„Silny” efekt magistrali w modelu dynamiki ekonomicznej typu Gale`a

PRZEGLĄD STATYSTYCZNY
R. LXII – ZESZYT 2 – 2015
EMIL PANEK1
„SILNY” EFEKT MAGISTRALI W MODELU DYNAMIKI EKONOMICZNEJ
TYPU GALE’A. ZAGADNIENIE WZROSTU DOCELOWEGO
(AUTOPOPRAWKA)
W artykule Panek (2013) sformułowanie lematu 1 jest nieścisłe i wymaga korekty.
W konsekwencji w kilku miejscach konieczna jest także korekta dowodu twierdzenia 3. Treść twierdzenia, w tym teza, pozostaje bez zmian. Za powstałe uchybienie
przepraszam Czytelników i Redakcję.
Poniżej przedstawiam poprawioną wersję lematu oraz twierdzenia z naniesionymi
korektami. Ich zrozumienie wymaga sięgnięcia do oryginalnego tekstu.
***
Przy dowodzie „silnego” twierdzenia o magistrali (twierdzenie 3) korzystamy
z wynikającej z ciągłości funkcji α następującej własności dopuszczalnych procesów
[
produkcji: Jeżeli struktura nakładów
w procesie (x,y) ∈ Z jest dostatecznie „bliska”
[
struktury magistralnej V , wówczas z nakładów tych możliwe jest wytworzenie produkcji y ∈ N z technologiczną efektywnością dowolnie bliską optymalnej efektywności
αM. Mówi o tym następujący lemat.
□ Lemat 1
‫ܵ א ݏ׊‬ାା ሺͳሻ‫ߪ׌‬ሺ‫ݏ‬ሻ ‫ א‬ሺͲǡͳሿ‫ א ߜ׊‬ሺͲǡ ߙெ ሻ‫ ߝ׌‬ᇱ ൐ Ͳ
ሺԡ‫ ݏ‬െ ‫ݏ‬ҧԡ ൏ ߝ ᇱ ฺ ሺ‫ݏ‬ǡ ߪሺ‫ݏ‬ሻߙெ ‫ݏ‬ҧ ሻ ‫ܸ א‬ሺͳሻ ˄ ߙሺ‫ݏ‬ǡ ߪሺ‫ݏ‬ሻߙெ ‫ݏ‬ҧሻ ൒ ߙெ െ ߜሻ,
gdzie: 6 1
^[ ! _
[
` oraz 9 ^ [ \  = _
[
`.
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej, Katedra
Ekonomii Matematycznej, al. Niepodległości 10, 60-967 Poznań, Polska, e-mail: [email protected].
254
Emil Panek
Dowód. Najpierw pokażemy, że
V  6 V  VVD0 V 9 .
(*)
Ponieważ V ! , więc V  6 ‫ߣ׌‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‹ሼߣȁߣ‫ݏ ؤ ݏ‬ҧሽ . Oczywiście, ߣሺ‫ݏ‬ሻ ൒ ͳ
(gdyż ԡ‫ݏ‬ҧԡ ൌ ͳ ). Z własności procesu optymalnego (zob. (1), (4)) wynika, że
V D 0 V  9  = . Wtedy, zważywszy na własność (III) przestrzeni produkcyjnej Z,
otrzymujemy:
O V V D 0 V  = czyli VV VD 0 V 9 ,
gdzie V V
O V
jest ciągłą funkcją z ܵାା ሺͳሻ do (0,1], ߪሺ‫ݏ‬ҧ ሻ ൌ ͳ.
Funkcja α jest nieujemna i ciągła na V(1) oraz
PD[ D [ \ D 0
[ \ 9 D V D 0 V ,
więc
‫ א ߜ׊‬ሺͲǡ ߙெ ሻ‫ ߝ׌‬ᇱ ൐ Ͳሺԡ‫ ݏ‬െ ‫ݏ‬ҧԡ ൏ ߝ ᇱ ฺ ߙሺ‫ݏ‬ǡ ߪሺ‫ݏ‬ሻߙெ ‫ݏ‬ҧ ሻ ൒ ߙெ െ ߜሻ.
Z (*), (**) wynika teza lematu.
(**)
■
„Silne” twierdzenie o magistrali głosi, że niezależnie od długości horyzontu T
wszystkie (y0,t1, S ) optymalne procesy wzrostu przebiegają w dowolnie bliskim otoczeniu magistrali N wszędzie za wyjątkiem co najwyżej ich pewnej (skończonej) liczby
na początku i pod koniec horyzontu. Im dłuższy jest horyzont gospodarki T, tym
dłużej, w środkowej fazie, optymalny proces wzrostu przebiega w bliskim otoczeniu
magistrali. Istotną rolę gra warunek (VI).
□ Twierdzenie 3 („Silne” twierdzenie o magistrali)
W
Weźmy (y0,t1, S ) optymalny proces \ W W . Jeżeli spełnione są warunki (I) – (VI), to
^
H ! N  1
`
§ \ W ·
W ! N ‫߳ݐ׊‬ሼ݇ǡ ݇ ൅ ͳǡ ǥ ǡ ‫ݐ‬ଵ െ ݇ሽ ¨ V H ¸.
¨ \ W ¸
©
¹
Dowód. Wybierzmy liczbę ε > 0. Niech liczba δ(ε) ∈ (0,αM) spełnia warunek (7).
Weźmy liczbę δ ∈ (0,δ(ε)) oraz odpowiadającą jej liczbę ε' ∈ (0,ε) z lematu. Zgodnie ze
„słabym” twierdzeniem o magistrali istnieje taka liczba naturalna kε', że jeżeli t1 > kε', to
„Silny” efekt magistrali w modelu dynamiki ekonomicznej typu Gale’a. Zagadnienie wzrostu docelowego
\ W \ W 255
(21)
V H
dla co najmniej jednego t ∈ T = {0,1,…,t1}. Niech t1 > 2kε' oraz τ1 będzie pierwszym,
a τ2 ostatnim okresem horyzontu T = {0,1,…, t1}, w którym zachodzi warunek (21).
W świetle lematu
§ \ W ·
¨
¸  9 ,
V
D
V
0
¨ \ W ¸
©
¹
czyli
\ W UV D V  = ,
0
gdzie V V V W , V W a
\ W \ W \ W , U
\ W ! . Wówczas proces
GOD W W GOD W W W
­ \ W ® W W
¯UV D 0 V ^
`
W
jest (y0, t1) dopuszczalny oraz z definicji optymalnego procesu \ W W :
\ W ²
¢ S \ W ² t ¢ S a
UV D 0W W ¢ S V ².
(22)
Niech k' będzie liczbą okresów między τ1, τ2, w których
\ W V tH.
\ W Z (2), (7), (10) otrzymujemy:
W W
W W N ¢ S \ W ² d D 0 G H D 0 D 0 G H N ¢ S \ W ².
Łącząc (22), (23) dochodzimy do nierówności
UV D 0W W ¢ S V ² d D 0 G H W W D 0W W N D 0 G H N ¢ S \ W ² ,
lub inaczej:
N
§ D 0 G H ·
§
·
D0
¨¨
¸¸ t ¨¨
¸¸
D0
©
¹
© D 0 G H ¹
W W UV ¢ S V ²
.
¢ S \ W ²
(23)
256
Emil Panek
\ W , można zapisać w równo\ W Nierówność powyższą, po podstawieniu V W ważnej postaci:
N
§ D 0 G H ·
§
·
D0
¨¨
¸¸ t ¨¨
¸¸
D0
©
¹
© D 0 G H ¹
Zgodnie z lematem:
W W V ¢ S V ²
,
¢ S V W ²
(24)
D D V W V D 0 V t D 0 G ,
zatem D V W d V D 0 V oraz D 0 G V W d V D 0 V . Wówczas:
D 0 G ¢ S V W ² d V D 0 ¢ S V ² ,
czyli
V ¢ S V ² D 0 G
.
t
¢ S V W ²
D0
Stąd i z (24) dostajemy:
W W N
§ D 0 G H ·
§
·
D0 G
D0
.
¨¨
¸¸ t ¨¨
¸¸
D0
D
D
G
H
0
©
¹
© 0
¹
Pamiętając, że 0 < δ(ε') < δ(ε) < αM (gdyż 0 < ε' < ε i funkcja δ jest rosnąca; zob.
warunek (VI)) oraz δ ∈ (0, δ(ε)) i t1 – τ1 ≥ 0, dochodzimy do nierówności:
N
§ D 0 G H ·
§
·
D0
¨¨
¸¸ ! ¨¨
¸¸
D0
©
¹
© D 0 G H ¹
N W W D 0 G H ,
D0
N § D G H ·
¸¸ ! lub (równoważnie) D 0 G H ! D 0N .
czyli ¨¨ 0
D
0
©
¹
Jedyną nieujemną liczbą całkowitą spełniającą ten warunek jest k' = 0. W charakterze
liczby k o której mowa w tezie twierdzenia, można przyjąć k = kε'.
■
LITERATURA
Panek E., (2013), „Silny” efekt magistrali w modelu dynamiki ekonomicznej typu Gale’a. Zagadnienie
wzrostu docelowego, Przegląd Statystyczny, 60 (4), 448–458.
„Silny” efekt magistrali w modelu dynamiki ekonomicznej typu Gale’a. Zagadnienie wzrostu docelowego
257
„SILNY” EFEKT MAGISTRALI W MODELU DYNAMIKI EKONOMICZNEJ TYPU GALE’A.
ZAGADNIENIE WZROSTU DOCELOWEGO (AUTOPOPRAWKA)
Streszczenie
Artykuł zawiera korektę dowodu lematu oraz w konsekwencji „silnego” twierdzenia o magistrali
przedstawionych w pracy Panek (2013).
Słowa kluczowe: gospodarka Gale’a, równowaga von Neumanna, magistrala produkcyjna, „silne”
twierdzenie o magistrali
“STRONG” TURNPIKE EFFECT IN THE GALE ECONOMIC DYNAMICS MODEL.
FINITE STATE GROWTH PROBLEM (AUTHOR’S OWN CORRECTION)
Abstract
The article contains a correction of lemma 1 proof and the consequently “strong” turnpike theorem
3 as presented in the work by Panek (2013).
Keywords: Gale economy, von Neumann equilibrium, production turnpike, “strong” turnpike
theorem