docRównoważność modeli obliczeń
download 
Reklamacja Transkrypt
Równoważność modeli obliczeń
Plan modeli oblicze dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP Teoretyczne podstawy informatyki Równowa no dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki A je eli formuła nie jest prawdziwa? formuły ¬ (A ∧ B) ¬A∨¬B (a + a < 3*a) O danej interpretacji mówimy, e jest modelem formuły je li dla ka dego warto ciowania zmiennych przy tej interpretacji formuła przyjmuje warto „prawda”. dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP • ka demu n-argumentowemu symbolowi funkcyjnemu przypisujemy n-argumentow funkcj , • n-argumentowemu symbolowi predykatu n-arn relacj . Funkcja interpretuj ca termy i formuły (funkcja semantyki) FOL wyznacza ich warto ci przy zało eniu pewnego systemu interpretacji. Dowód Formuła jest prawdziwa (jest tautologi ), je li jest spełnialna dla ka dej interpretacji. 5 z dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 3 Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki stopu? W 1965 J. Robinson opublikowała algorytm rezolucji. (2 + 3 < 3*3) 2 • Ka dej zmiennej ze zbioru Z mo na przypisa warto pewnego zbioru, Je eli formuła jest prawdziwa, to istnieje dowód tej formuły. Problem (X + Y < 3*Z) • • Interpretacja j zyka FOL W 1931 K. Gödel udowodnił, e Formuła jest spełnialna, je eli istnieje taka interpretacja i takie przypisanie zmiennym warto ci, dla których formuła uzyskuje warto „prawda”. • • Wprowadzenie Interpretacja rachunku predykatów Twierdzenie Gödla o pełno ci Cz ciowa rozstrzygalno rachunku predykatów Równowa no modeli oblicze Przykłady funkcji obliczalnych i nieobliczalnych Obliczalno a zło ono obliczeniowa Podsumowanie dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 1 Twierdzenie Gödla o pełno ci Prawdziwo • • • • 4 hipoteza Reguła wnioskowania postaci: konkluzja H C jest poprawna, gdy ka da interpretacja formuł H i C, która jest modelem H jest równie modelem C; mówimy, e C jest logiczn konsekwencj H, co zapisujemy H = C. Dowodem nazywamy sekwencj formuł, z których ka da jest albo aksjomatem albo została wywiedziona z wcze niejszych formuł po zastosowaniu reguły wnioskowania. dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 6 1 Twierdzenie o pełno ci Plan Jest ona oczywi cie prawdziwa! • • • • Teoretyczne podstawy informatyki • Z twierdzenia o pełno ci dla FOL (K. Gödel) wynika, e formuła jest dowiedlna wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwa. dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP ciowa rozstrzygalno FOL Czyli istniej formuły, których nie mo na ani udowodni , ani obali . Teoretyczne podstawy informatyki Poj cie obliczalno ci Maszyna Turinga, rachunek predykatów, rachunek λ, ... dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP • • • • • • • • Wprowadzenie Interpretacja rachunku predykatów Twierdzenie Gödla o pełno ci Cz ciowa rozstrzygalno rachunku predykatów Równowa no modeli oblicze Przykłady funkcji obliczalnych i nieobliczalnych Obliczalno a zło ono obliczeniowa Podsumowanie dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 9 10 Modele oblicze kroki, dane: we- i wyj ciowe, dobrze okre lony, sko czony, wykonywalny... Algorytm Model oblicze 8 Plan Dowodzenie twierdze w FOL ogranicza własno cz ciowej rozstrzygalno ci tej logiki, tzn. nie istnieje automatyczna procedura rozstrzygaj ca, czy dana formuła jest twierdzeniem, czy te nie, mimo e istnieje procedura znajduj ca dowód, je li formuła jest prawdziwa. dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP • • Wprowadzenie Interpretacja rachunku predykatów Twierdzenie Gödla o pełno ci Cz ciowa rozstrzygalno rachunku predykatów Równowa no modeli oblicze Przykłady funkcji obliczalnych i nieobliczalnych Obliczalno a zło ono obliczeniowa Podsumowanie dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 7 Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Cz • • Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki • Je li formuła α jest dowiedlna (posiada dowód), to nazywamy j twierdzeniem (co zapisujemy – α). J zyk programowania 11 • • • • • • Rachunek lambda (λ) Churcha Maszyna Turinga Maszyna RAM Rachunek predykatów pierwszego rz du Funkcje rekurencyjne ... dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 12 2 Rachunek λ Autor: Alonzo Church Maszyna Turinga Rok: 1936 http://pobox.com/~oleg/ftp/Scheme/index.html#lambda-calc Definicja obliczalno ci: Funkcja jest obliczalna, je eli odpowiadaj ce jej wyra enie λ jest redukowalne. dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Odejmowanie w rachunku λ: Maszyna RAM Działanie: ci g konfiguracji wynikaj cy z zastosowania kolejnych instrukcji 0 1 zapisz 0 w prawo 0 1 0 zapisz 1w prawo zapisz 1 w prawo 0 0 1 1 zapisz 1w prawo stop 1 0 0 0 Definicja obliczalno ci: Funkcja jest obliczalna w sensie Turinga, je eli dla dowolnego zapisu pocz tkowego ta my maszyna Turinga zatrzyma si po wykonaniu sko czonej liczby kroków. dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 13 14 Instrukcje maszyny RAM Autor: M. Minsky(?) Rok: 1967 Typ Instrukcja Opis działania Model: zbiór rejestrów 1j. E addj Y dodanie litery aj na prawym ko cu słowa w rejestrze Y Działanie: program czyli ci g instrukcji (ze sko czonego zbioru) 2. E del Y usuni cie jednej litery z lewego ko ca słowa w rejestrze Y 3. E clr Y wymazanie zawarto ci rejestru Y (wpisanie ε) 4. EY←Z skopiowanie słowa z rejestru Z do Y 5. E jmp E’ skok do najblizszej instrukcji etykietowanej: Ea (w gór ) Eb (w dół) 6j. E Y jmpj E’ skok do E’, o ile słowo w rejestrze Y rozpoczyna si liter aj Definicja obliczalno ci: Funkcja jest obliczalna, je eli mo na j obliczy za pomoc maszyny RAM (maszyna RAM zatrzyma si dla dowolnego ci gu danych i wynik jest w rejestrze R1). dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP Rachunek predykatów 15 7. Autor: Julia Robinson Rok: 1965 α ∨ β , ¬β ∨ γ α ∨γ Definicja obliczalno ci: Formuła jest prawdziwa, je eli istnieje dowód tej formuły (metod rezolucji). dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP instrukcja pusta 16 Autor: Stephen Kleene Rok: 1936 Model: funkcje bazowe, pierwotnie rekurencyjne i cz ciowo rekurencyjne Teoretyczne podstawy informatyki Rezolucja: E continue dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP Funkcje rekurencyjne Model: termy, klauzule, formuły Teoretyczne podstawy informatyki Rok: 1936 Model: T = Q, A, B, δ, q0 Podstawowa reguła redukcji: β (λx.[εx])M ε[M/x] Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Model: operator abstrakcji λx.[fx] Autor: Alan Tuirng 17 Operacje: podstawienie, rekursja prosta, operator minimum Definicja obliczalno ci: Funkcja jest obliczalna, je eli jest funkcj cz rekurencyjn . dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP ciowo 18 3 Równowa no modeli oblicze Plan Wszystko, co jest efektywnie obliczalne, daje si wyrazi za pomoc funkcji λ-definiowalnych, funkcji rekurencyjnych lub innych formalizmów im równowa nych. Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Teza Churcha-Turinga Problemy efektywnie obliczalne daj si wyrazi jako funkcje zdefiniowane przez maszyn Turinga b d c formalizmem reprezentowania procedur efektywnych. dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP • • • • • • • • Wprowadzenie Interpretacja rachunku predykatów Twierdzenie Gödla o pełno ci Cz ciowa rozstrzygalno rachunku predykatów Równowa no modeli oblicze Przykłady funkcji obliczalnych i nieobliczalnych Obliczalno a zło ono obliczeniowa Podsumowanie dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 19 Funkcje obliczalne = problemy rozstrzygalne 20 Funkcje nieobliczalne = problemy nierozstrzygalne • Liczba π, λiczba e • Dziesi ty problem Hilberta • Funkcje sinx, ex, pod warunkiem, e x jest obliczalne • Problem redukcji λ-wyra e do postaci normalnej Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki • Dodawanie, mno enie, odejmowanie, dzielenie... • Tautologie rachunku zda (ka d tautologi rachunku zda mo na udowodni ) • Czy j zyk bezkontekstowy jest: pusty, sko czony lub niesko czony. • Funkcje rekurencyjne dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP • Rachunek predykatów pierwszego (i drugiego) rz du • Czy dwa j zyki bezkontekstowe s równowa ne? dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 21 Plan Obliczalno • • • • • • • • Wprowadzenie Interpretacja rachunku predykatów Twierdzenie Gödla o pełno ci Cz ciowa rozstrzygalno rachunku predykatów Równowa no modeli oblicze Przykłady funkcji obliczalnych i nieobliczalnych Obliczalno a zło ono obliczeniowa Podsumowanie dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP a zło ono 22 obliczeniowa Gra w szachy: Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki • Problem stopu maszyny Turinga 23 Mamy szachownic 8 na 8 pól, czyli 64 pola, które mo na ustawi w ci g: A1, A2, ..., A8, B1, ...., B8, ..., H1, ..., H8. dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 24 4 2 3 4 5 6 7 8 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 2 3 4 5 6 7 8 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 B B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 C C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 D A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 D D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 E A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 F A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 G A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 H A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP a zło ono E E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 F F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 G G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 H H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 25 C1 Obliczalno Teoretyczne podstawy informatyki B A1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 26 A7 A8 C3 C4 C5 C6 C7 C8 D1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 F1 E1 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 B2 D2 G8 B3 B4 B5 D3 D4 D5 D6 F2 F3 F4 F5 H1 H2 H3 H4 dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 27 H5 28 obliczeniowa b3 b4 b5 b6 b7 b8 E E E E E E E E Na ka dym polu mo e si znajdowa co najwy ej jeden pion i ka dy pion mo e si znajdowa co najwy ej na jednym polu. Pozostałe pola s puste: E. Teoretyczne podstawy informatyki b2 Mamy po 16 pionów białych i czarnych: b1, b2, ..., b16, c1, c2, ..., c16. E E E E E E E E c1 Ka dy układ pionów na szachownicy mo na przedstawi w postaci ci gu, np. konfiguracja startowa: dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP B1 C2 b1 Teoretyczne podstawy informatyki 1 A1 C dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP Teoretyczne podstawy informatyki A Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki 1 A 29 c2 c3 c4 c5 c6 dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP c7 b9 b10 b11 b12 b13 E E c8 E E c9 E E E E E E c10 c11 c12 c13 30 5 Obliczalno a zło ono obliczeniowa Obliczalno Gdyby ka d rozgrywk mo na było Pojedyncz rozgrywk mo na przedstawi jako ci g konfiguracji. Zatem - wszystkich mo liwych rozgrywek jest sko czona liczba. Liczba ta jest rz du 10120. Mniej wi cej tyle jest cz steczek we wszech wiecie. dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP Obliczalno obliczeniowa wygenerowa w czasie 1 sekundy 3.17* 10112 lat 10-6 sekundy 3.17* 10106 lat Maszyna Turinga • • • • Jest wi cej funkcji ni algorytmów Istnienie funkcji nieobliczalnych Zło ono obliczeniowa algorytmów Ograniczenia informatyki Automaty i j zyki formalne • • • • • • Projektowanie analizatorów leksykalnych Edytory tekstu Przetwarzanie obrazów Przeszukiwanie plików Projektowanie parserów Analiza syntaktyczna 1 sekundy 10-6 sekundy to obliczenie wszystkich trwałoby 3.17* 3.17* 10106 lat dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Gdyby ka d rozgrywk mo na było 10112 lat Inne • J zyk LISP • J zyk Prolog • J zyk Algol dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 33 34 Podsumowanie Plan • • • • • • • • Wprowadzenie Interpretacja rachunku predykatów Twierdzenie Gödla o pełno ci Cz ciowa rozstrzygalno rachunku predykatów Równowa no modeli oblicze Przykłady funkcji obliczalnych i nieobliczalnych Obliczalno a zło ono obliczeniowa Podsumowanie dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki 32 Praktyczne wnioski z bada nad obliczalno ci Liczba ta jest rz du 10120. wygenerowa w czasie to obliczenie wszystkich trwałoby dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 31 a zło ono obliczeniowa Liczba ta jest rz du 10120. Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Z ka dej konfiguracji (nie b d cej ko cow ) jest sko czona liczba dopuszczalnych ruchów (zale na od konfiguracji, ale zwykle wi ksza od 1). a zło ono 35 • Rachunek predykatów jest cz ciowo rozstrzygalny. • Modele oblicze s równowa ne. • Zło ono obliczeniowa nie jest tym samym co obliczalno . dr hab. in . Joanna Józefowska, prof. PP 36 6
