Zadania 3

Postawy fizyki: Mechanika MT, grupa 2 — 22.11.2016
1
1. Kolista tarcza o promieniu R wiruje wokół swojej osi ze stała˛ pr˛edkościa˛ katow
˛ a˛ ω. Ze środka
tarczy wyrusza biedronka i porusza si˛e wzdłuż wybranego promienia ze stała˛ pr˛edkościa˛ v0 .
Znaleźć:
(a) równanie ruchu i toru biedronki w nieruchomym ukladzie odniesienia we współrz˛ednych
kartezjańskich i biegunowych,
(b) zależność od czasu wartości wektora pr˛edkości ~v oraz jego składowych: radialnej vr ,
transwersalnej vϕ ,
(c) zależność od czasu wartości wektora przyspieszenia ~a oraz jego składowych: radialnej
ar , transwersalnej aϕ oraz normalnej an i stycznej at ,
(d) zależność wartości promienia krzywizny ρ od czasu.
2. Kamyk utkwił w oponie koła o promieniu R. Znaleźć zależność współrz˛ednych kamyka
w funkcji czasu [x(t), y(t)], jeżeli kolo toczy si˛e bez poślizgu po poziomej drodze z szybkościa˛ v. W chwili poczatkowej
˛
t = 0 kamyk dotyka drogi. Obliczyć także składowe pr˛edkości
i przyspieszenia kamyka jako funkcje czasu. Jaki jest tor ruchu kamyka?
3. Jaka˛ pozioma˛ stała˛ sił˛e F należy przyłożyć do masy M , aby masy m1 i m2 nie poruszały si˛e
wzgl˛edem masy M (Rys. 1)?
4. W układzie (Rys. 2) poczatkowo
˛
spoczywajacej
˛ masie m = 150 g pozwalamy swobodnie si˛e
poruszać. Poczatkowo
˛
masa ta znajduje si˛e na wysokości d = 1.2 m nad masa˛ M = 1650 g.
Po jakim czasie t od chwili uwolnienia masa m uderzy w podstaw˛e?
Rys. 1
Rys. 2
5. Mała kulka o masie m porusza si˛e ze stała˛ pr˛edkościa˛ v po poziomym okr˛egu wewnatrz
˛ sfery
o promieniu R. Ile wynosi promień r tego okr˛egu?
M
m
m
M
α
Rys. 3
Rys. 4
Rys. 5
6. Dla maszyny Atwooda (Rys. 3) znajdź przyspieszenie, z jakim poruszaja˛ si˛e ci˛eżarki oraz sił˛e
napi˛ecia nici.
Postawy fizyki: Mechanika MT, grupa 2 — 22.11.2016
2
7. Wyznaczyć wskazania siłomierzy A i B i przyspieszenia mas w układzie przedstawionym na
Rys. 4. Masy nici i bloków zaniedbać. m1 = 300 kg, m2 = 100 kg. Jak zmienia˛ si˛e wskazania
siłomierzy, jeśli masy m1 i m2 zostana˛ zamienione miejscami.
8. Do naczynia w kształcie walca o promieniu podstawy r nalano rt˛eci. Nast˛epnie naczynie wprawiono w ruch obrotowy wokół osi symetrii. Oś obrotu jest pionowa, zaś cz˛estość kołowa ruchu
obrotowego wynosi ω. Jakie równanie b˛edzie miał przekrój poprzeczny powierzchni rt˛eci przechodzacy przez oś symetrii układu?
9. Po równi pochyłej o kacie
˛ nachylenia β zsuwa si˛e naczynie z ciecza.˛ Współczynnik tarcia
dynamicznego wynosi f < tg β. Wyznaczyć kat
˛ nachylenia powierzchni cieczy w naczyniu
mierzony wzgl˛edem równi.
10. Punkt materialny o masie m znajduje si˛e na zboczu w kształcie paraboli y = ax2 . Współczynnik tarcia statycznego jest równy f . Znaleźć maksymalna˛ wysokość hmax , na której punkt
b˛edzie pozostawał w spoczynku.
11. Na gładkim stole leży sznur, 41 długości sznura zwisa pionowo w dół. Znaleźć czas, po którym
cały sznur spadnie ze stołu, jeżeli w chwili t = 0 jego pr˛edkość jest równa zeru, a całkowita
długość sznura wynosi l.
12. Na szczycie równi pochyłej o kacie
˛ nachylenie α do podstawy umocowany jest blok, przez
który przerzucono nić, do końców której przymocowane sa˛ masy m i M (tak jak pokazano na
Rys. 5). Prosz˛e obliczyć przyspieszenie mas i sił˛e napi˛ecia nici. Współczynnik tarcia mi˛edzy
równia˛ a klockiem M wynosi µ. Prosz˛e zaniedbać mas˛e nici i bloczka oraz założyć, że masa
m opada w dół.
13. Jak jest graniczna pr˛edkość spadku swobodnego w przypadku oporów powietrza proporcjonalnych do: a) v, b) v 2 oraz c) v n ?
14. Ciało zsuwa si˛e z równi pochyłej bez oporów i wpada do pierścienia o promieniu R. Z jakiej najmniejszej wysokości powinno si˛e zsunać
˛ ciało, aby mogło zatoczyć pełen okrag
˛ bez
oderwania si˛e od pierścienia?
15. Ze szczytu półkuli o promieniu R zsuwa si˛e (bez tarcia) punkt materialny o masie m. W którym
miejscu punkt oderwie si˛e od półkuli? Jak zmieni si˛e sytuacja w obecności siły tarcia?
PFG