Uwagi do artykułu „Teoria mocy pq - poprawna teoria czy użyteczny

Leszek S. CZARNECKI
Department of Electrical and Computer Engineering, Louisianan State University, Baton Rouge, USA
Uwagi do artykułu
„Teoria mocy p-q - poprawna teoria czy użyteczny algorytm
sterowania kompensatorów kluczujących”
Streszczenie. W artykule analizowana jest poprawność wniosków artykułu „Teoria mocy p-q - poprawna teoria czy użyteczny algorytm
sterowania kompensatorów kluczujących”, opublikowanego w Przeglądzie Elektrotechnicznym, R. 82 Nr. 6/2006. Pokazano, że
większość wniosków przedstawionych w analizowanym artykule nie jest poprawna. Odnosi się to do możliwości momentalnej identyfikacji odbiorników trójfazowych oraz relacji między wynikami otrzymanymi w dziedzinie czasowej i częstotliwościowej. Pokazano też, że
wadą teorii mocy chwilowej p-q, są nie tyle błędne nazwy wielkości, na których jest oparta, lecz brak fizycznych podstaw tej teorii.
Abstract. Correctness of conclusions drawn in the paper “Instantaneous reactive power p-q theory: a right power theory or a useful
control algorithm of switching compensators” published in Przegląd Elektrotechniczny, R. 82 Nr. 6/2006, is analyzed in this paper. It is
shown that conclusions of that paper are not right. This refers mainly to the possibility of instantaneous identification of three-phase
loads. It is shown as well, that the lack of physical fundamentals is the main drawback of that theory rather than not correctly selected
names of the main quantities the theory is based on.
Słowa kluczowe: teoria chwilowej mocy biernej p-q, definicje mocy, fizyczna interpretacja mocy
Keywords: instantaneous reactive power p-q theory, power definitions, physical interpretation of reactive power
Wstęp
Autorom artykułu „Teoria mocy p-q - poprawna
teoria czy użyteczny algorytm sterowania kompensatorów kluczujących” można pogratulować postawienia
bardzo ważnego pytania dotyczącego sensu koncepcji
teorii chwilowej mocy biernej (CMB) p-q, mianowicie
pytania, czy usprawiedliwione jest traktowanie tej koncepcji jako teorii mocy, czy tylko jako podstawy algorytmu
generowania sygnału odniesienia kompensatorów kluczujących. Niestety, artykuł ten odpowiedzi na powyższe
pytanie nie udziela, lub też jego autorzy wyciągają niczym
nie uzasadnione, niekiedy nawet wzajemnie sprzeczne
wnioski, deformujące rolę teorii CMB p-q w elektrotechnice.
Ponieważ poprawna odpowiedź na postawione przez
Autorów pytanie jest ważna dla poprawnej interpretacji
zjawisk energetycznych w systemach elektrycznych oraz
dla sterowania kompensatorów kluczujących, Czytelnik nie
powinien być pozostawiony z wnioskami przedstawionymi
w artykule [1], szczególnie, że nie reprezentują one obecnego stanu wiedzy o teorii chwilowej mocy biernej p-q i jej
domniemanej roli jako teoria mocy.
Autorzy artykułu [1] wielokrotnie komentują wnioski
przedstawione przez autora w monografii [21], niestety,
często je deformując lub podważając domniemane tezy,
których tam po prostu nie ma. Na przykład, piszą: „Tezą
tych przykładów (w monografii [21]) było wykazanie, że
teoria p-q nie może być uważana za teorię mocy, gdyż
dostarcza informacji sprzecznych z dotychczas stosowanym podejściem częstotliwościowym”. Jednak w pracy
[21] takiej tezy nie ma. Analizowane tam przykłady pokazują jedynie, że teoria CMB p-q błędnie interpretuje
właściwości energetyczne obwodów trójfazowych oraz to,
że właściwości odbiornika nie mogą być identykowane
momentalnie. Pytanie, czy może być ona traktowana jako
teoria mocy nie jest tam wogóle postawione.
Teoria mocy a „jakość energii”
Wstęp omawianego artykułu sugeruje Czytelnikowi, że
zainteresowanie rozwojem teorii mocy i związane z tym
rozwojem kontrowersje wynikają z potrzeby poprawy
„jakości energii”. Czy tak jest rzeczywiście?
To, co potocznie określa się jako „jakość energii”, a w
istocie jest jakością zasilania, to jest stałość częstotliwości
napięcia i jego wartości skutecznej, symetria napięć
fazowych czy brak odkształceń, ma niewiele wspólnego z
teorią mocy. Podobnie niewiele wspólnego z teorią mocy
mają czynniki określające jakość odbioru energii, takie jak
symetria i stałość wartości skutecznej prądów zasilania
odbiornika, jego liniowość czy stacjonarność.
Od teorii mocy oczekuje się jednak tego, aby była w
stanie poprawnie opisać system elektryczny i wyjaśniać
zjawiska energetyczne w warunkach ograniczonej jakości
zasilania i ograniczonej jakości odbioru. Oczekuje się
także, aby dostarczała teoretycznych podstaw kompensacji, a więc poprawy jakości odbioru lub/oraz poprawy
jakości zasilania.
Prace Fryzego [2] , Shepherda [3], Kustersa [4] czy
Depenbrocka [5], a także liczne polemiki dotyczące teorii
mocy obwodów elektrycznych, wskazują na to, że od teorii
mocy oczekuje się o wiele więcej, niż tylko tworzenia
teoretycznych podstaw dla algorytmu generowania sygnału odniesienia kompensatorów kluczujących, poprawiających jakość odbioru lub/oraz jakość zasilania. Ma
ona przede wszystkiem:
(i) wyjaśniać zjawiska fizyczne towarzyszące przesyłowi
energii elektrycznej,
(ii) definiować wielkości energetyczne, użyteczne dla
opisu przesyłu energii i wymiarowania urzędzeń,
(iii) tworzyć teoretyczne podstawy dla pomiarów energetycznych,
(iv) tworzyć teoretyczne podstawy dla oceny skuteczności
przesyłu energii,
(v) tworzyć podstawy dla poprawy współczynnika mocy,
(vi) tworzyć podstawy dla poprawy jakości odbioru i poprawy jakości zasilania,
(vii) tworzyć teoretyczne podstawy rozliczeń energetycznych.
Tak więc, motywy rozwoju teorii mocy są znacznie
głębsze, niż by to wynikało z omawianego artykułu.
CMB p-q: teoria mocy czy algorytm sterowania?
Aby móc poprawnie ocenić teorię CMB p-q, trzeba
zacząć od określenia jej miejsca w elektrotechnice, to jest
od odpowiedzi na postawione przez Autorów artykułu [1]
pytanie, czy teoria ta jest teorią mocy czy też tylko algorytmem generowania sygnału odniesienia kompensatora
kluczującego?
Twórcy teorii CMB p-q, Nabae i Akagi, przedstawiali ją
[6] jako teorię mocy, prawdziwą w dowolnych warunkach
obwodowych. Podobnie, jako teoria mocy traktowana jest
teoria CMB p-q w pracach [7-14]. Takie traktowanie ma
jednak wyłącznie charakter deklaracji a nie dowodu, że
teoria CMB p-q spełnia zestawione powyżej (i)-(vii)
oczekiwania, a przynajmniej, pewne z pośród nich.
Teoria CMB p-q może dostarczać pożyteczne wyniki w
odniesieniu do pozycji (v) i (vi). Jednak i w tym przypadku
odnosi się to tylko do kompensatorów kluczujących. Jest
ona bezużyteczna przy projektowaniu czy sterowaniu
kompensatorów lub filtrów reaktancyjnych, a są to przecież także urządzenia poprawiające współczynnik mocy,
czy jakość odbioru energii, a więc są one przedmiotem
zainteresoania teorii mocy.
Tak więc, jeśli teorię CMB p-q mamy traktować jako
teorię mocy, to mamy prawo oczekiwać, że przynajmniej w
części spełnia postulaty (i) – (vi). Tak jednak nie jest.
Teoria CMB p-q nie jest więc teorią mocy.
Pomimo tego, autorowi niniejszych uwag nie jest
znana żadna publikacja, poza artykułem T. Piotrowskiego
[15], w której podważanoby lub kwestionowano sens teorii
CMB p-q jako teori mocy. Dlatego nie sposób zgodzić się
ze stwierdzeniem Autorów [1]: „..użycie w jej nazwie słów
„teoria mocy” uważane jest przez wielu naukowców za
nadużycie”. Ponieważ jednak liczba artykułów dotyczących CMB p-q, jest rzędu tysiąca, opinie takie, być może
były rzeczywiście gdzieś publikowane i są Autorom omawianej pracy znane. Szkoda jedynie, że brak do nich
odnośników.
Wydaje się, że jedyna dogłębna analiza teorii CMB p-q
jako domniemanej teorii mocy, została przeprowadzona
przez autora niniejszych uwag i opublikowana w Polsce
[16, 17] w Niemczech [18] i w USA [19, 20]. Monografia
[21], na którą powołują się Autorzy [1], poza bibliotekami
uniwersyteckimi, nie jest raczej dostępna.
Tak więc, teoria CMB p-q jest niczym innym, jak tylko
podstawą teoretyczną algorytmu generowania sygnału
odniesienia kompensatorów kluczujących. Tak też traktuje
tę teorię przytłaczająca większość poświęconych jej artykułów.
Autorzy artykułu [1] słusznie zauważają, że teoria CMB
p-q „pozwala na opracowanie prostych i efektywnych
układów sterowania...” kompensatorów kluczujących. Ale
jednocześnie, liczne prace, sygnalizowane także w artykule [1], pokazują, że teoria ta nie we wszystkich warunkach umożliwia generowanie sygnału odniesienia. To
właśnie spowodowało pojawienie się innych algorytmów
sterowania kompensatorów kluczujących, w szczególności, algorytmu opartego na koncepcji tzw. synchronous
reference frame. Zatem teoria CMB p-q, nawet jako
algorytm sterowania, nie do końca spełnia oczekiwania.
CMB p-q a momentalna identyfikacja odbiornika
Jedną z ważniejszych przyczyn atrakcyjności teorii
CMB p-q było, wyrażane już przez jej twórców przekonanie, że może ona umożliwiać momentalną generację
sygnałów kontrolnych kompensatora. Przekonanie to
wynikało z zapewnienia Nabae’a i Akagiego [6], jeszcze w
dziesięć lat po zaproponowaniu tej koncepcji, że jej opracowanie było odpowiedzią na potrzebę momentalnej kompensacji mocy biernej (ang. „....the demand to instantane-
ously compensate the reactive power...”).
Rzeczywiście, chwilowa moc czynna p oraz bierna q
mogą być obliczone z nieznacznym tylko opóźnieniem,
spowodowanym próbkowaniem, konwersją analogowo
cyfrową próbek oraz kilku operacjami mnożenia i dodawania, niezbędnymi dla obliczenia ich wartości.
Jednak pomimo zapewnień Nabae’a i Akagiego, moc
bierna nie może być kompensowana momentalnie, gdyż
pojedyncza para wartości p i q nie dostarcza żadnej informacji o właściwościach energetycznych odbiornika. Pokazuje to analiza trzech, całkowicie odmiennych odbiorników trójfazowych, dla którch, pomimo ich odmienności,
istnieje taka chwila czasu t, w której para mocy (p, q) jest
identyczna.
Obwody te pokazane są na Rysunkach 1, 2 i 3. Ich
pełna analiza przedstawiona jest w artykułach [16, 17]
oraz w monografii [21].
Obwód 1.
Rys. 1. Obwód trójfazowy z odbiornikiem rezystancyjnym
Przy założeniu, że napięcie zailające w przedstawionym powyżej obwodzie jest sinusoidalne, symetryczne,
kolejności dodatniej, a napięcie fazy R ma przebieg
2 U cos ω1t,
uR =
wówczas moce chwilowe, p oraz q, mają wartość
p = uα iα + u β iβ =
3 U I [1 + cos 2(ω1t + 300 )] ,
q = uα iβ − u β iα = − 3 U I sin 2(ω1t + 300 ) .
W chwili, w której
2(ω1t + 300 ) = 900 ,
moce chwilowe są, z dokładnością do znaku, wzajemnie
równe, to jest
p = - q.
Obwód 2.
Rys. 2. Obwód trójfazowy z odbiornikiem indukcyjnym
Przy założeniach jak poprzednio
p = 3 U I cos (2ω1t − 300 ) ,
q = − 3 U I [1 + sin (2ω1t − 300 )] .
W chwili, w której
(2ω1t − 300 ) = 0,
podobnie jak poprzednio,
p = - q.
Obwód 3.
W takiej sytuacji nawet wtedy, gdy odbiornik jest zrównoważony, średnia wartość chwilowej mocy biernej q nie
jest ujemną mocą bierną Q odbiornika, lecz ma wartość
∞
q = − ∑ s Qn ,
n =1
gdzie współczynnik s, zwany indeksem kolejności, jest
równy
Rys. 3. Obwód trójfazowy z odbiornikiem LC
Przy założeniach jak poprzednio
p = 3U I cos (2ω1t − 600 ) ,
q = − 3U I sin (2ω1t − 600 ) .
W chwili, w której
(2ω1t − 600 ) = 450 ,
podobnie jak dla obu powyżej pokazanych obwodów,
p = - q.
Jak więc widać, odbiorniki w tych obwodach, całkowicie odmienne, są wzajemnie nierozróżnialne wtedy, gdy
znana jest tylko pewna para ich mocy chwilowych p i q.
Obserwacja ta podważa poprawość zapewnienia Nabae’a
i Akagiego o możliwośći momentalnej kompensacji mocy
biernej.
Sens fizyczny chwilowej mocy biernej q,
Chwilowa moc czynna p w teorii CMB p-q jest niczym
innym, jak tylko mocą chwilową odbiornika, to jest prędkością przepływu energii W ze źródła zasilania do
odbiornika,
p = dW/dt.
Nawet jeśli teoria CMB p-q nie może być uznana za
teorię mocy, to teoria taka byłaby niewątpliwie wzbogacona, gdyby chwilowa moc bierna q charakteryzowała
jakieś zjawisko energetyczne stowarzyszone z przepływem energii. Że tak jest rzeczywiście, zapewniali Nabae i
Akagi w artykule [6] pisząc: “Chwilowa moc urojona
(bierna), q, została wprowadzona w ten sam sposób, jak
konwencjonalna moc chwilowa...” (ang.: The instantaneous imaginary (reactive) power q was introduced on the
same basis as the conventional instantaneous real power
p in three-phase circuits….”).
Była to jednak jedynie niczym nie poparta dekleracja.
Pomimo prób [11], nie udało się zidentyfikować jakiegokolwiek zjawiska fizycznego mającego związek z chwilową
mocą bierną, q. Przyczyny tego zostały dopiero wyjaśnione przez autora tych uwag w artykule [19]. Pokazano w
nim, że w obwodach z przebiegami sinusoidalnymi oraz
symetrycznym napięciu zasilania moc ta związana jest z
dwoma niezależnymi zjawiskami, mianowicie, z przesunięciem prądu odbiornika względem napięcia zasilania oraz z
asymetrią tych prądów, to jest z mocą bierną Q oraz z
mocą niezrównoważenia D. W warunkach takich, chwilowa moc bierna w trójprzewodowym obwodzie trójfazowym
ma bowiem przebieg
q = − Q − D sin(2ω1t + ψ ) ,
gdzie ψ jest argumentem admitancji niezrównoważenia.
Tak więc, dopiero obserwacja chwilowej mocy biernej q w
ciągu całego okresu zmienności przebiegów (a jest to podstawowy element dziedziny częstotliwości) i użycie odpowiednich filtrów w celu wyodrębnienia wartości średniej i
przemiennej, umożliwia określenie właściwości energetycznych odbiornika. Wynik ten traci jednak ważność
wtedy, gdy napięcie zasilania jest niesinusoidalne.
⎧ 1 dla harmonicznych kolejnosci dodatniej
.
s⎨
⎩ −1 dla harmonicznych kolejnosci ujemnej
Taka suma nie ma oczywiście żadnego sensu fizycznego.
Ponadto, składowa przemienna chwilowej mocy biernej, q,
jest w takiej sytuacji różna od zera, chociaż nie ma w
obwodzie mocy niezrównoważenia, D.
Uwagi o wnioskach artykułu [1]
Autorzy artykułu [1] piszą we Wnioskach: „...nie można
się zgodzić z tezą przedstawioną w pracy [21], że teoria
pq nie umożliwia identyfikacji stanu energetycznego w
dowolnej chwili czasu”. Jednak w mojej monografii [21]
termin stan energetyczny w kontekście teorii pq nie jest
w ogóle użyty. Nie wiadomo zatem, z czym się Autorzy nie
zgadzają, gdyż takiej tezy tam nawet nie ma.
Można się jedynie domyślać, że Autorzy mieli na myśli
momentalną identyfikację właściwości energetycznych
odbiornika, ale analiza obwodów 1, 2 raz 3, wyjęta z tej
monografii, pokazuje właśnie niemożliwość takiej momentalnej identyfikacji.
Tak interpretowane pierwsze zdanie Wniosków jest
sprzeczne ze zdaniem następnym: „...Jest ona (identyfikacja momentalna) możliwa poprzez zastosowanie dodatkowych filtrów...”, gdyż filtry dostarczają wyników nie
wcześniej, niż po upływie jednego okresu zmienności
przebiegów. To zdanie po prostu potwierdza niemożliwość
identyfikacji momentalnej. Taki sam zresztą wniosek
wydaje się narzucać z analizy wyników symulacji, pokazanej na rysunkach 8-12. Jakkolwiek forma graficzna tych
rysunków i brak wyjaśnień utrudniają interpretację, nie
wydaje się, aby demonstrowały one możliwość momentalnej identyfikacji właściwości energetycznych odbiornika.
Wręcz przeciwnie, wiele okresów upływa zanim uzyskuje
się na przykład wartość mocy czynnej.
W trzecim zdaniu Wniosków Autorzy piszą: „...Kontrowersyjnym wydaje się również porównywanie wyników
otrzymanych w dziedzinie częstotliwości z wynikami otrzymanymi w dziedzinie czasu...” Jest to wniosek głęboko
błędny, gdyż z uwagi na równoważność, ze wzlędu na
przekształcenie Fouriera, dziedziny czasowej i dziedziny
częstotliwościowej, zgodność wyników otrzymanych w obu
tych dziedzinach jest bardzo mocnym narzędziem weryfikacji wyników w elektrotechnice. Ten wniosek Autorów
nie pasuje zresztą do poprzednich, gdyż w pierwszym
wniosku mówią o możliwości momentalnej identyfikacji (to
jest w dziedzinie czasowej) a w następnym, że potrzebny
jest do tego filtr, dostarczający wyników w dziedzinie częstotliwości.
Autorzy piszą: „...rozszerzenie teorii (pq) o definicje
odpowiadające wartościom otrzymanym w dziedzinie
częstotliwości, pozwoliłoby na zastosowanie teorii pq nie
tylko w układach sterowania...”. Biorąc pod uwagę to, że
trudna do przeliczenia liczba naukowców mozoli się od stu
lat nad budową teorii mocy, taka prosta recepta jak to
zrobić, nie wygląda przekonywująco.
Wniski Autorów odnoszą się w dużym stopniu do wyników analizy przedstawinej w monografii [21]. Ich wniosek:
„ujednolicenie nazewnictwa oraz rozszerzenie teorii ...pozwoliłoby na zastosowanie teorii pq....” sugeruje, że w za-
sadzie jest ona poprawna jako teoria mocy. Pomijają Oni
główny wniosek tej analizy, wyrażony w stwierdzeniu:
„...Najważniejszym brakiem teorii CMB p-q jest niedostrzeganie przez nią energetycznych skutków asymetrii
prądów zasilania i związanej z tym redukcji współczynnika
mocy. W teorii tej nie ma żadnej wielkości energetycznej,
jednoznacznie związanej z niezrównoważeniem odbiornika, pomimo że powiększa ono moc pozorną źródła
zasilania”. W swojej analizie pomijają fakt, że w obwodach
trójfazowych trójprzewodowych, nawet z sinusoidalnymi
przebiegami prądu i napięcia, trzy całkowicie odrębne zjawiska decydują o właściwościach energetycznych odbiornika i jego współczynniku mocy. Są to: stały przepływ
energii ze źródła do odbiornika i związana z tym przepływem moc czynna P; przesunięcie fazowe prądu
względem napięcia i związana z tym przesunięciem moc
bierna Q, oraz asymetria prądów zasilania i związana z tą
asymetrią moc niezrównoważenia D. Tymczasem do opisu tych trzech zjawisk teoria CMB p-q ma do dyspozycji
tylko dwie wielkości energetyczne, chwilową moc
czynną p i chwilową moc bierną q. Nie jest więc w stanie
taki obwód trójfazowy w sensie energetycznym opisać.
LITERATURA
[1] Pasko, M., Maciążek, M., Teoria mocy p-q - poprawna teoria
czy użyteczny algorytm sterowania kompensatorów kluczujących, Przegląd Elektrotechniczny, R. 82, nr. 6/2006, 40 -48.
[2] Fryze, S, Moc rzeczywista, urojona i pozorna w obwodach
elektrycznych o przebiegach odkształconych prądu i napięcia,
Przegląd Elektrotechniczny, z. 7, (1931), 193-203, z. 8, 225234, z. 22, (1932), 673-676.
[3] Shepherd, W., Zakikhani, P. Suggested definition of reactive
power for nonsinusoidal systems, Proc. IEE, Vol. 119, No. 9,
(1972), 1361-1362.
[4] Kusters, N.L., Moore, W.J.M. On the definition of reactive
power under nonsinusoidal conditions, IEEE Trans. Pow. Appl.
Syst., Vol. PAS-99, (1980), 1845-1854.
[5] Depenbrock M, Wirk, und Blindleistung, ETG-Fachtagung
"Blindleistung", (1979), Aachen.
[6] Akagi, H., Nabae, A, The p-q theory in three-phase systems
under nonsinusoidal conditions. European Trans. on Electric
Power, ETEP, Vol. 3, No. 1, (1993), 27-31.
[7] Salmeron, P., Montano, J.C., Instantaneous power components in polyphase systems under nonsinusoidal conditions,”
IEE Proc. on Science, Meas. and Technology, Vol. 143, No. 2,
Feb.1996, 239-297.
[8] Morendaz-Eguilaz, J.M. , Peracaula, J., Understanding AC
power using the generalized instantaneous reactive power
theory: considerations for instrumentation of three-phase
electronic converters, Proc. of the IEEE Int. Symp., Ind. Electr.,
ISIE ’99, Vol. 3, 1999, 1273-1277.
[9] Aller, J.M., at al, Space vector application in power systems,
rd
Proc. of the 2000 3 IEEE Int. Conf. on Devices, Circuits and
Systems, pp. P78/1-P78/6.
[10] Aller, J.M., at al, Advantages of the instantaneous reactive
power definitions in three-phase system measurement, IEEE
Power Eng. Review, Vol. 19, No. 6, June 1999, pp. 54-56.
[11] Willems, J.L., A new interpretation of the Akagi-Nabae power
components for nonsinusoidal three-phase situations, IEEE
Trans. on Instr. Meas., Vol. 41, No. 4, (1992), 523-527.
[12] Watanabe, E.H., Stephan, M., Aredes, M., New concept of
instantaneous active and reactive powers in electrical systems with generic loads, IEEE Trans. on Power Delivery, Vol.
8, No. 2, (1993), 697-703.
[13] Willems, J.L., Mathematical foundations of the instantaneous
power concept: a geometrical approach, Europ. Trans. on
Electrical Power, ETEP, Vol. 6, No. 5, (1996), 299-304.
[14] Cristaldi, L., Ferrero, A., Mathematical foundations of the instantaneous power concept: an algbraic approach, Europ.
Trans. on Electrical Power, ETEP, Vol. 6, No. 5, (1996), 305309.
[15] Piotrowski, T., St., Instantaneous components of power and
actual physical phenomena in sinusoidal circuits, Proc. of the
Int. Conf. Electronics, Circuits and Systems, ICECS 2000.
[16] Czarnecki, L.S. Powers in three-phase circuits and their misinterpretations”, Przegląd Elektrotechniczny, Vol. LXX, No. 6,
2003.
[17] Czarnecki, L.S., Moce i compensacja w obwodach z okresowymi przebiegami prądu I napięcia. Część 9: Wady teorii
chwilowej mocy biernej p-q Nabae’a I Akagiego, Jakość i
Użytkowanie Energii Elektrycznej, Tom 9, 2004, 5-13, Z. 2.
[18] Czarnecki, L.S., Comparison of the instantaneous reactive
power, p-q, theory with theory of Current’s Physical
Components, Archiv fur Elektrotechnik, Vol. 85, No. 1, Feb.
2004, pp.
[19] Czarnecki, L.S., On some misinterpretations of the Instantaneous Reactive Power p-q Theory, IEEE Trans. on Power
Electronics, Vol. 19, No.3, 2004, 828-836.
[20] Czarnecki, L.S., Instantaneous Reactive Power p-q Theory
and power properties of three-phase systems, IEEE Trans. on
Power Delivery, Vol. 21, No. 1, Jan. 2006, 362-367.
[21] Czarnecki, L.S., Moce w obwodach elektrycznych z niesinusoidalnymi przebiegami prądów i napięć, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2005.
Autor: Prof. dr. hab. Leszek S. Czarnecki, Fellow IEEE, MIEE,
Alfredo M. Lopez Distinguished Professor of Electrical
Engineering, Electrical and Computer Engineering Department,
Louisiana State University, Baton Rouge, LA 70808, E-mail:
[email protected], Internet Page: www.lsczar.info