Twierdzenie 2. Niech b ⊲ g. Wtedy Stwierdzenie 10. 〈A, B〉K
Transkrypt
Twierdzenie 2. Niech b ⊲ g. Wtedy Stwierdzenie 10. 〈A, B〉K
Piotr Suwara Denicja 1 Teoria grup II: 30 marca 2012 (niezmienniczo±¢ formy) zmiennicza, gdy . g algebra Liego, forma 2-liniowa h·, ·i na g jest nie- h[B, A], Ci + hA, [B, C]i = 0 ( ⇐⇒ h[A, B], Ci = hA, [B, C]i). Twierdzenie 2. b⊥ Niech b / g. Wtedy te» jest ideaªem, je±li forma zeruje si¦ na je±li forma jest niezdegenerowana, to Twierdzenie 3 wtw, gdy 1 (tj. B1 , B2 ∈ b =⇒ hB1 , B2 i = 0), b ∩ b⊥ to . g ⊂ gl(V ). dla dowolnych [b, b] ⊂ g⊥ , jest przemiennym ideaªem. (kryterium Cartana dla formy ±ladowej) Tr AB = 0 Twierdzenie 4 b Wtedy g rozwi¡zalna A ∈ g, B ∈ [g, g]. . (kryterium Cartana dla formy killinga) To samo co wy»ej, ale dla formy Killinga. Twierdzenie 5. Niech a b¦dzie algebr¡ prost¡. Wtedy istnieje na niej dokªadnie jedna forma niezmiennicza z dokªadno±ci¡ do proporcjonalno±ci. Forma ta jest niezdegenerowana. Przykªad 6. Przykªad 7. Przykªad 8. Przykªad 9. g ⊂ gl(V ), Tr AB π : g → gl(V ) reprezentacja, Tr π(A)π(B) ad : g → gl(V ), hA, BiK = Tr ad(A)ad(B) gl(n) = C1 ⊕ sl(n) to forma Killinga. Stwierdzenie 10. hA, BiK = 2nTr AB − 2(Tr A)(Tr B) Przykªad 11. t(Cn ) ze ±ladem, w notatkach. Denicja 12. ⊥ oznacza dopeªnienie ortogonalne dla formy niezmienniczej na g. Twierdzenie 13. Niech g b¦dzie algebr¡ Liego. NWSR: g póªprosta, g nie posiada niezerowych ideaªów rozwi¡zalnych, forma Killinga jest niezdegenerowana, g = a1 ⊕ . . . ⊕ an . Denicja 14. h·, ·ig to forma Killinga wzgl¦dem algebry g. Lemat 15. a / g, wtedy hA, Bia = hA, Big dla A, B ∈ a. Denicja 16 (reduktywno±¢). Mówimy, »e algebra Liego jest prost¡ algebry póªprostej i przemiennej. Twierdzenie 17. g Niech g b¦dzie algebr¡ Liego. NWSR: reduktywna, istnieje niezdegenerowana forma niezmiennicza, g = a1 ⊕ . . . ⊕ an , gdzie ai proste lub K. reduktywna, gdy jest sum¡