Rozwiązania zadań

Nie licz, że będzie łatwo
π }K
czyli dzień liczby π w Galerii M{π
14.03.2010
Zadanie 1.
„W zaciętej bitwie 70 spośród 100 piratów straciło jedno oko, 75 — jedno ucho, 80 — jedną
rękę i 85 — jedną nogę. Jaka jest najmniejsza liczba piratów, którzy jednocześnie stracili oko,
ucho, rękę i nogę?”
Zadanie to zawdzięczamy znanemu pisarzowi literatury dziecięcej, Lewisowi Carrolowi, autorowi Alicji w krainie czarów. Jest rzeczą ciekawą, że pod pseudonimem Lewis Carrol ukrywał
się matematyk C. L. Dodgson.
Rozwiązanie: Oznaczmy przez O zbiór piratów, którzy stracili jedno oko, przez U zbiór piratów, którzy stracili jedno ucho, przez R zbiór piratów, którzy stracili jedną rękę, a przez N
zbiór piratów, którzy stracili jedną nogę.
Interesuje nas oszacowanie liczby elementów zbioru A = O ∩ U ∩ R ∩ N . Cały zbiór piratów
P składa się z interesującego nas zbioru A oraz z tych piratów, którzy w bitwie zachowali dwoje
oczu (jest to dopełnienie zbioru O czyli zbiór O 0 ), albo dwoje uszu (dopełnienie U czyli U 0 ),
albo dwie ręce (dopełnienie R czyli R0 ) albo dwie nogi (dopełnienie N czyli N 0 ). Zatem
P = O 0 ∪ U 0 ∪ R0 ∪ N 0 ∪ A.
Stąd wynika, że liczba elementów zbioru P jest nie mniejsza niż suma elementów zbiorów O 0 ,
U 0 , R0 , N 0 i A (byłaby jej równa, gdyby zbiory O 0 , U 0 , R0 i N 0 parami nie przecinały się). Liczba
elementów zbioru O 0 jest równa 30 (100 − 70), liczba elementów zbioru U 0 jest równa 25, liczba
elementów zbioru R0 jest równa 20, natomiast liczba elementów zbioru D 0 jest równa 15, więc
otrzymujemy
100 ¬ 30 + 25 + 20 + 15 + A,
gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A. Stąd
A ­ 10
czyli w bitwie co najmniej 10 piratów straciło jednocześnie oko, ucho, rękę i nogę.
Nie licz, że będzie łatwo
π }K
czyli dzień liczby π w Galerii M{π
14.03.2010
Zadanie 2.
W kwadrat o boku π wpisano okrąg oraz opisano na nim okrąg. Pole którego obszaru jest
większe: czerwonego (Pc ) czy zielonego (Pz )? Odpowiedź uzasadnić.
Pc
Pz
π
PSfrag replacements
π
Rozwiązanie: Promień koła wpisanego jest równy r = π2 , a więc jego pole wynosi
Pw = π r 2 =
Natomiast promień koła opisanego jest równy R =
1 3
π .
4
√
2
2
π, czyli jego pole
1 3
π .
2
Pole czerwonej figury możemy obliczyć jako różnicę pola koła opisanego i pola kwadratu, natomiast pole zielonej figury jako różnicę pola kwadratu i pola koła wpisanego, mamy:
Po = π R 2 =
1
1
Pc = P o − P k = π 3 − π 2 = π 2
π−1 ,
2
2
1 3
1
2
2
Pz = P k − P w = π − π = π 1 − π .
4
4
Policzmy teraz różnicę powyższych pól:
Pc − P z = π
2
1
1
1
3
1
π − 1 − π2 1 − π = π2
π − 1 − 1 + π = π2
π − 2 > 0,
2
4
2
4
4
gdzie nierówność wynika stąd, że
3
3
π − 2 > 0 ⇐⇒
π > 2 ⇐⇒ 3 π > 8,
4
4
a ta ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa.
Ostatecznie uzasadnia to, że czerwone pole jest większe od zielonego (bo, że tak jest to już
widać z samego rysunku).