Zadania kwalifikacyjne

Zadania kwalifikacyjne
1.
Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i prawej) po jednym pudeªku zapaªek.
Ilekro¢ chce zapali¢ papierosa, si¦ga do losowo wybranej kieszeni. Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo, »e gdy po raz pierwszy wyci¡gnie puste pudeªko, w drugim b¦dzie
k
zapaªek. W chwili pocz¡tkowej matematyk ma dwa peªne pudeªka z
m
zapaªkami
w ka»dym.
2.
Dwie osoby rzucaj¡ po
n razy symetryczn¡ monet¡.
Znale¹¢ prawdopodobie«stwo,
»e ka»da z nich otrzyma tak¡ sam¡ liczb¦ orªów.
3.
Gracz startuje z kapitaªem
orzeª wygrywa
k.
W ka»dej rundzie rzuca monet¡, je»eli wypadnie
1, w przeciwnym razie traci 1. Gracz ko«czy gr¦,
n lub zbankrutuje. Oblicz prawdopobobie«stwo
kapitaªem n.
osi¡gnie poziom
przez gracza z
4.
gdy jego kapitaª
zako«czenia gry
Policja w Nowym Yorku próbuje zªapa¢ przest¦pc¦ znajduj¡cego si¦ w punkcie
Obstawiªa cz¦±¢ ulic, ale nie wszystkie. Przest¦pca w ka»dym kroku porusza si¦ losowo (tzn.
z prawdopobobie«-
stwem
1/4 w ka»dym z mo»liwych kierunków). Je»eli wpadnie na policj¦ • zostaje zªapany, je»eli dotrze do jednego z
pól ◦ ucieka. Oblicz prawdopobobie«stwo, »e uda mu si¦
uciec.
5.
Alicja i Bill rzucaj¡ symetryczn¡ monet¡ tak dªugo,
a» wypadnie
OOR
lub
ORR.
Alicja wygrywa, gdy wzorzec
OOR wypadnie jako pierwszy, natomiast Bill, gdy wypadnie
ORR. Oblicz prawdopobobie«stwo, »e gr¦ wygra Alicja.
(Uwaga: jest ono ró»ne od 1/2).
1
⊗
⊗.