(Microsoft PowerPoint - Wyk\263ad 5 sem II ZE v1 [tryb zgodno\234ci])

UKŁADY NIELINIOWE
Układami nieliniowymi nazywamy układy opisane równaniami różniczkowymi, różnicowymi lub
algebraicznymi. Układy nieliniowe można również określić jako takie układy, dla których nie
obowiązuje zasada superpozycji. Układ spełnia zasadę superpozycji, jeżeli przy zerowych
warunkach początkowych odpowiedź tego układu na wymuszenie, będące kombinacją liniową
wymuszeń, jest równa kombinacji liniowej na każde z wymuszeń oddzielnie.
Wszystkie układy rzeczywiste są układami nieliniowymi. Traktowanie niektórych układów jako
układy liniowe jest zawsze wynikiem idealizacji procesów zachodzących w tych układach. Jako
liniowe można traktować takie układy, dla których z dostateczną dokładnością obowiązuje zasada
superpozycji.
Układ zawierający przynajmniej jeden człon nieliniowy, jest układem nieliniowym.
W przypadku ogólnym odpowiedź y członu nieliniowego jest związana z wymuszeniem u(t) tego
członu (obiektu, procesu) opisanego równaniem różniczkowym nieliniowym n-tego rzędu o
postaci
F ( y n , y ( n −1) ,K, y 2 , y, u m , u ( m −1) ,K, u 2 , u , t ) = 0
W szczególnym przypadku opis matematyczny członu nieliniowego może mieć postać równania
algebraicznego F ( y , u , t ) = 0 - jest funkcją nieliniową argumentów – człon statyczny.
Nasycenie
y(u)
u(t)
y(t)
U

ku
y=
Usignu

0
0
-U
0
U
k
U
u≥
k
u≤
t
u
Strefa martwa, nieczułość
u(t)
y(t)
y(u)
-a
a
0
0
u
0
ku

y = k (u − a )
k (u + a )

u ≤a
u≥a
u ≤ −a
Luz
y(u)
0
0
0
Time (second)
u
Przekaźnik dwupołożeniowy
y(u)
u(t)
y(t)
0
0
0
u
t
Wiele układów regulacji automatycznej zawiera nieliniowości istotne z punktu widzenia
działania URA. Nieliniowości tych w procesie analizy URA nie można pominąć metodą
linearyzacji drogą rozkładu w szereg Taylora i pominięcia składników nieliniowych tego szeregu,
ponieważ sygnały istniejące w URA mogą zmieniać się w szerokich granicach.
Takie układy nieliniowe można badać dokładniejszymi metodami stosowanymi w
przypadku układów nieliniowych:
yo(t) e(t)
u(t)
1. metodą funkcji opisującej,
NLN
G(s)
2. metodą płaszczyzny fazowej
3. metodą modelowania analogowego,
4. metodą modelowania cyfrowego.
y(t)
Metoda funkcji opisującej.
Pośród cech zachowania się układów nieliniowych, które nie dają się wyjaśnić za pomocą teorii
liniowej, chyba najważniejsze są drgania samowzbudne zwane cyklem granicznym. Cykl
graniczny jest to drganie własne układu nieliniowego przy stałej amplitudzie i stałym okresie.
Przyjmując, że jedynym istotnym sygnałem wyjściowym członu nieliniowego jest składowa
sinusoidalna o częstotliwości wejściowej, upraszczamy badania drgań tego typu. Metoda funkcji
opisującej jest właśnie oparta na tym założeniu i wykorzystuje ona metody częstotliwościowe.
Rozważmy relację nieliniową między wejściem a wyjście,
zależną od amplitudy, lecz niezależną od częstotliwości
u = f (e)
Dla wejścia sinusoidalnego o amplitudzie A i częstotliwości ω
e = A sin ωt
u~ = f ( A sin ωt ) ma zniekształcenia nieliniowe, lecz jej okresowość jest taka
odpowiedź
sama, jak sygnału wejściowego dla większości spotykanych w praktyce elementów nieliniowych.
Wyjście okresowe można wyrazić za pomocą szeregu Fouriera
u~ (θ ) = c + ∑ ( f n sin nθ + hn cos nθ )
θ = ωt
n =1
przy czym współczynniki Fouriera dla składowych podstawowych są równe
1 2π~
f1 = ∫ u (θ ) sin nθ dθ ;
π 0
1 2π~
a składowa stała jest równa
c=
∫ u (θ ) dθ
2π 0
1 2π~
h1 = ∫ u (θ ) cos nθ dθ
π
0
Jeżeli charakterystyka statyczna elementu nieliniowego jest symetryczna względem układu
współrzędnych, to współczynnik c = 0, jeżeli zaś nie posiada strefy niejednoznaczności to h1= 0.
Funkcja opisująca elementu nieliniowego jest zdefiniowana następująco
1 2π ~
− jθ
lub
J ( A) =
∫ u (θ )e dθ
πA 0
i wyraża stosunek wyjścia do wejścia elementu nieliniowego w dziedzinie częstotliwości.
f + jh1
J ( A) = 1
A
ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNYCH UKŁADÓW NIELINIOWYCH PRZY
POMOCY FUNKCJI OPISUJĄCEJ
Funkcję opisującą wykorzystuje się do przybliżonej analizy układu nieliniowego, przy
wykorzystaniu kryterium analogicznego do kryterium Nyquista.
1
Rozpatruje się wyrażenie
J ( A)G ( jω ) = −1 →
G ( jω ) = −
J ( A)
1
G ( jω ) i −
a ściślej, wzajemne położenie
dla dowolnych wartości A i ω.
J ( A)
1
1
Wyrażenie −
J ( A)
1. leży na zewnątrz charakterystyki G(jω)
– URA jest stabilny,
A→∞
( A2 , ω2 )
2
1.5
1
0.5
2. leży wewnątrz charakterystyki G(jω)
– URA jest niestabilny,
0
0.5
A=∞
Ql( ω )
3. posiada punkt lub punkty wspólne z
charakterystyką częstotliwościową G(jω)
- w nieliniowym URA wystąpią drgania o
częstotliwości i amplitudzie określonych
przez przecinające się krzywe (obok –
dwa cykle graniczne:
1. (A1, ω1) - niestabilny,
2. (A2, ω2) – stabilny.)
1
2
A→0
( A1, ω1 )
3
P l( ω )
A=0
1
1.5
Przekaźnik
Przekaźnik trójpołożeniowy
-a2
0
2h
-a1
a1
a2
2
4
e(t)
u(t)
u(e)
U
α2 + π
α1 + π
0
α2
α1
-U
e(t)
0
-6
-4
-2
α1 0
t
6
A
α2
dla e& > 0
t
czyli e rosnącego
dla e < −a1 
− U


u = 0
dla − a1 < e < a2 
U

dla e > a2


dla e& < 0
czyli e malejącego
dla e > a1
U



u = 0
dla − a2 < e < a1 
− U
dla e > −a2 

Przekaźnik
Z symetrii charakterystyki przekaźnika
f ( A sin θ ) = f ( A sin(θ + π )
e(t)
u(t)
U
α2 + π
α1 + π
α2
α1
wynika symetria odpowiedzi, która w
przedziale od 0 do π ma postać
0

u~ = U
0

dla 0 < θ < α1 

dla α1 < θ < α 2 
dla α 2 < θ < π 
Przy czym:
t
α1 = arcsin
a2
A
α 2 = arcsin
Funkcja opisująca przyjmie postać
j 2π ~
j2 π ~
j 2 α − jθ
2U
− jθ
− jθ
(
)
d
=
(
)
d
=
d
=
− e− jθ αα
J ( A) =
u
e
u
e
Ue
θ
θ
θ
θ
θ
∫
∫
∫
πA 0
πA 0
πA α
πA
2U − jα
2U
=
− e − jα =
[cosα1 − cosα 2 − j (sin α1 − sin α 2 )]
e
πA
πA
2
1
(
1
2
)
(
2
1
)
a1
A
Ponieważ
a2 = A sin α1
Zatem
sin α1 =
a1 = A sin α 2
a2
A
a 
cosα1 = 1 −  2 
 A
sin α 2 =
2
a1
A
a 
cosα2 = 1 −  1 
 A
2
Stąd otrzymuje się postać ostateczną funkcji opisującej przekaźnik
2
2
2U 
a2 
a1 
a1 − a2 



 1 −   + 1 −   + j
J ( A) =

πA 
A
A
A
 
 



dla
A > a2
Nietrudno zauważyć, że gdy a2 = -a1 = a to z
powyższej zależności otrzymuje się funkcję opisującą
4U j ( −α )
J ( A) =
e
gdzie
przekaźnik dwupołożeniowy z histerezą przy A > a
πA
Natomiast gdy a2 = a1 = a, to otrzymuje się funkcję
f1 4U
J
(
A
)
=
= 2 A2 − a 2
opisującą przekaźnik trójpołożeniowy bez histerezy
A πA
Jeżeli przyjmie się a = 0, to otrzyma się funkcję
4U
J
(
A
)
=
opisującą przekaźnik dwupołożeniowy
πA
α = arcsin
a
A
W tym przypadku linearyzacja harmoniczna sprowadza się do zastąpienia charakterystyki u =f(e)
4U
prostą przechodzącą przez początek współrzędnych u =
e
πA
Przykład
Zbadać stabilność układu regulacji automatycznej składającego się z: przekaźnika
dwupołożeniowego z histerezą o parametrach B=1, a =0.04 oraz obiektu liniowego opisanego
transmitancją operatorową:
− 4⋅ s
e
G ( s ) :=
10 ⋅ s + 1
Charakterystyka amplitudowo-fazowa liniowej części liniowej układu
P ( ω ) := Re ( G ( j ⋅ ω ) )
Q ( ω) := Im ( G ( j ⋅ ω) )
P ( ω)
Q ( ω)
complex −( −cos ( 4 ⋅ ω) + 10 ⋅ sin ( 4 ⋅ ω ) ⋅ ω)
→
simplify
2
1 + 100 ⋅ ω
complex −( sin ( 4 ⋅ ω ) + 10 ⋅ cos ( 4 ⋅ ω ) ⋅ ω )
→
simplify
2
1 + 100 ⋅ ω
Funkcja opisująca dla elementu nieliniowego
jakim jest przekaźnik ma postać:
−1
Wykres krytyczny ma postać
gdzie:
P( A ) :=
4
2
⋅
A −a
(
2
4 ⋅B
⋅
2
2
2
π⋅A
π a
Q( A ) := − ⋅
4 B
B
0.2
0
Q( ω)
Qp ( A )
0.2
Qp ( 0.295)
Qp ( 0.4)
0.4
Qp ( 0.2)
0.6
0.8
0.4
0.2
0
0.2
0.4
)
A + a + j ⋅a
P( A ) + 1j⋅ Q( A )
J( A )
−π
J ( A) :=
0.6
P( ω) , Pp ( A ) , Pp ( 0.295) , Pp ( 0.4) , Pp ( 0.2)
0.8
UKŁADY REGULACJI DWUPOŁOŻENIOWEJ
Układem regulacji dwupołożeniowej będziemy nazywać układ, w którym wielkość wyjściowa
regulatora może przyjmować tylko dwie stabilne wartości sygnału. Cechą charakterystyczną
układów z regulatorem dwupołożeniowym (przekaźnikowym) są przede wszystkim oscylacje w
stanie ustalonym, określane przez amplitudę, częstotliwość i wartość średnią tych oscylacji.
Parametry tych oscylacji świadczą o jakości regulacji i zależne są od własności dynamicznych
obiektu, od wartości sygnału włączonego przez przekaźnik oraz pętli histerezy przekaźnika.
Najlepsze rezultaty daje zastosowanie regulatorów dwupołożeniowych, w przypadku obiektów o
dużej inercji, dlatego najczęściej bywają stosowane przy regulacji procesów cieplnych, regulacji
poziomu cieczy w dużych rezerwuarach itp.
Przykład
yo(t)
e(t)
-
Wyznaczyć przebieg ustalony dla układu z obiektem i regulatorem
dwupołożeniowym, jeżeli transmitancja obiektu ma postać
u(t)
6
y(t)
G(s)
−h
B
h
5
4
k
G(s) =
e − sT
Ts + 1
o
natomiast charakterystyka statyczna
przekaźnika jest symetryczna w strefie
histerezy.
3
u( t )
2
1
5
3
1
1
1
e( t )
3
5
Wartość zadana
yo = mkB dla 0 ≤ m < 1
Przebiegi procesu regulacji dla nastaw wielkości zadanej
yo = 20, 50, 80
120
100
y(t)
80
60
40
20
0
0
50
100
150
t {s}
200
250
300
To
80
yo + h
60
yo
yo − h
ymax
40
yśr
20
t2
0
t1
ymin
Tosc
ta
-20
-40
-60
0
50
100
150
t {s}
Parametrami charakterystycznymi przebiegu czasowego wielkości regulowanej są: t1, t2, Tosc,
ymax, ymin, yśr oraz średni uchyb ustalony i niekiedy czas ta.
t

−
yo + h = yu 1 − e


1. Do wyznaczenia czasu ta korzystamy z zależności
Przyjmując
yo = myu
t

−
myu + h = yu 1 − e


a
−To
T




a
−To
T




ta = To + T ln
stąd
yu
yu (1 − m ) − h
2. Po przekroczeniu wartości yo + h wielkość regulowana dalej wzrasta przez okres czasu To
osiągając
T
T
T


− 
− 
−
y = ymax = y u − y o − h = yu 1 − e T  + y o + h = yu 1 − (1 − m )e T  + he T








o
o
o
3. Przy zmniejszaniu się wartości y, po przekroczeniu wartości yo - h następuje dalsze
zmniejszanie się wielkości regulowanej przez okres To aż do osiągnięcia
y = ymin = ( y o −h )e
−
To
T
= (my u −h )e
−
To
T
T

−
ymin + ymax
yśr =
= yu 0.5 + (m − 0.5)e T
2

o
4. Wartość średnia oscylacji ustalonych wyniesie
T

−
eśr = yśr − yo = yu (0.5 − m )1 − e T


o
5. Średni uchyb regulacji wyniesie







T

−
= yu 1 − e T


T

−
 + 2he T


o
6. Dokładność dynamiczna
∆y = ymax − ymin
o
7. Na podstawie zależności opisujących przebieg zmian wielkości regulowanej w przedziale od
ymin do ymax wyznacza się czas narastania t1:
T

−
= ( yu − ymin )1 − e T


o
ymax
T

−
 + y = y − ( y − y )e T
u
u
min
 min

o
−
t1 = To + T ln
yu − (myu − h )e
yu (1 − m ) − h
To
T
8. Na podstawie zależności opisujących przebieg zmian wielkości regulowanej w przedziale od
ymax do ymin wyznacza się czas opadania t2:
t 2 = To + T ln
9. Czas oscylacji ustalonych Tosc = t1 + t2
yu − [(1 − m ) yu − h]e
yu m − h
−
To
T
Na podstawie uzyskanych zależności wynikają wnioski ogólne:
a) wartość ymax > yo + h
b) wartość ymin < yo − h
c) wartość średnia yśr może być większa, równa lub mniejsza od wartości yo ,
zależnie od tego czy m < 0.5, m = 0.5 lub m > 0.5,
d) średni uchyb regulacji eśr = 0 tylko dla m = 0.5; dla m < 0.5 eśr > 0 a dla
m > 0.5, eśr < 0; uchyb ten nie zależy od strefy niejednoznaczności
(histerezy) przekaźnika,
e) czas narastania t1 i czas opadania t2 są sobie równe tylko dla m = 0.5
oraz t1 > 0 i t2 > 0 nawet przy h = 0.
Jakość regulacji jest zależna głównie od własności dynamicznych obiektu. Strefa histerezy ma w
większości przypadków wpływ niewielki. Regulacja dwupołożeniowa zapewnia dobre wyniki dla
obiektów o małym stosunku opóźnienia do stałej czasowej. Jednak już od wartości To/T = 0.2
jakość regulacji jest niewielka.
SPOSOBY KOREKCJI
Najprostszym sposobem poprawy jakości regulacji dwupołożeniowej jest , np.. podział mocy
grzejnej w taki sposób, że regulowana jest tylko część mocy przy pozostałej części włączonej na
stałe. Przy tego typu korekcji zmniejsza się jednak efektywność kompensacji zakłóceń. Wady tej
nie mają inne sposoby korekcji.
Korekcja szeregowa – regulator dwustawny PD
Korekcja szeregowa PD polega na włączeniu przed przekaźnikiem członu proporcjonalnoróżniczkującego o transmitancji
yo
e
-
u
kr (1+Tr s)
y
OBIEKT
Gr ( s ) = kr (1 + Tr s )
przez co zyskuje się wzrost częstotliwości przełączeń, a zatem zmniejszenie amplitudy oscylacji
wielkości regulowanej - rozrzutu regulacji w stanie ustalonym. Można w ten sposób uzyskać
dwukrotny wzrost częstotliwości przełączeń.
Korekcyjne sprzężenie zwrotne wokół przekaźnika
k
T1 s + 1
yo
e
-
-
u
y
OBIEKT
Przez korekcyjne sprzężenie zwrotne
wokół przekaźnika tworzy się w układzie
dodatkowy obwód drgający na wyższej
częstotliwości, linearyzujący własności
przekaźnika.
Najczęściej w torze sprzężenia zwrotnego umieszczany
jest człon inercyjny pierwszego rzędu o transmitancji:
Gk ( s ) =
k
sT1 + 1
Biorąc pod uwagę fakt, że wzmocnienie samego przekaźnika kR jest bardzo wielkie,
dynamikę regulatora można określić jako odwrotność transmitancji sprzężenia zwrotnego,
czyli:
kR
1
1
Gr ( s ) =
≅
= (sT1 + 1)
1 + k R Gk ( s ) Gk ( s ) k
Regulator ma własności regulatora PD, mając współczynnik wzmocnienia kp =1/k i czas
różniczkowania TD = T1..Warunek ten jest spełniony przy stosunkowo dużych wzmocnieniach k
i małych stałych czasowych T1.
Osłabienie sprzężenia przez zmniejszenie k - czyli wzrost wzmocnienia kp regulatora PD –
może doprowadzić do niestabilności, co będzie się objawiać przez oscylacje wartości średniej
wielkości y o ograniczonej amplitudzie.
Regulator dwustawny PID
Regulator dwustawny PD nie likwiduje uchybu ustalonego, ale poprawia jakość regulacji.
Likwidację błędu w stanie ustalonym zapewnia natomiast astatyzm wnoszony przez dwustawny
regulator typu PID.
Transmitancja sprzężenia zwrotnego:
1
T2 s + 1
 1
1 

Gk ( s ) = k 
−
sT
+
1
sT
+
1
 1

2
k
-
yo
e
1
T1 s + 1
-
-
u
y
OBIEKT
Przy założeniu, że T2 > T1,
transmitancja regulatora
Gr ( s ) ≈
przyjmuje postaci:



1
1 
1 n +1

1 +
Gr ( s ) =
+ sT2
n
+
1
k n − 1  sT
n + 1


2


n
1
Gk ( s )


1
T
lub Gr ( s ) = k p 1 +
+ sTD  , gdzie n = 2
T1
 sTI

Dobór nastaw regulatora dwustawnego PID
Nastawy regulatora dwustawnego można dobrać sposobem będącym odpowiednikiem metody
Zieglera-Nicholsa dla regulatorów liniowych.
1.
Wyłączyć działanie korekcyjne (k = 0), nastawić yo = 0,5ymax i zarejestrować przebieg y(t).
R e g u la c ja d w u s ta w n a
1.2
1
Tosc
yo(t)-h
y(t)
yo(t)+h
u(t)
yo(t)
0.8
0.6
∆y
0.4
0.2
0
2.
0
10
20
30
t {s}
40
50
60
Zmierzyć okres oscylacji Tosc oraz dokładność dynamiczną ∆y (rozrzut regulacji).
Określić nastawy regulatora według zależności:
kp =
0.75
,
∆y
TI =
Tosc
ymax ,
4∆y
TD =
1
Tosc
12
Na podstawie powyższych nastaw można wyznaczyć wzmocnienie i stałe czasowe
członów inercyjnych w pętli sprzężenia wokół przekaźnika:
k=
1 n +1
,
kp n −1
T1 =
TI
,
n +1
T2 = TD (n + 1)
R e g ula c ja d wus ta no wa
1.2
1
0.8
yo(t)
y(t)
3.
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
t {s}
40
50
60
R e g u l a c j a d w u s ta n o w a
1 .2
1
y(t)
yo(t)
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
0
10
20
30
t {s}
40
50
60
40
50
60
R e g u la c ja d w u s ta n o w a
1.2
1
y(t)
yo(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
t {s}