Zamiana zmiennych w całkach podwójnych Izolda Gorgol wyciąg z

Zamiana zmiennych w całkach podwójnych
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji (wykład XIV, 04.06.2007 r.)
Zastosowania geometryczne całek podwójnych
1. Pole figury.
Niech D będzie dowolną figurą ograniczoną na płaszczyźnie. Wówczas pole figury D można obliczyć przy użyciu
całki podwójnej w następujący sposób:
ZZ
|D| =
dP
D
2. Objętość bryły. Niech funkcje f oraz g będą ciągłe na zbiorze D ⊂ R2 oraz niech f (x, y) 6 g(x, y) dla każdego
(x, y) ∈ D. Wtedy objętość bryły B ograniczonej wykresami funkcji f i g dla (x, y) ∈ D wyraża się wzorem:
ZZ
|B| =
[g(x, y) − f (x, y)]dP.
D
Twierdzenie o wartości średniej
TWIERDZENIE Niech D ⊂ R2 i niech funkcja f (x, y) będzie ciągła na D. Wówczas istnieje punkt (x0 , y0 ) ∈ D
taki, że
ZZ
f (x, y)dP = f (x0 , y0 )|D|,
D
gdzie |D| oznacza pole obszaru D.
Liczbę f (x0 , y0 ) nazywamy wartością średnią funkcji f na zbiorze D.
Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej
(
x = x(s, t)
TWIERDZENIE Niech D ⊂ R2 i niech Φ =
będzie przekształceniem takim, że Φ(R) = D, funkcje
y = y(s, t)
∂x ∂x ∂s
∂t
x(s, t) i y(s, t) są ciągłe na R oraz takimi, że JΦ = det ∂y
6= 0.
∂y
Wówczas
∂s
ZZ
f (x(s, t), y(s, t))|JΦ |dP.
f (x, y)dP =
D
∂t
ZZ
R
Liczbę JΦ nazywamy jakobianem przekształcenia Φ.
Współrzędne biegunowe
Współrzędnych biegunowych używamy, gdy obliczamy całkę podwójną po kole K = K((x0 , y0 ), R) lub jego części.
Przekształcenie
(
x − x0 = r cos α
Φ=
y − y0 = r sin α
jest przekształceniem odwzorowujacym prostokąt
= h0, Ri
R
× h0, 2πi na koło K. ∂x
∂x
cos α −r sin α
∂r
∂α
Jakobian tego przekształcenia wynosi JΦ = det ∂y
=
= r cos2 α + r sin2 α = r 6= 0.
∂y
sin α r cos α
∂r
∂α
Zatem
ZZ
ZZ
f (x, y)dP =
f (x(r, α), y(r, α))rdP.
K
R
1