Pierwszy AUTOR*

ZESZYTY NAUKOWE WSOWL
Nr 3 (157) 2010
ISSN 1731-8157
Janusz KULEJEWSKI
HARMONOGRAMOWANIE BUDOWY
Z UWZGLĘDNIENIEM NIEPRECYZYJNIE OKREŚLONYCH
OGRANICZEŃ PLANISTYCZNYCH
Przedmiotem referatu jest zagadnienie sporządzania harmonogramu budowy
z uwzględnieniem nieprecyzyjnie określonych ograniczeń dostępności zasobów odnawialnych
i nieprecyzyjnie określonego ograniczenia czasu na wykonanie robót. Do modelowania
nieprecyzyjnie określonych ograniczeń wykorzystano trapezowe liczby rozmyte. Przedstawiono
dwie metody oceny dotrzymania nieprecyzyjnie określonych ograniczeń. Metoda pierwsza
polega na ocenie stopnia dotrzymania danego ograniczenia na podstawie założeń teorii
możliwości. Metoda druga polega na wykorzystaniu koncepcji α-przekrojów liczby rozmytej
i miary probabilistycznej do oceny prawdopodobieństwa dotrzymania danego ograniczenia.
Sformułowano wariantowe zadania optymalizacji harmonogramu budowy z uwzględnieniem
obu metod oceny. Przedstawione przykłady liczbowe potwierdzają, że wykorzystanie miary
probabilistycznej zapewnia neutralizację ocen dotrzymania rozmytych ograniczeń. Ponadto,
polepsza wyniki optymalizacji harmonogramu budowy, pozwalając na zaplanowanie wykonania
robót w krótszym czasie i przy niższym poziomie zużycia zasobów odnawialnych, niż
w przypadku wykorzystania teorii możliwości.
Słowa kluczowe: optymalizacja harmonogramu budowy, ograniczenia planistyczne, teoria
możliwości, zbiory rozmyte, liczby rozmyte, prawdopodobieństwo
WPROWADZENIE
Dane planistyczne do sporządzenia harmonogramu budowy często charakteryzują się niepewnością, dotyczącą czasu wykonania robót, ograniczeń dostępności zasobów
do wykonania robót, a także ograniczenia czasu przeznaczonego na wykonanie robót.
Jest to spowodowane różnymi okolicznościami, na przykład:
-
-
-
-
-
 niepowtarzalność warunków budowy utrudnia lub uniemożliwia wykorzystanie metod statystycznych dla oceny czasu wykonania robót z uwzględnieniem
różnych scenariuszy oddziaływania zakłóceń;

dr inż. Janusz KULEJEWSKI - Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej
HARMONOGRAMOWANIE BUDOWY Z UWZGLĘDNIENIEM NIEPRECYZYJNIE…
 pozyskiwanie zamówień w trybie przetargowym nie pozwala na precyzyjne planowanie rozdziału posiadanych zasobów odnawialnych (pracowników i sprzętu
budowlanego) o kluczowym znaczeniu do realizacji poszczególnych przedsięwzięć;
 może zaistnieć konieczność skierowania pewnej części zasobów odnawialnych do
usunięcia skutków zakłóceń przebiegu innych przedsięwzięć;
 występuje różnica pomiędzy czasem wykonania robót wymaganym przez zamawiającego, a czasem potrzebnym lub wystarczającym na wykonanie robót w ocenie wykonawcy.
W rezultacie dane planistyczne są często ustalane nieprecyzyjnie, z wykorzystaniem pojęć właściwych dla języka naturalnego, na przykład „około dwóch tygodni”, „od
dwóch do trzech tygodni”, „nieco ponad dwa tygodnie”, „około piętnastu robotników”.
W źródłach literaturowych, podejmujących problematykę sporządzania harmonogramu
na podstawie nieprecyzyjnie ustalonych danych planistycznych, wykorzystuje się teorię
możliwości, a w szczególności teorię zbiorów rozmytych [7], w powiązaniu z metodą
podziału i ograniczeń [8], heurystykami priorytetowymi [2, 6, 9] i metodami metaheurystycznymi [3, 5, 6, 9]. Jednak, uwzględnia się tylko nieprecyzyjność danych, dotyczących czasów wykonania robót i ograniczenia czasu realizacji przedsięwzięcia. Ograniczenia dostępności zasobów odnawialnych są traktowane jako znane, co w przypadku
przedsięwzięcia budowlanego rzadko jest zgodne z rzeczywistością. Z kolei, oceny niedotrzymania nieprecyzyjnie określonego ograniczenia czasu realizacji przedsięwzięcia
dokonuje się, ustalając stopień ryzyka harmonogramu z wykorzystaniem kryterium Hurwicza, [8, 9]. Jest to jednak ocena subiektywna, znacznie uzależniona od optymizmu
lub pesymizmu planisty.
W niniejszym referacie, podjęto zagadnienie harmonogramowania budowy
z uwzględnieniem nieprecyzyjnie określonych ograniczeń planistycznych, obejmujących ograniczenie dostępności zasobów odnawialnych i ograniczenie czasu przeznaczonego na wykonanie robót. Omówiono zasady modelowania i oceny dotrzymania nieprecyzyjnie określonych ograniczeń planistycznych z wykorzystaniem trapezowych liczb
rozmytych i teorii możliwości. Przedstawiono propozycję neutralizacji oceny dotrzymania rozmytych ograniczeń z wykorzystaniem miary probabilistycznej w powiązaniu
z koncepcją α -przekrojów liczby rozmytej. Przedstawiono również przykład liczbowy,
wykazujący zalety wykorzystania miary probabilistycznej do optymalizacji harmonogramu budowy w warunkach nieprecyzyjnie określonych ograniczeń planistycznych.
1. MODELOWANIE NIEPRECYZYJNIE OKREŚLONYCH OGRANICZEŃ
PLANISTYCZNYCH Z WYKORZYSTANIEM LICZB ROZMYTYCH
Do modelowania nieprecyzyjnie określonego ograniczenia dostępności k-tego
~
zasobu można wykorzystać rozmytą liczbę trapezową R k  ( Rk , Rk , Rk , Rk ) ,
( 1)
( 2)
( 3)
( 4)
gdzie symbolem Rk (i=1, …, 4) oznaczono liczby zwykłe, spełniające warunek
0  Rk  Rk  Rk  Rk . Na rysunku 1 przedstawiono przykład wykorzystania trapezowej liczby rozmytej do modelowania ograniczenia, wyrażonego, jako „od około
( 2)
( 4)
( 3)
(1)
Rk do około Rk , ale nie mniej, niż Rk i nie więcej, niż Rk ”.
(1)
( 2)
( 3)
( 4)
-
-
-
-
-
(i )
351
Janusz KULEJEWSKI
 (r )
~
Rk
1,00
~
Rk
r
Rk
(1)
Rk
( 2)
Rk
( 3)
Rk
( 4)
Rys. 1. Przykład wykorzystania trapezowej liczby rozmytej do modelowania ograniczenia
dostępności zasobu odnawialnego
Źródło: Opracowanie własne
Podobnie do modelowania nieprecyzyjnie określonego ograniczenia czasu na
wykonanie
robót
można
wykorzystać
rozmytą
liczbę
trapezową
~
T d  (Td , Td , Td , Td ) , gdzie liczby zwykłe Td (i=1, …, 4) spełniają warunek:
(1 )
( 2)
0  Td  Td
( 1)
( 2)
 Td
( 3)
( 3)
( 4)
(i )
 Td . Składniki uporządkowanej czwórki tworzącej rozmytą licz( 4)
~
bę trapezową T d można wyznaczyć, przyjmując na przykład:
 jako liczbę zwykłą Td : najkrótszy możliwy czas wykonania robót Tn k , ustalony na podstawie analizy modelu sieciowego budowy bez uwzględniania
ograniczeń dostępności zasobów odnawialnych;
(1)
 jako liczbę zwykłą Td : dolną granicę T L przedziału czasu wykonania robót,
( 2)
np
ocenianego przez planistę, jako mający największą szansę realizacji;
 jako liczbę zwykłą Td : górną granicę T U przedziału czasu wykonania robót,
( 3)
np
ocenianego przez planistę, jako mający największą szansę realizacji;
 jako liczbę zwykłą Td : nieprzekraczalny czas wykonania robót Tw , określony przez zamawiającego.
( 4)
2. OCENA DOTRZYMANIA OGRANICZEŃ PLANISTYCZNYCH, MODELOWANYCH
PRZEZ LICZBY ROZMYTE
2.1. Ocena dotrzymania rozmytych ograniczeń planistycznych z wykorzystaniem
teorii możliwości
-
Jeżeli maksymalne zużycie k-tego zasobu odnawialnego nie może przekroczyć limitu
dostępności tego zasobu, to musi być spełniona relacja:
-
-
W niniejszym referacie przyjęto założenie, że budowę modeluje jednopunktowa
sieć powiązań z zależnościami typu zakończenie – rozpoczęcie pomiędzy czynnościami.
Czasy wykonania robót uwzględniają przewidywane przez wykonawcę skutki możliwych zakłóceń (niekorzystne warunki atmosferyczne, awarie sprzętu itp.) i są wyrażone
przez liczby zwykłe. Natomiast nieprecyzyjnie określone ograniczenia planistyczne są
modelowane przez trapezowe liczby rozmyte.
Rkmax  R k
-
-
~
352
(1)
HARMONOGRAMOWANIE BUDOWY Z UWZGLĘDNIENIEM NIEPRECYZYJNIE…
Spełnienie relacji (1) oznacza, że maksymalne zużycie k-tego zasobu odnawialnego, wyrażone przez liczbę zwykłą Rkmax , nie będzie wyższe od zużycia
~
dopuszczalnego, będącego nieznaną jeszcze realizacją liczby rozmytej R k .
Podobnie, jeżeli roboty muszą być wykonane w wyznaczonym czasie, to musi być spełniona relacja:
~
T Td
(2)
Spełnienie relacji (2) oznacza, że czas wykonania robót, wyrażony przez liczbę
rzeczywistą T, nie będzie dłuższy od czasu dopuszczalnego, będącego nieznaną jeszcze
~
realizacją liczby rozmytej T d .
Wykorzystując założenia teorii możliwości [1], dla oceny stopnia spełnienia re~
lacji Rkmax  R k i oceny prawdziwości stwierdzenia „liczba zwykła Rkmax nie będzie
~
większa od nieznanej jeszcze realizacji liczby rozmytej R k ”, należy wykorzystać stopień
~
~
możliwości ( Rkmax  R k ) oraz stopień oczywistości N( Rkmax  R k ) . Stopień oczywisto~
ści (ang. necessity measure) służy ocenie, na ile zajście relacji Rkmax  R k wynika
w oczywisty sposób ze stanu wiedzy planisty na temat okoliczności ograniczających
dopuszczalny poziom zużycia k-tego zasobu odnawialnego. Stopień możliwości (ang.
~
possibility measure) służy ocenie, na ile zajście relacji Rkmax  R k pozostaje w zgodności
ze stanem wiedzy planisty na temat okoliczności ograniczających dopuszczalny poziom
zużycia k-tego zasobu odnawialnego. Zgodnie z [4], odpowiednie zależności mają postać:
~
( Rkmax  R k )  sup  (r )
(3)
~
r  Rkmax
Rk
~
( Rkmax  R k )  sup  (r )
(4)
~
r  Rkmax
~
Rk
~
N(Rkmax  R k )  1  ( Rkmax  R k )
(5)
~
gdzie  (r ) jest współczynnikiem przynależności do zbioru rozmytego R k .
~
Rk
~
Należy podkreślić, że relacja możliwości ( Rkmax  R k ) nie ma właściwości
~
~
komplementarności, to jest ( Rkmax  R k ) nie musi być równe 1  ( Rkmax  R k ) .
-
-
-
-
-
Wykorzystując miarę potrzeby i miarę możliwości do oceny prawdziwości podanego wyżej stwierdzenia, należy uwzględnić przypadki przedstawione na rysunku 2.
353
Janusz KULEJEWSKI
a)
 (r )
1,00
Rk
 (r )
b)
~
Rk
~
~
Rk
Rkmax
1,00
α
~
Rkmax
Rk
α
r
Rk
(1)
Rk
( 2)
Rk
( 3)
c)
Rk
r
( 4)
Rk
(1)
Rk
( 2)
Rk
( 3)
Rk
( 4)
 (r )
~
Rk
Rkmax
~
Rk
1,00
r
Rk
(1)
Rk
( 2)
Rk
( 3)
Rk
( 4)
~
Rys. 2. Porównywanie liczby rozmytej R k i liczby zwykłej Rkmax
Źródło: Opracowanie własne
Wartość współczynnika przynależności α w poszczególnych przypadkach według rysunku 2 wyznacza się następująco:
 R max  R (1)
k
dla Rk(1)  Rkmax  Rk( 2 ) ,
 k( 2)
(1)
 Rk  Rk

dla Rk( 2)  Rkmax  Rk(3) ,
1

 Rkmax  Rk( 4)
( 3)
max
( 4)
 R (3)  R ( 4 ) dla Rk  Rk  Rk ,
k
 k

poza tym.
0
(6)
Na podstawie zależności (3), (4) i (5), otrzymuje się:
-
~
-
-
-
~
-
~
1. dla przypadku według rysunku 2a: ( Rkmax  R k ) = α , N( Rkmax  R k ) = 0; oznacza to,
że stopień możliwości, iż oceniane stwierdzenie jest prawdziwe, wynosi α , ale
oczywista prawdziwość tego stwierdzenia jest zerowa;
~
2. dla przypadku według rysunku 2b: ( Rkmax  R k ) = 1, N( Rkmax  R k ) = 1 – α ; oznacza
to, że oceniane stwierdzenie może być prawdziwe, ale stopień oczywistej prawdziwości tego stwierdzenia wynosi 1 – α ,
354
HARMONOGRAMOWANIE BUDOWY Z UWZGLĘDNIENIEM NIEPRECYZYJNIE…
~
~
3. dla przypadku według rysunku 2c: ( Rkmax  R k ) = 1, N( Rkmax  R k ) = 0; oznacza to, że
oceniane stwierdzenie może być prawdziwe, ale oczywista prawdziwość tego stwierdzenia jest zerowa.
~
Tak sformułowana ocena spełnienia relacji Rkmax  R k może utrudniać porównywanie harmonogramów, sporządzanych dla różnych wariantów technologiczno – orga~
nizacyjnych budowy. Z tego powodu, dla oceny stopnia spełnienia relacji Rkmax  R k poszukuje się miernika syntetycznego, posiadającego (zgodną z intuicją planisty) własność komplementarności:
~
~
ST ( Rkmax  R k )  1  ST ( Rkmax  R k )
(7)
Wykorzystując podejście przedstawione w [4, 8, 9], można w tym celu ocenić
~
stopień zdominowania liczby zwykłej Rkmax przez liczbę rozmytą R k :
~
~
~
ST ( Rkmax  R k )  β( Rkmax  R k )  (1  β) N(Rkmax  R k )
(8)
gdzie   [0.0, 1.0] jest współczynnikiem optymizmu, charakteryzującym stosunek
planisty do ryzyka. Na przykład, zakładając neutralny stosunek planisty do ryzyka
(  =0.5), otrzymuje się:
ST ( Rkmax
1,0
dla Rkmax  Rk(1) ,

(1 )
max
(2)
0,5  0,5(1  α) dla Rk  Rk  Rk ,
~

 Rk )  0,5
dla Rk( 2 )  Rkmax  Rk( 3 ) ,

dla Rk( 3)  Rkmax  Rk( 4 ) ,
0,5α
0,0
dla Rkmax  Rk( 4 ) .
(9)
Wartość współczynnika przynależności α wyznacza się na podstawie zależności
~
(6). W podobny sposób można ocenić stopień spełnienia relacji T  T d .
2.2. Ocena dotrzymania rozmytych ograniczeń planistycznych z wykorzystaniem
miary probabilistycznej
Wynik oceny stopnia dotrzymania rozmytych ograniczeń planistycznych
z wykorzystaniem założeń teorii możliwości zależy od subiektywnie przyjętej wartości
współczynnika  , charakteryzującego stosunek planisty do ryzyka. Należy zwrócić
uwagę, za [1], że wykorzystanie miary oczywistości i miary możliwości prowadzi do
~
ustalenia dolnych i górnych ograniczeń prawdopodobieństw zajścia relacji Rkmax  R k
~
-
i relacji T  T d :
-
~
~
~
N(Rkmax  R k )  P( Rkmax  R k )  ( Rkmax  R k )
~
~
(10)
~
(11)
-
-
-
N(T  T d )  P(T  T d )  (T  T d )
355
Janusz KULEJEWSKI
Powstaje zatem pytanie, czy jest możliwa neutralizacja ocen spełnienia relacji
~
~
Rkmax  R k i relacji T  T d , dzięki bezpośredniemu wykorzystaniu miary probabilistycznej. Wynikające stąd zadanie można uogólnić następująco:
 dane są dwie liczby: liczba zwykła M, przedstawiająca maksymalne zużycie
danego zasobu odnawialnego lub planowany czas wykonania robót, oraz tra~
pezowa liczba rozmyta N , modelująca ograniczenie dostępności danego zasobu lub ograniczenie czasu realizacji budowy;
~
 należy ocenić prawdopodobieństwo P(M  N ), że liczba M nie będzie więk~
sza od nieznanej jeszcze realizacji liczby rozmytej N .
~
Istotą przedstawionej niżej metody oceny prawdopodobieństwa P( M  N ) jest
~
wykorzystanie koncepcji  - przekrojów liczby rozmytej N dla skończonej ilości poziomów pewności oszacowania danego ograniczenia. Dla danego  - przekroju liczby
~
N , otrzymuje się przedział N  [ NL , NU ] . Symbol i jest indeksem kolejnego  i
i
i
przekroju. Przykład utworzenia przedziału N  przedstawiono na rysunku 6.3. Zamiast
i
~
oceny stopnia oczywistości i stopnia możliwości spełnienia relacji M  N , ocenia się
prawdopodobieństwo P(M  N i ) , że liczba M nie będzie większa od nieznanej jeszcze
realizacji liczby przedziałowej N , uzyskanej dla kolejnego  -przekroju liczby rozmyi
~
~
tej N . Prawdopodobieństwo P( M  N ) ustala się w wyniku agregacji prawdopodo~
bieństw P(M  N ) , ustalonych dla skończonej ilości  -przekrojów liczby rozmytej N .
i
(x)
~
N
1,00
i
x
N Li M
N Ui
Rys. 3. Przykład utworzenia przedziału N
i
Źródło: Opracowanie własne
-
Na podstawie rysunku 3 można stwierdzić, że jeżeli NL  M  NU , to przedział
i
i
N i dzieli się na podprzedziały [ N , M ] oraz [ M , N  ] . Prawdopodobieństwo, że nie-
-
-
-
-
L
i
356
U
i
HARMONOGRAMOWANIE BUDOWY Z UWZGLĘDNIENIEM NIEPRECYZYJNIE…
znana jeszcze realizacja liczby przedziałowej N będzie zawarta w podprzedziale
i
[ M , N U ] , wynosi:
i
N U  M
P( M  N ) 
i
Jeżeli
M  N L ,
P( M  N  i )  0 .
i
to
Agregując
(12)
i
N U  N L
i
P( M  N  i )  1 .
i
Natomiast,
prawdopodobieństwa
jeżeli
M  NUi ,
P(M  N ) wyznaczone
i
to
dla
~
skończonej ilości  -przekrojów liczby N , otrzymuje się:
~
P(M  N ) 

i
P(M  N i )
i

(13)
i
i
~
gdzie i = 1,…,I jest indeksem kolejnego rozpatrywanego  -przekroju liczby N .
3. WARIANTOWE ZADANIA OPTYMALIZACJI HARMONOGRAMU BUDOWY
Wykorzystując dwie metody oceny dotrzymania rozmytych ograniczeń planistycznych, można sformułować następujące, wariantowe zadania optymalizacji harmonogramu budowy:
 zadanie maksymalizacji stopnia dotrzymania rozmytego ograniczenia czasu
na wykonanie robót:
~
max ST : ST  ST (T  T d )
(14)
 zadanie maksymalizacji prawdopodobieństwa dotrzymania rozmytego ograniczenia czasu na wykonanie robót:
~
max P : P  P(T  T d )
(15)
gdzie:
T – liczba zwykła, przedstawiająca planowany czas wykonania robót,
~
T d – trapezowa liczba rozmyta, modelująca nieprecyzyjnie określone ograniczenie
czasu wykonania robót.
Dla uwzględnienia zależności typu zakończenie-rozpoczęcie pomiędzy czynnościami w rozpatrywanym modelu sieciowym budowy, rozwiązanie zadania (14) lub zadania (15) musi spełniać następujący warunek:
-
-
S j  Si  Di | i {Prec( j )}
(16)
gdzie:
Sj – planowany termin rozpoczęcia czynności j;
-
-
-
Prec( j ) – zbiór poprzedników czynności j w modelu sieciowym budowy;
357
Janusz KULEJEWSKI
S i – planowany termin rozpoczęcia czynności i;
Di – czas wykonania czynności i.
Rozwiązania zadania (14) lub zadania (15) musi również uwzględniać rozmyte
ograniczenia dostępności zasobów odnawialnych. Maksymalne planowane zużycie
k-tego zasobu można wyznaczyć na podstawie poniższej zależności:
Rkmax  max{  rkpt }
(17)
p{ A ( t )}
gdzie:
{A(t)} – zbiór czynności realizowanych w okresie czasu t, t= 1,...,T;
rkpt – zużycie k-tego rodzaju zasobu do wykonania czynności p w okresie czasu t;
T – planowany czas wykonania robót.
Wykorzystując dwie metody oceny, czy harmonogram budowy zapewnia
wymagany przez planistę poziom dotrzymania rozmytego ograniczenia dostępności
k-tego zasobu, można sformułować następujące, wariantowe warunki ograniczające:
 warunek dotyczący wymaganego stopnia STkgr dotrzymania rozmytego ograniczenia dostępności k-tego zasobu:
ST( Rk
max
~
 R k )  STkgr
(18)
 warunek dotyczący wymaganego prawdopodobieństwa Pkgr dotrzymania
rozmytego ograniczenia dostępności k-tego zasobu:
P( Rk
max
~
 R k )  Pkgr
(19)
Dla rozdziału zasobów o limitowanej dostępności można wykorzystać reguły
priorytetu, przyznające pewnym czynnościom w modelu sieciowym budowy pierwszeństwo w przydziale zasobów. W przypadku konfliktu zasobowego planowany termin
rozpoczęcia czynności j o niższym priorytecie zostaje opóźniony w stosunku do najwcześniejszego terminu rozpoczęcia tej czynności z uwzględnieniem topologii modelu
sieciowego. Dlatego w rozpatrywanym jednopunktowym modelu sieciowym z zależnościami typu zakończenie-rozpoczęcie pomiędzy czynnościami, terminy Sj rozpoczynania
i terminy Fj zakończenia poszczególnych czynności z uwzględnieniem ograniczeń dostępności zasobów wyznacza się z wykorzystaniem następujących zależności:
S j  imax
{Si  Di }  L j
{ Prec ( j )}
(20)
Fj = Sj + Dj
(21)
-
gdzie Lj oznacza opóźnienie terminu rozpoczęcia czynności j w stosunku do najpóźniejszego z terminów zakończenia czynności, poprzedzających czynność j zgodnie z topologią modelu sieciowego. Dla zapewnienia ciągłości harmonogramu budowy, należy
wprowadzić następujący warunek:
-
-
-
-
0  L j  Lmax
j
358
(22)
HARMONOGRAMOWANIE BUDOWY Z UWZGLĘDNIENIEM NIEPRECYZYJNIE…
Maksymalne wartości Lmax
opóźnień Lj można wyznaczyć, przyjmując, że do rej
alizacji czynności j przystępuje się dopiero po zakończeniu wszystkich czynności, poprzedzających czynność j zgodnie z ustaloną regułą priorytetu.
4. WYKORZYSTANIE ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO OPTYMALIZACJI
HARMONOGRAMU BUDOWY Z UWZGLĘDNIENIEM ROZMYTYCH
OGRANICZEŃ PLANISTYCZNYCH
Do rozwiązywania przedstawionych zadań optymalizacji harmonogramu
budowy można wykorzystać algorytm genetyczny, współpracujący z generatorem
harmonogramu. Obliczenia poprzedza ustalenie maksymalnych wartości opóźnień
terminów rozpoczynania czynności o niższym priorytecie w przydziale zasobów.
Wartości opóźnień Lj(m) przedstawianych przez m-ty chromosom są generowane przez
algorytm genetyczny ze spełnieniem warunku (22):
0  L j (m)  Lmax
j
(23)
Na podstawie wartości opóźnień Lj(m) przedstawianych przez m-ty chromosom,
otrzymuje się m-ty wariant harmonogramu budowy, wyznaczając terminy rozpoczęcia
Sj(m) poszczególnych czynności z wykorzystaniem zależności (20):
S j (m)  max {S i (m)  Di }  L j (m)
i{ Prec ( j )}
(24)
oraz terminy zakończenia poszczególnych czynności z wykorzystaniem zależności (21):
Fj(m) = Sj (m)+ Dj
(25)
Do oceny otrzymanego wariantu harmonogramu budowy można wykorzystać
następujące funkcje przystosowania:
1. w przypadku zadania maksymalizacji stopnia dotrzymania rozmytego ograniczenia
czasu na wykonanie robót (zadanie 14):
K
f(m) = ST(m) -
F
k
k 1
(26)
2. w przypadku zadania maksymalizacji prawdopodobieństwa dotrzymania rozmytego
ograniczenia czasu na wykonanie robót (zadanie 15):
K
f(m) = P(m) -
G
k 1
k
(27)
gdzie:
-
f(m) – wartość funkcji przystosowania dla rozwiązania przedstawianego przez m-ty
chromosom;
ST(m) – stopień dotrzymania rozmytego ograniczenia czasu na wykonanie robót, wynikający z harmonogramu sporządzonego na podstawie rozwiązania przedstawianego przez
m-ty chromosom:
(28)
-
-
-
-
~
ST (m)  ST (T (m)  T d )
359
Janusz KULEJEWSKI
P(m) – prawdopodobieństwo dotrzymania rozmytego ograniczenia czasu na wykonanie
robót, wynikające z harmonogramu sporządzonego na podstawie rozwiązania przedstawianego przez m-ty chromosom:
~
P(m)  P(T (m)  T d )
(29)
T(m) – czas wykonania robót, wynikający z harmonogramu sporządzonego na podstawie rozwiązania przedstawianego przez m-ty chromosom;
Fk – dostatecznie duża liczba dodatnia, będąca wartością kary za niespełnienie wymagania dotyczącego stopnia dotrzymania rozmytego ograniczenia dostępności k-tego zasobu odnawialnego;
Gk – dostatecznie duża liczba dodatnia, będąca wartością kary za niespełnienie wymagania dotyczącego prawdopodobieństwa dotrzymania rozmytego ograniczenia dostępności k-tego zasobu odnawialnego;
K – ilość rodzajów zasobów odnawialnych o limitowanej dostępności.
5. PRZYKŁADY
Przedmiotem przedsięwzięcia jest modernizacja osiedla mieszkaniowego,
obejmująca remont istniejących budynków A i B, remont istniejącej ulicy osiedlowej,
parkingu i obiektów pomocniczych oraz wykonanie nowych budynków C i D. Budowę
modeluje sieć powiązań, przedstawiona na rysunku 4. Stosunek planisty do ryzyka jest
neutralny (  =0.5). W tabeli 1 podano wykaz czynności, ich czas wykonania (w tygodniach roboczych) i wymagana liczebność brygad. W tabeli 1 podano również najwcześniejsze możliwe terminy realizacji poszczególnych czynności, wyznaczone bez
uwzględnienia limitu dostępności robotników.
4
3
9
17
0
5
14
10
0
0
6
1
7
2
8
11
18
20
0
0
0
12
15
0
0
13
16
19
0
0
0
Rys. 4. Przykładowy model sieciowy przedsięwzięcia budowlanego
Najkrótszy możliwy czas wykonania robót wynosi T = 37 tygodni, przy maksymalnym zatrudnieniu R max = 49 robotników/tydzień. Wykonawca przewiduje, że limit
dostępnej ilości robotników do sformowania brygad roboczych wyniesie najpewniej od
30 do 35 robotników, a w każdym razie nie mniej, niż 25 i nie więcej, niż 40 robotni-
-
-
-
-
-
Źródło: Opracowanie własne
360
HARMONOGRAMOWANIE BUDOWY Z UWZGLĘDNIENIEM NIEPRECYZYJNIE…
ków. Nieprecyzyjnie ustalony limit dostępnej ilości robotników można wyrazić przez
~
liczbę rozmytą R = (25, 30, 35, 40).
Zamawiający wymaga wykonania robót w nieprzekraczalnym czasie 50 tygodni
od dnia przekazania placu budowy. Na podstawie dotychczasowego doświadczenia
w realizacji podobnych przedsięwzięć, wykonawca szacuje, że czas potrzebny na wykonanie robót wyniesie najpewniej od 40 do 45 tygodni roboczych. Nie wyklucza się krótszego lub dłuższego czasu wykonania robót z tym, że nie jest możliwe wykonanie robót
w czasie krótszym niż 37 tygodni, a przekroczenie 50 tygodni jest niedopuszczalne. Nieprecyzyjnie ustalony limit czasu na wykonanie robót można wyrazić przez liczbę rozmy~
tą T d = (37, 40, 45, 50).
Tabela 1. Zestawienie danych do modelu sieciowego według rysunku 4
Czynność
Opis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Urządzenie placu budowy
Roboty ziemne bud. C i D
Wzmocnienie fundamentów bud. A
Remont istniejącej ulicy osiedlowej
Remont dachu w budynku A
Remont instalacji w budynku B
Wykonanie fundamentów bud. C
Wykonanie fundamentów bud. D
Remont istniejącego parkingu
Remont instalacji w budynku A
Remont wykończenia w budynku B
Wykonanie konstrukcji budynku C
Wykonanie konstrukcji budynku D
Remont wykończenia w budynku A
Wykonanie instalacji w budynku C
Wykonanie instalacji w budynku D
Remont obiektów pomocniczych
Wykończenie budynku C
Wykończenie budynku D
Likwidacja placu budowy
Czas
wykonania
Wymagana
liczebność
brygady
roboczej
4
4
3
3
4
5
6
6
3
6
5
4
6
4
5
5
3
7
4
5
8
17
12
8
10
11
9
11
6
9
10
12
7
9
10
11
6
6
8
9
Najwcześniejsze
możliwe terminy:
rozpoczęcia
zakończenia
4
4
7
7
7
8
8
10
14
14
14
14
20
20
20
13
25
25
32
4
8
7
10
11
12
14
14
13
20
19
18
20
24
25
25
16
32
29
37
-
-
Źródło: Opracowanie własne
Przykład pierwszy dotyczy opracowania harmonogramu budowy z wykorzystaniem założeń teorii możliwości do oceny dotrzymania rozmytych ograniczeń planistycznych. Zadaniem planisty jest opracowanie harmonogramu o najwyższym stopniu
dotrzymania rozmytego limitu czasu na wykonanie robót. Opracowany harmonogram
powinien zapewniać dotrzymanie rozmytego ograniczenia dostępności robotników
w stopniu nie niższym niż STRgr = 0,50. Zadanie planisty opisuje funkcja celu (14):
-
-
-
~
max ST : ST  ST (T  T d )
(30)
361
Janusz KULEJEWSKI
z warunkiem (16), dotyczącym zależności typu zakończenie-rozpoczęcie pomiędzy
czynnościami w modelu sieciowym budowy:
S j  S i  Di | i {Prec( j )}
(31)
i z warunkiem (18), dotyczącym wymaganego stopnia dotrzymania rozmytego ograniczenia dostępności robotników do sformowania brygad roboczych:
~
ST( R max  R )  0,50.
(32)
Otrzymany harmonogram budowy przedstawiono na rysunku 5. Planowany czas
wykonania robót wynosi 44 tygodnie, a stopień dotrzymania rozmytego limitu czasu na
~
wykonanie robót wynosi ST (T  T d ) = 0,50. Maksymalne zatrudnienie wynosi 35 robotników/tydzień, a stopień dotrzymania rozmytego limitu dostępności robotników wy~
nosi ST( R max  R ) = 0,50. Należy podkreślić, że skrócenie planowanego czasu wykonania robót do 40 tygodni nie zmienia oceny stopnia dotrzymania rozmytego limitu czasu na wykonanie robót (rys. 7). Podobnie zmniejszenie maksymalnego poziomu zatrudnienia do 30 robotników/tydzień nie zmienia oceny stopnia dotrzymania rozmytego limitu dostępnej ilości robotników do sformowania brygad roboczych.
2
4
6
8
10 12 14 16
18 20 22 24 26
28 30 32 34
36 38 40 42 44
Rys. 5. Harmonogram budowy, zapewniający maksymalizację stopnia dotrzymania
rozmytego limitu czasu na wykonanie robót
-
-
-
-
-
Źródło: Opracowanie własne
Przykład drugi dotyczy opracowania harmonogramu budowy z wykorzystaniem
miary probabilistycznej do oceny dotrzymania rozmytych ograniczeń planistycznych.
Zadaniem planisty jest opracowanie harmonogramu o najwyższym prawdopodobieństwie dotrzymania rozmytego limitu czasu na wykonanie robót. Opracowany harmonogram powinien zapewniać prawdopodobieństwo dotrzymania rozmytego ograniczenia
dostępności robotników nie niższe niż PRgr = 0,50. Zadanie planisty opisuje funkcja celu
(15):
362
HARMONOGRAMOWANIE BUDOWY Z UWZGLĘDNIENIEM NIEPRECYZYJNIE…
~
max P : P  P(T  T d )
(33)
z warunkiem (16), dotyczącym zależności typu zakończenie-rozpoczęcie pomiędzy
czynnościami w modelu sieciowym budowy:
S j  Si  Di | i {Prec( j )}
(34)
i z warunkiem (19), dotyczącym wymaganego prawdopodobieństwa dotrzymania
rozmytego ograniczenia dostępności robotników do sformowania brygad roboczych:
~
P( R max  R )  0,50
(35)
Otrzymany harmonogram budowy przedstawiono na rysunku 6. Planowany czas
wykonania robót wynosi 41 tygodni, a prawdopodobieństwo dotrzymania rozmytego
~
limitu czasu na wykonanie robót wynosi P(T  T d ) = 0,70. Maksymalne zatrudnienie
wynosi 32 robotników/tydzień, a prawdopodobieństwo dotrzymania rozmytego limitu
~
dostępności robotników wynosi P( R max  R ) = 0,56. Należy podkreślić, że każde skrócenie planowanego czasu wykonania robót poprawia ocenę prawdopodobieństwa dotrzymania rozmytego limitu czasu na wykonanie robót (rys. 7). Podobnie każde zmniejszenie maksymalnego poziomu zatrudnienia robotników poprawia ocenę prawdopodobieństwa dotrzymania rozmytego limitu dostępnej ilości robotników do sformowania
brygad roboczych.
2
4
6
8
10 12 14 16
18 20 22 24 26
28 30 32 34
36 38 40 42 44
Rys. 6. Harmonogram budowy, zapewniający maksymalizację prawdopodobieństwa
dotrzymania rozmytego limitu czasu na wykonanie robót
-
-
-
-
-
Źródło: Opracowanie własne
WNIOSKI
Do formułowania i rozwiązywania zagadnień harmonogramowania budowy
z uwzględnieniem nieprecyzyjnie określonych ograniczeń planistycznych można
wykorzystać metodę, łączącą elementy teorii możliwości i elementy rachunku
363
Janusz KULEJEWSKI
prawdopodobieństwa. Wykorzystanie teorii możliwości umożliwia modelowanie
nieprecyzyjnie określonych ograniczeń planistycznych z pomocą trapezowych liczb
rozmytych. Z kolei wykorzystanie rachunku prawdopodobieństwa zapewnia
neutralizację ocen dotrzymania rozmytych ograniczeń. Ponadto polepsza wyniki
optymalizacji harmonogramu budowy, pozwalając na zaplanowanie wykonania robót
w krótszym czasie i przy niższym poziomie zużycia zasobów odnawialnych, niż
w przypadku wykorzystania teorii możliwości.
~
P(T  T d ), ST (T  Td )
1,0
~
P(T  T d )
~
ST (T  T d ) dla   0,8
~
ST (T  T d ) dla   0,5
T
37 38
39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
~
49
50
~
Rys. 7. Porównanie przebiegów funkcji ST (T  T d ) i P(T  T d )
Źródło: Opracowanie własne
LITERATURA
[1] Dubois D., Prade H., Possibility theory, Plenum Press, New York 1988.
[2] Hapke M., Słowiński R., Fuzzy priority heuristics for project scheduling, [in:]
“Fuzzy Sets and Systems”, 83 (1996), pp. 291-299.
[3] Hapke M., Słowiński R., Fuzzy set approach to multi-objective and multi-mode
project scheduling under uncertainty, [in:] Scheduling Under Fuziness, PhysicaVerlag, pod red. Hapke M., Słowiński R., Heidelberg (2000), pp. 197-221.
[5] Leu S. S., Chen A.T.,Yang C. H., A GA-based fuzzy optimal model for construction
time-cost trade-off, [in:] “International Journal of Project Management”, 19 (2001),
pp. 47-58.
-
-
-
-
-
[4] Kuchta D., Miękka matematyka w zarządzaniu. Zastosowanie liczb przedziałowych
i rozmytych w rachunkowości zarządczej, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2001.
[6] Pan H., Yeh C. H., Fuzzy project scheduling, [in:] “Proceedings of the IEEE International Conference on Fuzzy Systems”, 2003, pp. 755-760.
364
HARMONOGRAMOWANIE BUDOWY Z UWZGLĘDNIENIEM NIEPRECYZYJNIE…
[7] Rutkowski L., Metody i techniki sztucznej inteligencji, PWN, Warszawa 2006.
[8] Wang J., A fuzzy project scheduling approach to minimize schedule risk for product
development, [in:] “Fuzzy Sets and Systems”, 127 (2002), pp. 99-116.
[9] Wang J., A fuzzy robust scheduling approach for product development projects,
[in:] “European Journal of Operational Research”, 152 (2004), pp. 180-194.
CONSTRUCTION SCHEDULING WITH
IMPRECISELY DEFINED PLANNING CONSTRAINTS
Summary
The problem undertaken in this paper regards the scheduling of construction projects under
imprecisely defined constraints of time and resources available for the execution of works.
A single-point network model with finish-to-start relations between activities is adopted to
represent the course of construction. Durations of works take account of the expected effects of
possible interference (bad weather, equipment failures, etc.). The paper presents the principles
of modeling imprecisely defined planning constraints using trapezoidal fuzzy numbers and the
principles of assessing compliance with fuzzy restrictions using possibility theory.
A probabilistic approach in conjunction with the concept of  -cuts of fuzzy numbers is
proposed for the neutralization of assessments to meet the fuzzy constraints. The paper also
presents a numerical example showing the advantages of the use of probability measure to
optimize the construction schedule in the terms of imprecisely defined planning constraints.
Key words: construction schedule optimization, planning constraints, possibility theory, fuzzy
sets, fuzzy numbers, probability
-
-
-
-
-
Artykuł recenzował: płk dr hab. inż. Dariusz SKORUPKA, prof. nadzw. WSOWL
365