prawdziwie cudowny dow.d
Transkrypt
prawdziwie cudowny dow.d
PRAWDZIWIE CUDOWNY DOWÓD LESZEK W. GU×A Prace¾ Dedykuje¾ Moim Rodzicom i Mojemu Bratu Abstract. 1. Przypuszczalny dowód Fermata, twierdzenia zwanego Wielkim Twierdzeniem Fermata. 2. Elementarny dowód WTF. I. WSTEP ¾ Diofantosa interesowa÷ y rozwiazania ¾ równań w Q. Obecnie równania diofantyczne rozwiazuje ¾ sie¾ w Z. Oto zadanie 8 z drugiej ksiegi ¾ Arytmetyki Diofantosa: ’Dany kwadrat roz÷ oz·yć na [sume] ¾ dwa kwadraty.’ Rozwiazanie ¾ ilustruje wzór – dla kaz·dego a; u 2 Z: " #2 2 a u2 1 2au 2 + . (1) a = u2 + 1 u2 + 1 W tym w÷ aśnie miejscu, tj. na marginesie strony egzemplarza ksiegi ¾ p.t. Arytmetyka Diofantosa, ÷ acińskiego przek÷ adu Bacheta, edycji z roku 1670, którego w÷ aścicielem by÷ Samuel de Fermat, jest odtworzony nastepuj ¾ acy ¾ dopisek Pierre de Fermata (1665): Nie mo·zna roz÷o·zy´c ani sze´scianu na [sume] ¾ dwa sze´sciany, ani bikwadratu na [sume] ¾ dwa bikwadraty, i w ogóle ·zadnej potegi ¾ wiekszej ¾ ni·z druga na [sume] ¾ dwie potegi ¾ z takim samym wyk÷adnikiem. Odkry÷em naprawde¾ zadziwiajacy ¾ dowód tego [faktu]. Margines jest na to za ma÷y. [1] Zapewne stad ¾ wzie÷ ¾ o sie¾ inne t÷ umaczenie drugiego zdania Fermata: ’Odkry÷ em prawdziwie cudowny dowód tego faktu, jednakz·e margines ten jest zbyt waski, ¾ by go zmieścić.’ Ten niezwyk÷ y komentarz starszego Fermata jest w zwiazku ¾ z równaniem Pitagorasa i wskazuje na istnienie dowodu jako faktu (demonstratio sane mirabilis) na treść tegoz· dopisku-twierdzenia. [3] Nietrudno zauwaz·yć, iz· (1) wynika z równania Diofantosa –dla kaz·dego u, 2 N1 : (2) u2 + 2 u2 + 2 2 2 2 = u2 2 2 = u2 2 + 2u 2 + 2 + (2u ) ^ u2 2 2u 2 : 2 (2) daje wszystkie trójki pitagorejskie u2 ; 2u ; u2 + 2 = (x; y; z) w Z, a wśród nich, jez·eli liczby u; sa¾ wzglednie ¾ pierwsze i liczba u jest dodatnia i nieparzysta – wszystkie w÷ aściwe (pierwotne) rozwiazania ¾ równania Pitagorasa w N1 . Twierdzenie 1. Dla kaz·dej w÷ aściwej trójki pitagorejskiej (x; y; z) istnieja¾ dok÷ adnie dwie wzglednie ¾ pierwsze liczby naturalne u > takie, z·e liczba u jest nieparzysta. Date : 03.03.1994 – 12.06.2013 – 13.03.2014. 1991 Mathematics Subject Classi…cation. Pierwszorzedny: ¾ 11D41; Drugorzedny: ¾ 11D45. Key words and phrases. Dowód Nie Wprost, Najwiekszy ¾ Wspólny Podzielnik, Trójmian Kwadratowy, Twierdzenie Pitagorasa, Wzór Dwumianowy Newtona. 1 2 LESZEK W . GU×A II. WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Twierdzenie 2. Dla n; X; Y; Z 2 N3 : X n +Y n = Z n nie ma rozwiazań ¾ w÷ aściwych. Dowód. Niech istnieja¾ n; X; Y; Z 2 N3 : X n + Y n = Z n ma rozwiazania ¾ w÷ aściwe. Wtedy X + Y > Z i X 2 + Y 2 > Z 2 i ... i X n 1 + Y n 1 > Z n 1 , gdyz· w przeciwnym razie X n + Y n < Z n . Z powyz·szego wynika, z·e liczby X; Z Y bed ¾ a¾ dodatnie i nieparzyste, liczba Z X bedzie ¾ dodatnia, a liczba X + Y Z bedzie ¾ dodatnia i parzysta. 2 2 Fermat zapewne przyja÷ ¾ , z·e (u ) + 2 (u ) = X, przy (u ) =Z Y: h i2 2 2 2 X+Z X (u ) = Y ^ X 2 + X + Z X (u ) (Z X + X) > 0 ^ X2 p 2 2 (u 2 4 ) X 2 (Z X) (u ) + (u ) >0^ p = 2 (u ) 2 (Z X) = 4 (u ) ^ 2 2 = Z X: W konsekwencji Fermat uzyska÷dwie fa÷ szywe sprzeczności: 2 X < X1 = (u ) 2 (u 2 ) _ (u ) = X2 < X: [2] ) + 2 (u Kaz·da liczba parzysta niebed ¾ aca ¾ poteg ¾ a¾ dwójki ma nieparzysty dzielnik pierwszy, przeto wystarczy udowodnić WTF dla n = 4 i dla n bed ¾ acych ¾ liczbami pierwszymi wiekszymi ¾ od dwóch [4] – zbiór tych liczb oznaczmy przez P. A. Dowód dla n = 4. Na mocy (2) i Tw. 1 istnieja¾ dok÷adnie dwie wzglednie ¾ pierwsze liczby naturalne U > V takie, z·e U V 2 f3; 5; 7; :::g: U2 V 2 = X 2 ^ 2U V = Y 2 ^ U 2 + V 2 = Z 2 ^ U 2 = X 2 + V 2 ^ 2U 2 = X 2 + Z 2 ^ X = X V ^ Z = X + V ) (Z = X _ Z = 3X) ; co stoi w sprzeczności przy N W D (X; Z) = 1. z B. Dowód dla n 2 P – wnioski ogólne. Z powyz·szego wynika, z·e dla liczby dodatniej : 2 =X (Z Y)=Y (Z n (Z n X) ^ Z Y +2 =X ^ Z X +2 =Y ^ n n n Xn ^ Y + 2 ) = (Z Y + Y ) Y ^ (Z X + 2 ) = (Z X + X) n n [X + Y + ( Y )] + Y n = [X + Y + ( 2 )] = Z n : W konsekwencji otrzymujemy koniunkcje¾ trzech równań: n 2 (Z Y) = (Z Y (Z 2 n 2 X) + (n n 2 Y) 2 + n n 2 (X + Y ) n 2 = (X + Y ) 1 2 ( Y)+ n 1 2 2 Y) n 1 2 + ::: + 2n n 3 (Z Y) 2 n 1 + 2n n (Z Y + ::: + Y n 2 1 n Y) = ^ n X) ( 2 )+ + n 3 (Z n 2 = X (Z n 3 1) (Z X) + n n 2 1 2 1 2 n 1 (2 ) + ::: + (2 ) n 3 + (2 ) = n (Z X) X) X + ::: + X n n 3 ( Y ) + ::: + ( Y ) (Z (X + Y ) 2 2 ^ n 1 = n n 3 (X + Y ) 2 n 1 ( 2 ) + ::: + ( 2 ) + ( 2 ) : [2] n (X + Y ) CUDOWNY DOWÓD Zatem liczby 3 ; Y =2 musza¾ być nieparzyste, liczba pierwsza n j [(n j X; Z Z Y; Z Y _ n j Y; Z n oraz X _ n j X + Y; Z) ^ X; X + Y j (2 ) ^ n j XY Z ^ = nmch] : X. Istnieja¾ m; c 2 f3; 5; 7; :::g i B.1. Dowód dla liczb nieparzystych X; Y; Z istnieje h 2 f1; 3; 5; :::g: nn n - mch ^ 1 n c + 2nmch = X ^ n j X ^ hn + 2nmch = Y ^ 2n mn = X + Y = nn 1 n c + hn + 4nmch ^ nn n n c + 2nmch = X ^ n j Y ^ n n c +Y =Z _ n 1 n n 2 m hn = n n n n c =n n n 1 2 n n 1 n h + 2nmch = Y ^ 2 m =X +Y =c +n h + 4nmch ^ cn + Y = Z _ n (c + 2nmch = X ^ n j X + Y; Z ^ hn + 2nmch = Y ^ ) 2n nn 1 mn = X + Y = cn + hn + 4nmch ^ cn + Y = Z 2n mn n 1 n 1 n c + 4nmch ^ n j 2m n 1 n n n h + 4nmch ^ n j 2m n h ^ n2 j 2n mn 2 n 2 n hn n c ^ n j2 m _ n c m = c + h + 4nmch ^ n j c + h ^ n j c + h n ) _ mch 2 = f3; 5; 7; :::g : z n B.2. Dowód dla liczb parzystych Y; Z X. Istnieja¾ m; c 2 f3; 5; 7; :::g i istnieje h 2 f1; 3; 5; :::g: nn n - mch ^ 1 n c + 2nmch = X ^ n j X ^ 2n hn + 2nmch = Y ^ mn = X + Y = n n 1 n c + 2n hn + 4nmch ^ nn n 1 n c +Y =Z n n 1 n c + 2nmch = X ^ n j Y ^ 2 n n 2n hn = nn n m nn n n n 1 n h + 2nmch = Y ^ m =X +Y =c +2 n h + 4nmch ^ cn + Y = Z _ (cn + 2nmch = X ^ n j X + Y; Z ^ 2n hn + 2nmch = Y ^ nn 1 mn = X + Y = cn + 2n hn + 4nmch ^ cn + Y = Z ) mn n _ 1 n c + 4nmch ^ n j m n n 1 n c =2 n 1 h + 4nmch ^ n j m 2h ^ n2 j mn 2 n c ^ n jm 2n hn n c mn = cn + 2n hn + 4nmch ^ n j c + 2h ^ n2 j cn + 2n hn mch 2 = f3; 5; 7; :::g : n To jest dowód. Ten dowód jest równowaz·ny dowodowi WTF w Z. _ _ ) References [1] G÷ adki, P.: http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node135.html [2] Gu÷ a, L.W. : http://www.ijetae.com/…les/Volume2Issue12/IJETAE_1212_14.pdf [3] Mazur. B. : "About The Cover: Diohantus’s Arithmetica", http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-03/S0273-0979-06-01123-2/S0273-097906-01123-2.pdf [4] Narkiewicz, W. : WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE XXX.1, Annuals PTM, Series II, Warszawa 1993. Lublin-POLAND E-mail address : [email protected]