Metody optymalizacji – Paweł Zieliński 1 Lista nr 1 – ćwiczenia1 1

1
Metody optymalizacji – Paweł Zieliński
Lista nr 1 – ćwiczenia1
1. Podać egzemplarze, F zbiór rozwiązań dopuszczalnych i funkcję kosztu (celu) c, następujących problemów:
(a) problemu najkrótszej ścieżki między dwoma wyróżnionymi wierzchołkami w grafie,
którego wagi reprezentują odległość,
(b) problemu komiwojażera,
(c) problemu polegającego na podziale zbioru S zawierającego 2n liczb naturalnych na
dwa zbiory S1 i S2 takie, że |S1 | = |S2 | = n i suma liczb z S1 jak najmniej różniła
się od sumy liczb z S2 .
2. Pokazać, że przekrój zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.
3. Niech c w będzie funkcją wypukłą w S, c : S → R, i t ∈ R. Pokazać, że zbiór St = {x :
c(x) ¬ t, x ∈ S} jest wypukły.
4. Czy iloczyn dwóch funkcji wypukłych jest wypukły? Jeśli tak, to podać dowód. Jeśli nie,
to podać kontrprzykład.
Co z sumą funkcji wypukłych?
5. Niech f (x) będzie funkcją wypukłą w Rn . Czy funkcja f (x + b), gdzie b ∈ Rn jest
wektorem stałych, jest funkcją wypukłą w Rn ?
6. Niech funkcja f (x) będzie funkcją wypukłą w Rn . Ustalmy x2 , . . . , xn i rozważmy funkcję
g(x1 ) = f (x1 , x2 , . . . , xn ). Czy g jest wypukła w R?
7. Niech f (xi ) będzie funkcją wypukłą jednej zmiennej xi . Wtedy funkcja g(x) = f (xi )
może być rozważana jako funkcja x ∈ Rn . Czy g jest wypukła w Rn ?
8. Uzasadnić, że zbiory rozwiązań optymalnych następujących problemów są identyczne:
(a)
i
min c(x)
x∈F
max −c(x),
x∈F
(b)
min c(x)
x∈F
i
min{p c(x) + q},
x∈F
gdzie p > 0.
9. Pokaż, że problemy programowania całkowitoliczbowego zawierają się w klasie problemów programowania nieliniowego.
10. Przygotowywana jest specjalna odżywka dla niemowląt na bazie dwóch produktów żywnościowych: P1 i P2. Odżywka powinna zawierać co najmniej 16 mg witaminy A, co
najmniej 20 mg witaminy B i co najmniej 12 mg witaminy C. 1 kg produktu P1 kosztuje
7.5 zł i zawiera: 1 mg witaminy A, 5 mg witaminy B, i 1 mg witaminy C. 1 kg produktu
P2 kosztuje 12.5 zł a zawartość witamin A, B, C wynosi odpowiednio: 2, 1 i 1 mg. W
1
Większość zadań pochodzi z książki: C.H. Papadimitriou, K. Steiglitz, Combinatorial Optimization. Algorithms and Complexity, Dover Publication, Inc, Mineola, 1998.
2
Metody optymalizacji – Paweł Zieliński
jakiej ilości zmieszać produkty P1 i P2, aby otrzymać odżywkę zawierającą niezbędne
ilości witamin o możliwie najniższym koszcie, uwzględniając ponadto warunek, iż zawartość produktu P2 w mieszance powinna być nie mniejsza niż połowa ilości produktu P1?
Zbudowac model, którego rozwiązaniem są optymalne ilości produktów P1 i P2.
11. Zakład może produkować cztery różne wyroby (A, B, C, D) w różnych kombinacjach.
Każdy z wyrobów wymaga pewnego czasu obróbki na każdej z trzech maszyn. Czasy te
są podane w tabeli (w minutach na funt wyrobu). Każda z maszyn jest dostępna przez
60 godzin w tygodniu. Produkty A, B, C i D mogą być sprzedane po cenie, odpowiednio,
9$, 7$, 6$ i 5$ za funt. Koszty zmienne (koszty pracy maszyn) wynoszą, odpowiednio,
2$ za godzinę dla maszyn 1 i 2 oraz 3$ za godzinę dla maszyny 3. Koszty materiałowe
wynoszą 4$ na każdy funt wyrobu A i 1$ na każdy funt wyrobu B, C i D. W tabeli
podany jest także maksymalny tygodniowy popyt na każdy z wyrobów (w funtach).
Produkt
A
B
C
D
Maszyna
1 2 3
5 10 6
3 6 4
4 5 3
4 2 1
Max. popyt tygodniowy
400
100
150
500
Podaj model, którego rozwiązaniem będzie optymalny tygodniowy plan produkcji poszczególnych wyrobów.
12. Sformułować model problemu, w którym dane jest m dostawców z zasobami si (jednostek), i = 1, . . . , m, pewnego towaru i n odbiorców o zapotrzebowaniu w wysokości dj
Pn
P
(jednostek), j = 1, . . . , n, na ten towar, m
j=1 dj . Każdy dostawca i może
i=1 si ­
zaopatrywać dowolnego odbiorcę. Koszt transportu za jednostkę towaru na trasie od
dostawcy i do odbiorcy j jest wysokości cij (jest dany). Należy wyznaczyć plan transportu między dostawcami i odbiorcami, tak aby zaspokoić zapotrzebowanie odbiorców
minimalizując łączne koszty transportu.
13. Pokazać, że otoczenie dla minimalnego drzewa rozpinającego, zdefiniowane na wykładzie,
jest dokładne.
14. Sformułować problem minimalnego drzewa rozpinającego (MST) jako problem programowania liniowego w grafie G = (V, E), gdzie V i E są odpowiednio zbiorami wierzchołków i krawędzi, |V | = n, |E| = m, z m zmiennymi decyzyjnymi (zmienne odpowiadają
krawędziom) - uogólnij model z wykładu.
Wsk. Model programowania liniowego wymaga dużej liczby ograniczeń.
15. Rozważmy problem polegający na znalezieniu permutacji π, n nieujemnych wag wi ,
i = 1, . . . , n, takiej, że
n
X
i wπ(i) jest minimalna.
i=1
Pokazać, że otoczenie składające się z permutacji będących wynikiem zamian dwóch
sąsiednich wag jest dokładne.