XVIII Konkurs Matematyczny o Puchar Dyrektora V LO w Bielsku

XVIII Konkurs Matematyczny
o Puchar Dyrektora V LO w Bielsku-Białej
3 grudnia 2015 r.
eliminacje
czas: 105 minut
Przed Tobą test składający się z 25 zadań. Do każdego zadania podano cztery
odpowiedzi, z których co najmniej jedna jest prawdziwa. Twoim zadaniem jest wypełnienie tabeli odpowiedzi wpisując T lub N w zależności od
tego czy odpowiedź jest prawdziwa, czy fałszywa.
We wszystkich zadaniach za każdą prawidłową odpowiedź otrzymasz 3 punkty,
za brak odpowiedzi 0 punktów, za złą odpowiedź zostanie Ci odjęty 1 punkt.
UWAGA! Jeżeli w zadaniu udzielisz cztery odpowiedzi N albo trzy odpowiedzi N i jednocześnie nie udzielisz odpowiedzi T, otrzymasz za to zadanie minus
12 punktów.
Powodzenia!
Przykład wypełniania karty odpowiedzi.
1. Liczba osi symetrii trójkąta może być równa:
a) 0,
b) 1,
c) 2,
√
√ √
√ 2. Iloczyn 2 6 − 5 3 5 − 2 6 wynosi:
√
√
√
a) 8 30 − 39,
b) 8 30 + 9,
c) 4 30 − 39,
Nr
zad. a)
1.
2.
T
T
Odpowiedzi
b)
c)
d)
T
N
N
N
T
N
d) 3.
√
d) 8 30 .
Punkty
Treści zadań
1. Strony książki, którą obecnie czyta Ania, ponumerowano tradycyjnie rozpoczynając od numeru 1 na jej stronie tytułowej. Ania otworzyła tę książkę
w ulubionym miejscu i dodała numery dwóch widocznych stron. Jako wynik
mogła otrzymać liczbę:
a) 33;
b) 39;
c) 309;
d) 323.
3
7
wszystkich monet. Drugi wziął 51% pozostałych, po czym trzeciemu zostało
o 8 monet mniej, niż wziął drugi. Ile monet dzielili między sobą ci trzej piraci?
2. Trzech piratów dzieliło między sobą zdobyte monety. Pierwszy zabrał
a) 560;
b) 630;
c) 700;
—1—
d) 770.
3. Dodatnia liczba x jest 5 razy większa od liczby y. Liczba x5 jest k razy
większa od liczby y 5 . Jest to prawdą dla:
a) k = 5;
b) k = 53 ;
c) k = 55 ;
d) k = 57 .
4. Wszystkie liczby całkowite od 1 do 7 wpisano w pola poniższego diagramu
tak, że działania przedstawione na nim są wykonalne.
Zatem:
a) A + B = 11;
b) B + C = 10;
c) C + D = 5;
d) D + A = 5.
5. Marta uzyskała z testu 90% możliwych punktów do zdobycia, a Wojtek
tylko 85% możliwych punktów do zdobycia. Liczby punktów jakie uzyskali
Marta i Wojtek różniły się o 2. Jaką liczbę punktów w tym teście uzyskał
Maciek, który uzyskał zaledwie 47,5% możliwych punktów do zdobycia?
a) 18;
b) 19;
c) 20;
d) 21.
6. Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD. Punkt P
) BP C = 90◦ ,
jest środkiem ramienia AD danego trapezu. Jeżeli BC = 2 oraz <
to obwód trapezu ABCD jest równy:
a) 6;
b) 7;
c) 8;
d) nie da się go wyznaczyć.
7. Suma dwóch liczb pierwszych jest równa 33. Iloczyn tych dwóch liczb
pierwszych wynosi:
a) 33;
b) 62;
c) 124;
d) 186.
8. Rozpatrujemy liczby postaci an = |2015 2015 2015{z . . . 2015 2015},
n-krotnie powtórzona liczba 2015
np. a1 = 2015, a2 = 2015 2015, a4 = 2015 2015 2015 2015.
Liczbą podzielną przez 9 jest liczba:
a) a3 ;
b) a9 ;
c) a27 ;
d) a33 .
9. Liczba par (m, n) dodatnich liczb całkowitych spełniających nierówności
m2 < n ¬ 9 jest równa:
a) 11;
b) 13;
c) 15;
d) 17.
10. Dany jest trójkąt ABC, w którym <) BAC = 30◦ . Na boku AC tego trój) ABD = 20◦ , a na boku AB taki punkt E,
kąta wybrano taki punkt D, że <
że odcinki BD i CE są prostopadłe. Wówczas:
) ACE = 40◦ ;
a) <
) AEC = 120◦ ; c) <
) ADB = 130◦ ; d) <
) BDC = 60◦ .
b) <
—2—
11. Istnieje liczba naturalna o sumie cyfr równej 55, podzielna przez:
a) 2;
b) 4;
c) 6;
d) 8.
12. Dany jest taki równoległobok ABCD, w którym AB = 2 · AD oraz
<
) BAD = 60◦ . Punkty M i N , które są spodkami wysokości poprowadzonych
z wierzchołków D i B, leżą odpowiednio na bokach AB i CD tego równoległoboku. Ponadto punkt P jest środkiem boku AB. Prawdą jest, że:
a) AM = CN ;
b) M N = 2 · DM ;
) BAD = 2 · <
) ABD;
c) <
d) BD = CP .
13. Wysokość prostopadłościennego pokoju jest równa 3 m. Podczas remontu tego pokoju okazało się, że na jednokrotne pomalowanie dowolnej jego
ściany należy zużyć więcej farby niż przy takim samym malowaniu jego prostokątnego sufitu. Pole powierzchni sufitu tego pokoju może być równe:
a) 7 m2 ;
b) 8 m2 ;
c) 9 m2 ;
d) 10 m2 .
14. Zapis dziesiętny liczby 77! = 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · 75 · 76 · 77 ma na końcu:
a) 15 zer;
b) 16 zer;
c) 18 zer;
d) 24 zera.
15. Sześcian o krawędzi długości 2 wpisany jest w sferę o promieniu r. Wówczas:
a) r > 1;
b) r >
3
;
2
c) r > 2;
d) r >
5
.
2
16. W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a i b dwusieczna
kąta prostego ma długość:
√
ab
ab 2
a) √
;
b)
;
a+b
2 (a + b)
√
(a + b) 2
c)
;
ab
d)
2ab
√ .
(a + b) 2
17. Równość xy = x + y jest spełniona przez liczby:
4
b) x = 4 i y = ;
3
√
√
d) x = 3 i y = 3 + 3 .
a) x = 2 i y = 2;
√
√
c) x = 2 i y = 2 + 2 ;
18. Duży prostokąt został podzielony na 9 przystających mniejszych prostokątów (zobacz rysunek
po prawej). Pole dużego prostokąta jest równe 504.
Obwód dużego prostokąta wynosi:
a) 92;
b) 138;
c) 164;
d) 184.
19. Dla ilu liczb n ze zbioru {1, 2, 3, . . . , 65, 66} liczba n3n jest kwadratem
liczby całkowitej?
a) 33;
b) 37;
c) 40;
—3—
d) 66.
20. Różne liczby rzeczywiste a i b spełniają równość a −
te spełniają również równość:
1
1
+ = 1;
a
b
c) ab = a + b + 1;
a
b
= b − . Liczby
b
a
b) (a − 1)(b − 1) = 1;
a)
d) (a2 − 1)(b2 − 1) = 1 + 2ab.
21. Z kilku jednakowych kostek sześciennych o krawędzi 5 cm Filip ułożył
bryłę, której widoki z przodu, z góry i boku przedstawione są na rysunku
poniżej.
widok z przodu
widok z góry
widok z boku
Objętość bryły zbudowanej przez Filipa wynosi:
a) nie da się tego
wyznaczyć.
b) 750 cm3 ;
c) 875 cm3 ;
d) 1000 cm3 ;
22. W jaskini pod górą Klimczok śpi straszny potwór. Kiedy jest głodny,
budzi się i pożera tyle owiec ile wynosi suma cyfr roku, w którym się obudził.
Następnie zapada w sen na tyle lat, ile zjadł owiec. Wiadomo, że potwór
obudził się 1 grudnia 1422 roku. Potwór ten również obudził się w roku:
a) 1449;
23. Liczba
q
A=
b) 1458;
c) 2000;
d) 2015.
(2015 + 2015) + (2016 − 2016) + (2015 · 2015) + (2016 : 2016)
jest równa:
√
a) 2015 ;
b)
√
2016 ;
c) 2015;
d) 2016.
24. Dodatnie liczby całkowite a i b spełniają równość ab = a + b + 22. Liczby
a i b spełniają też związek:
a) 24(a + b) = 13ab;
c) (a + 1)(b + 1) = 75;
b) a + b = 25;
d) ab < 50.
25. W trójkącie prostokątnym ABC, o kącie prostym przy wierzchołku C,
środkiem boku AB jest punkt M . Okrąg o środku O i średnicy AC przecina
bok AB w takim punkcie K, że AK : KB = 1 : 3. Wówczas:
a) AB = 2 · AC;
c) BC = 3 · AC;
) BM C = 120◦ ;
b) <
) KOC = 120◦ .
d) <
—4—