Pochodna i granica funkcji
Transkrypt
Pochodna i granica funkcji
Pochodna i granica funkcji Zadanie 1. Podaj definicję pochodnej funkcji w punkcie x0 . Oblicz z definicji pochodną funkcji f (x) = 2x + 1 w punkcie x0 = 2. Zadanie 2. Podaj definicję ciągłości funkcji w punkcie x0 . Sprawdź czy funkcja f (x) = 4x + 2, x2 + 2, dla x < 0 jest ciągła dla x 0 w punkcie x0 = 0. Zadanie 3. Podaj interpretację geometryczną pochodnej funkcji w punkcie x0 . Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x2 − 2x + 1 w punkcie x0 = 21 . Zadanie 4. √ Wyznacz pochodną funkcji f (x) = (3x2 − 1)( 3 − x). Z jakich twierdzeń korzystasz? Zadanie 5. Zbadaj monotoniczność funkcji f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 27. Zadanie 6. Który z prostokątów o obwodzie 20 cm ma największe pole? Zadanie 7. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) = x3 + 3x2 − 9x − 2 w przedziale [−3; 2]. Zadanie 8. Dana jest pochodna funkcji f : f 0 (x) = −2x2 +16x−14. Zbadaj monotoniczność tej funkcji i określ jej ekstremum. Zadanie 9. Oblicz pochodną funkcji f (x) = x−1 2x+3 . Z jakich twierdzeń korzystasz? Zadanie 10. Napisz równanie stycznej do krzywej y = x2 w danym punkcie x0 = 1. Zadanie 11. Jaką funkcję nazywamy ciągłą w punkcie x0 ? Zbadaj ciągłość funkcji f (x) = x, x2 − 2x + 2, dla x ¬ 2 dla x > 2 w punkcie x0 = 2. Zadanie 12. Dana jest rodzina funkcji fa (x) = 1 1−x , a, dla x 6= 1 . Wykaż, że żadna funkcja tej rodziny nie jest ciągła dla x = 1 w punkcie x = 1. Zadanie 13. Co to jest granica funkcji w punkcie? Oblicz granicę funkcji f (x) = Zadanie 14. Funkcja f (x) = ax+b (x−b)(x−4) x−2 x2 −4 w punkcie x0 = 2. ma ekstremum y = − 21 dla x = 2. Znajdź a i b. Zadanie 15. Naszkicuj wykres funkcji f o następujących własnościach: a) dziedziną tej funkcji jest zbiór [−4; 7]; b) f (−4) = 21 , f (−1) = f (3) = f (5) = 0,f (1) = −2; c) zbiorem wartości funkcji jest [−2; 4]; d) funkcja jest rosnąca w przedziałach: (1; 4) oraz (5; 7), a malejąca w przedziałach: (−4; 1) oraz (4; 5). Zadanie 16. Naszkicuj wykres funkcji f (x) = 2 − |x|. Opisz jej własności.