szeregowego połączenia
członów: 4a), 4b) i 4e)
6.
Wyznacz odpowiedź skokową y(t) układu zamkniętego, utworzonego poprzez dodanie pętli
sprzężenia zwrotnego do układu z zadania 5 oraz wyświetl na wykresie zmianę uchybu (różnicy
pomiędzy sygnałem zadanym a wyjściowym).
Zagadnienia do zajęd:




Umiejętnośd wyprowadzania równania stanu dla reaktora ciągłego;
Umiejętnośd zapisu bilansu i-tego składnika;
Co to jest: automatyka, sterowanie, uchyb, odpowiedzi dynamiczne i statyczne;
Znajomośd transmitancji oraz odpowiedzi skokowych podstawowych członów
dynamicznych;
8