Moment magnetyczny

stanowi pr d elektryczny j.
Wytwarza wi c pole magnetyczne.
Charakteryzuje je moment magnetyczny:
j
r
S
−e
Moment magnetyczny
1
zwi zany
µ
=−
z ruchem
orbitalnym elektronu.
eυ 2
e
S=
πr =
T
2πr
1
1 e
1
= eυr =
mυr = µb L
2
2m
µ = jS =
L
g l µb L
gl = 1
cy wokół j dra
W atomie – elektron kr
µ
Moment magnetyczny
e
µb =
≈ 9.3 ⋅10−24 Am2
2m
Magneton Bohra
Moment magnetyczny w polu magnetycznym
µ
B
µ
−e
B
−e
FL = −eυ × B
FL
Siła Lorenza
Pole B usiłuje obróci moment magnetyczny
– ustawi go zgodnie ze swym kierunkiem.
Wypadkowy moment sił
M = µ×B
Moment magnetyczny w polu magnetycznym (c.d.)
Równanie ruchu obrotowego
µ
dL
=M
dt
B
M = µ×B
µ = γL
dµ
= µ × γB
dt
V = −µ ⋅ B ,
jest stała w czasie precesji Larmora.
Ten ruch nazywa si precesj Larmora.
Energia oddziaływania momentu magnetycznego z polem, energia orientacji
Rozwi zanie: Moment magnetyczny kr y wokół
kierunku pola z pr dko ci k tow ω = −γB .
K t pomi dzy µ i B jest stały.
Moment magnetyczny w polu magnetycznym (c.d.)
µ
FL
Fwypadkowa ~
∂Bz
µz
∂z
W polu niejednorodnym na obiekt posiadaj cy moment magnetyczny
działa wypadkowa siła w kierunku najwi kszego wzrostu B.
Ta siła przesuwa obiekt.
FL
B
Moment magnetyczny kwantowo
Według ogólnego przepisu zast pujemy
wielko ci fizyczne ich operatorami.
Dla momentu p du mamy:
1
µl = − g l µ b L
Mamy klasyczny zwi zek
L → Lˆx , Lˆ y , Lˆz ; Lˆ2
Podobnie mamy trzy operatory składowych momentu magnetycznego:
1
1
1
ˆ
ˆ
µˆ l x = − gl µb Lx µˆ l y = − gl µb Ly µˆ l z = − gl µb Lˆz
Ich warto ci własne s odpowiednio proporcjonalne do warto ci własnych operatorów
momentu p du, np. dla składowej z:
ˆ
Lz → m
µˆ lz → − gl µb m
m = −l ,−l + 1,⋅ ⋅ ⋅, l
Moment magnetyczny w polu magnetycznym
– kwantowo
z
µ
B
Je li pole ma kierunek osi „z”,
to:
ˆ
∂Bz
µz =
Fwypadkowa ~
∂z
∂Bz
=−
g l µb m
∂z
lonym l, siła mo e mie 2l+1 warto ci,
– dla ró nych warto ci m=-l,..,l.
to dlatego m nazywamy
magnetyczn liczb kwantow
Dla obiektu o okre
V = gl µb Bm, m = −l ,⋅ ⋅ ⋅, l
Fwypadkowa ~ m
V = − µ̂ z B
Vˆ = − µˆ ⋅ B = − µˆ x Bx − µˆ y By − µˆ z Bz
Siła wypadkowa w niejednorodnym polu:
energia orientacji
µ
B
Moment magnetyczny w polu magnetycznym
idea do wiadczenia Sterna i Gerlacha
B
Fwypadkowa ~ m
siła mo e mie
2l+1 warto ci – dla ró nych m=-l,..,l.
Przewidywany obraz na ekranie
2l+1 pr ków.
ekran
Wpuszczamy strumie jednakowych
cz stek o okre lonym momencie p du l
w niejednorodne pole magnetyczne.
Cz stki mog mie ró ne warto ci m.
Do wiadczenie Sterna i Gerlacha
B
Na ekranie tylko dwa pr ki !!
ekran
W 1922 roku Stern i Gerlach wpu cili
strumie atomów srebra
w niejednorodne pole magnetyczne.
W 1927 roku Phipps i Taylor wykonali to samo do wiadczenie dla atomów wodoru w stanie
podstawowym. Nie powinno by adnego rozszczepienia. Wynik był taki jak dla srebra!
Dlaczego liczba pr ków jest parzysta?
Spin – wewn trzny moment p du
Dlaczego liczba pr ków jest parzysta?
Rozszczepienie wi zki jest spowodowane oddziaływaniem z polem magnetycznym
i konieczne jest do tego istnienie momentu magnetycznego.
Je li przyj , e moment magnetyczny jest zwi zany z momentem p du, to musi istnie
moment p du, którego rzut na kierunek pola mo e przyjmowa tylko dwie warto ci.
Nie mo e to by orbitalny moment p du, bo dla niego liczba mo liwych warto ci rzutu
jest zawsze nieparzysta.
Istnieje wewn trzny moment p du. Nazywamy go spinem.
Rzut spinu elektronu na dowolny kierunek mo e przyjmowa tylko dwie warto ci:
i
1
2
Moment magnetyczny zwi zany
ze spinowym momentem p du
(ms = ± 12 ).
µs = − g s µb ms
z
Współczynnik g jest teraz inny ni dla
orbitalnego momentu p du
(składowa w wybranym kierunku):
− 12
gs = 2
Uogólniona definicja momentu p du
[Jˆ , Jˆ ] = i
k
l
3
n =1
spełniaj cych nast puj ce
Jˆ1x,, JJˆˆ2y,, JJˆˆ3z
Trójk operatorów
reguły komutacji:
ε kln Jˆn
nazywamy operatorami składowych momentu p du.
Mo na z nich skonstruowa operator
– kwadrat momentu p du.
2
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
J ≡ J1 + J 2 + J 3
[
]
.
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
Jk , J = 0
Komutuje on ze wszystkimi składowymi
ˆ
Oczywi cie orbitalny moment p du Lx , Ly , Lz
spełnia te warunki – stanowi szczególny przypadek.
[
]
Ze wzgl du na komutacj , Jˆk , Jˆ 2 = 0 , mo na znale
Warto ci własne
wspólne wektory własne.
Chcemy rozwi za równania własne operatorów Jˆ z , Jˆ 2 :
Ĵ 2 λδ = λ λδ
Ĵ z λδ = δ λδ
λδ oznaczaj tu wektory z przestrzeni wektorowej, w której działaj operatory Jˆ z , Jˆ 2.
[Jˆ , Jˆ ] = i
Z definicji
wynika
k
l
3
n =1
ε kln Jˆn Jˆ 2 ≡ Jˆ12 + Jˆ22 + Jˆ32
Jˆ 2 jm = j ( j + 1)
2
Jˆ z jm = m jm
,
jm ,
j = 0, 12 ,1, 32 ,2, 52 ,
m = − j ,− j + 1,
,j
Orbitalny moment p du jest szczególnym przypadkiem –
dla niego liczby l i m s tylko całkowite (nie mog by połówkowe).
Spin elektronu – formalizm (stany o okre lonym Sz)
Elektron, proton, neutron maj spin s =
1
.
2
2
=
3
4
2
,
Oznacza to, e warto kwadratu spinu wynosi zawsze s ( s + 1)
a rzut spinu na dowolny kierunek
1
1
mo e przyjmowa tylko dwie warto ci:
i −
.
2
2
Istniej tylko dwa spinowe stany cz stki, w których kwadrat spinu i jego rzut na o z
s okre lone. Niech b d to 12 12 i 12 −21 .
Dowolny stan spinowy elektronu musi si da przedstawi jako kombinacja liniowa
tych dwóch stanów:
= a 12 12 + b 12 −21 .
Jest wi c jednoznacznie okre lony przez par współczynników: a
W szczególno ci:
1 1
2 2
b
→α ≡
1
0
1 −1
2 2
→β ≡
0
1
Spin elektronu – formalizm (operator Ŝ z )
a
∈ Z2
b
a c
,
b d
Iloczyn skalarny
a
=
b
+
c
( a * , b* ) c
= a *c + b*d
=
d
d
Operatory s zespolonymi macierzami 2x2.
e
g
Ŝ z
Sˆ z
1 1
2 2
Sˆ z
1 −1
2 2
=
1
2
=−
1 1
2 2
1
2
1 −1
2 2
Sˆ z ≡
1
2
1
f
h
e
g
f
h
1
=
0
e
g
f
h
0
= − 12
1
0
0 −1
1
2
1
0
e
=
g
1
0
1
2
f
= − 12
h
0
1
e
g
f
=
h
1
2
0
1
1 0
0 −1
Spin elektronu – formalizm (operator Ŝ 2 )
e
g
f
h
e
g
Ka dy wektor z przestrzeni spinowej elektronu jest wektorem
własnym operatora kwadratu spinu do tej samej warto ci własnej;
f a
a Liczba s mo e mie tylko jedn jedyn warto ½.
= 12 ( 12 + 1) 2
h b
b
e
g
f
h
a
=
b
3
4
2
e
g
f
=
h
3
4
2
Ŝ
2
1 0 a
0 1 b
1 0
0 1
Sˆ 2 ≡
3
4
2
1 0
0 1
Spin elektronu – formalizm (operatory Ŝ x i Ŝ y )
Sˆ x+ = Sˆ x
Sˆ y+ = Sˆ y
[Sˆ , Sˆ ] = i Sˆ
[Sˆ , Sˆ ] = i Sˆ
[Sˆ , Sˆ ] = i Sˆ
y
z
Sˆ x ≡
1
2
Sˆ y ≡
1
2
x
z
x
y
x
y
z
0 1
1 0
0 −i
i
0