Przykład 6.6.

Przykład 6.6. Wyznaczanie reakcji dynamicznych
2l
2l
A
B
2l
2l
m
m
Ruch rozpoczyna się bez prędkości początkowej z położenia jak na rysunku. Masa tarczy
wynosi m.
Określić reakcje w podporze A po odcięciu cięgna. Jak zmienią się reakcje w podporze A po
zmianie punktu podparcia.
Rozwiązanie
I przypadek podparcia
Układ sił po odcięciu cięgna i uwolnieniu z więzów przedstawia poniższy rysunek
l
l
aCy
C
C
aCx
y
RAx A
G
RAy
x
Tarcza porusza się ruchem płaskim. Do wyznaczenia reakcji wykorzystamy równanie ruchu
środka masy tarczy oznaczonego jako punkt C oraz równanie ruchu obrotowego wokół środka
masy. W zapisie wektorowym równanie ruchu punktu C ma postać:
maC  G  RAx  RAy ,
i jest równoważne dwóm równaniom algebraicznym określającym poszukiwane reakcje jako
R Ax  maCx
(1)
R Ay  maCy  G
Po odcięciu cięgna tarcza zaczyna poruszać się bez prędkości początkowej ruchem
obrotowym względem stałego środka obrotu – podpory A. Składowe przyśpieszenia punktu C
przedstawione są jako składowe: dośrodkowa i styczna (rysunek poniżej).
W chwili początkowej wynoszą one:
2l
aCn
A
ω
ε
 aCn  0
 
aC   2l
C
aCτ
Składowe aCx i aCy występujące w równaniach ruchu (1) wynoszą zatem
1
1
aCx  aC
 aCn
 l
2
2
1
1
aCy  aC
 aCn
 l
2
2
Równanie ruchu obrotowego względem podpory ma postać
JzA ε = mg l
(2)
gdzie JzA oznacza moment bezwładności tarczy kwadratowej względem osi z prostopadłej do
płaszczyzny ruchu w punkcie A. Jego wartość można obliczyć wykorzystując twierdzenie
Steinera o zmianie momentu bezwładności przy przesunięciu osi z środka masy. Zatem
 
2
J zA  J zC  m l 2 ,
gdzie JzC oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy C
1
2
i wynosi J zC  m2l  . Ostatecznie
6
J zA 
 
2
2 2
8
ml  m l 2  ml 2 .
3
3
Przyśpieszenie kątowe wyznaczone z równania (2) wynosi

mgl 3g
.

J zA 8l
Składowe reakcji w podporze A wyznaczone z układu równań (1) wynoszą
3
R Ax  maCx  ml  mg
8
5
R Ay  maCy  G  ml  mg  mg
8
Rzeczywiste zwroty reakcji i ich wartości przedstawione są na rysunku poniżej.
C
RAx= 3 mg
mg
8
RAy=
5
8
mg
Uwaga
Wykorzystując do rozwiązania zadania, zamiast równania (2), równanie ruchu obrotowego
wokół środka masy:
JzC ε = RAy l- RAxl
.
(2*)
otrzymujemy wraz z równaniami (1) układ równań :
2/3 ml2 ε = RAyl - RAxl
RAx = mεl
RAy = - mεl+mg
2
Rozwiązaniem powyższego układu są, jak poprzednio, reakcje
3
5
RAx  mg
RAy  mg
.
8
8
II przypadek podparcia
Układ sił po odcięciu cięgna i uwolnieniu z więzów przedstawia poniższy rysunek
aCy
RBx B
RBy
aCx
C
C
y
G=mg
x
Do wyznaczenia reakcji wykorzystamy równanie ruchu środka masy tarczy - punktu C, które
jak poprzednio ma postać dwóch równań algebraicznych:
maCx  RBx
(1)
maCy  RBy  G
Po odcięciu cięgna tarcza porusza się ruchem obrotowym względem stałego środka obrotu –
podpory B. Składowe przyśpieszenia punktu C przedstawione są jako składowe: dośrodkowa
i styczna (rysunek poniżej). W chwili początkowej wynoszą one:
ω ε
aCn
C
τ
aC
B
l
 aCn  0
 
aC   2l
l
Składowe aCx i aCy występujące w równaniach ruchu (1) obliczone analogicznie jak
poprzednio wynoszą
1
1
aCx  aC
 aCn
 l
2
2
1
1
aCy  aC
 aCn
 l
2
2
Równanie ruchu obrotowego względem podpory ma postać
JzB ε = mg l
(2)
gdzie JzB oznacza moment bezwładności tarczy kwadratowej względem osi z prostopadłej do
płaszczyzny ruchu w punkcie B. Jego wartość obliczymy jako
 
2
J zB  J zC  m l 2 ,
gdzie JzC oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy C
1
2
i wynosi J zC  m2l  . Ostatecznie
6
3
J zA 
 
2
2 2
8
ml  m l 2  ml 2 .
3
3
Przyśpieszenie kątowe wyznaczone z równania (2) wynosi

mgl 3g
.

J zA 8l
Składowe reakcji w podporze B wyznaczone z układu równań (1) wynoszą
3
RBx  maCx  ml   mg
8
5
RBy  maCy  G  ml  mg  mg
8
Rzeczywiste zwroty reakcji i ich wartości przedstawione są na rysunku poniżej.
RBx= 3 mg
8
RBy=
5
8
C
mg
Wniosek
Zmiana położenia punktu podparcia tarczy
spowodowała zmianę zwrotu składowej
poziomej reakcji.
mg
4