Sterowanie napedów maszyn i robotów - Wykład 6

Sterowanie napędów maszyn i robotów
Wykład 6 - odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację
dr inż. Jakub Możaryn
Instytut Automatyki i Robotyki
Warszawa, 2016
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
Odtwarzanie zmiennych stanu
Wykorzystanie układów sterowania od zmiennych stanu wymaga
uzyskania dodatkowych informacji o stanie obiektu. W układach
pozycjonowania są to najczęściej:
położenie - d(t),
prędkość - v (t)),
przyspieszenie - a(t).
Informacje te mogą być dostępne dzięki użyciu dodatkowych
przetworników pomiarowych. Wiąże się to jednak między innymi z
dodatkowym kosztem.
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
Odtwarzanie zmiennych stanu - sposoby odtwarzania
sygnałów
Sterowanie dyskretne i technika cyfrowa pozwalają uzyskiwać dodatkowe
informacje o stanie obiektu poprzez odtwarzanie zmiennych stanu.
Korzyści jakie wynikają z eliminacji dodatkowych czujników to:
obniżenie kosztów,
zmniejszenie wymiarów maszyny napędzającej,
eliminacja połączeń kablowych od czujników prędkości,
większa niezawodność.
Istnieją 2 podstawowe sposoby odtwarzania sygnałów
przez różniczkowanie,
przez obserwację (wykorzystanie obserwatorów).
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
Odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację - realizacja
obserwatora
Proces ruchu realizowany przez układ napędowy jest przyjmowany jako
wielowymiarowy, jednowyjściowy obiekt sterowania, opisany w
uproszczonej postaci dyskretnej przez następujące macierze stanu,
sterowania i wyjścia
Amd ∈ R n×n
(1)
Bmd ∈ R n×r
(2)
1×n
(3)
Cmd ∈ R
oraz przez opóźnienie d.
Obserwator według Luenbergera to układ o postaci
x̂(k + 1) = Amd x(k) + Bmd u(k − d) + kob eob (k),
eob (k) = [y (k) − Cmd x̂(k)]
(4)
estymujący - przy odpowiednim doborze macierzy obserwacji kob ∈ R n×1
– stan procesu x̂(k).
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
Odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację - realizacja
obserwatora
Narzucenie dyskretnemu układowi wartości własnych z1 , z2 , ..., zn określa
macierz obserwacji kob zgodnie z zależnością
det(zI − Amd + kob Cmd ) = (z − z1 )(z − z2 )...(z − zn )
(5)
oraz określa dynamikę zanikania odchyłki odtwarzania eob (k).
Zbieżność estymacji zapewniają wartości własne zi leżące wewnątrz
okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z
|zi | < 1, i = 1, 2, ..., n
co oznacza spełnienie warunku stabilności asymptotycznej
obserwatora.
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
(6)
Odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację
Rysunek : Sterowanie pozycyjne pneumatycznego układu napędowego z
obserwatorem.
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
Odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację
Przykład: Macierz obserwacji dla dyskretnego modelu procesu ruchu




1
Tp
0
0
 x(k)+ Cm Tp α  u(k−d)
βTp
x(k+1) =  0 1 − αTp
0 −2αβ
1 − αTp−2β(1−β)
2Cm αβ
(7)
y (k) = [1 0 0]x(k)
(8)
gdzie
2
α = 0.5ωom
Tp , β = 1 − Dm ωom Tp
Równanie stanu dane jest

1
x(k + 1) =  0
0
w postaci (n = 3, r = 1)



a12 0
0
a22 a23  x(k) +  b21  u(k − d)
a32 a33
b31
(9)
(10)
Macierz wzmocnień obserwatora wyznacza się więc wg zależności


 


1 a12 0
kob1
det Iz −  0 a22 a23  +  kob2  [1 0 0] = (z−z1 )(z−z2)(z−z3)
kob3
0 a32 a33
(11)
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
Odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację
Korzystając z (11) otrzymuje się następujące zależności określające
składowe macierzy obserwacji
kob1 = 1 + a22 + a33 − γ1
γ2 − [a22 a33 − a23 a32 + a22 + a33 − k(a22 + a33 )]
a12
(13)
a22 a33 − a23 a32 − kob1 (a22 a33 + a23 a32 ) + kob2 a12 a33 − γ3
a12 a23
(14)
kob2 =
kob3 =
(12)
gdzie: γ1 = z1 + z2 + z3 , γ2 = z1 z2 + z1 z3 + z2 z3 , γ3 = z1 z2 z3 .
UWAGA: głównym problemem realizacyjnym obserwatora
pozostaje wybór wartości własnych (z1 , z2 , z3 ) - oprócz teoretycznych
uwarunkowań brakuje innych, konkretnych przesłanek wyboru.
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
Odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację
Rysunek : Odtwarzanie przez obserwację, gdzie: v , a - sygnały wzorcowe,
odtwarzanie przy pomocy obserwatorów wykorzystujących modele o
parametrach: v1 , a1 - obliczanych analitycznie oraz szacowanych: v2 , a2 - w
trakcie eksperymentu uruchomieniowego (off-line), v3 , a3 - w trakcie normalnej
pracy układu napędowego (on-line).
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
Obserwator obliczeniowy lub uruchomieniowy
Ze względu na nieadekwatności modelu obliczeniowego lub
identyfikowanego w procedurze uruchomieniowej w odniesieniu do
bieżącego zachowania układu napędowego, odtwarzanie dla potrzeb
sterowania przez deterministyczny (stały) obserwator prowadzi do
pogorszenia jakości sterowania nawet w stosunku do układów
korzystających z różniczkowania metodą siecznej.
Sposoby poprawy:
rozbudowa struktury obserwatora o wybrane elementy nieliniowe
wzmacnianie sprzężenia zwrotnego w powiązaniu z odchyłką
odtwarzania - może powodować podniesienie poziomu szumu
wprowadzanego z sygnału położenia.
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
Obserwacja z wykorzystaniem modelu identyfikowanego w
trakcie normalnej pracy napędu
Odtwarzanie z wykorzystaniem modelu identyfikowanego w trakcie
normalnej pracy napędu, uwzględnia problematykę
szacowania współczynników modelu,
realizacji obserwatora,
optymalizacji nakładu obliczeniowego,
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
Obserwacja z wykorzystaniem modelu identyfikowanego w
trakcie normalnej pracy napędu
Kroki odtwarzania z wykorzystaniem modelu identyfikowanego w trakcie
normalnej pracy napędu
odtworzenie wartości parametrów ruchu, np. prędkości i
przyspieszenia, jedną z metod zapewniających możliwie wierny
wartościowo i gładki przebieg sygnałów (metoda siecznej z ważonym
uśrednianiem),
określenie współczynników modeli zachowań procesu ruchu np.
prędkościowych i przyspieszeniowych procesu ruchu:
v̂ (k) = θ̂v 1 v̂ (k − 1) + θ̂v 2 â(k − 1) + θ̂v 3 u(k − d − 1)
â(k) = θ̂a1 v̂ (k − 1) + θ̂a2 â(k − 1) + θ̂a3 u(k − d − 1)
przez oszacowanie w trakcie normalnej pracy napędu zgodnie ze
schematem rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów,
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
(15)
Obserwacja z wykorzystaniem modelu identyfikowanego w
trakcie normalnej pracy napędu
wyznaczenie odchyłki obserwacji (odtwarzania) êob (k) w postaci
êob (k) = s(k) − ŝ(k)
(16)
wyliczenie aktualnych wartości składowych macierzy
obserwacji kob1 , kob2 i kob3 (narzucenie wartości własnych
wielomianu charakterystycznego),
odtworzenie przyrostu przemieszczenia sp (k + 1), sygnału
prędkości v̂ (k + 1) i przyspieszenia â(k + 1)



 
Tp
0
0 −kob1 (k)  v̂ (k)
sp (k + 1)
 v̂ (k + 1)  =  θ̂v 1 θ̂v 2 θ̂v 3 −kob2 (k)   â(k)
 u(k + d)
â(k + 1)
θ̂a1 θ̂a2 θ̂a3 −kob3 (k)
ê (k)




ob
(17)
estymację sygnału położenia, na podstawie otrzymanej wartości
przyrostu
ŝ(k + 1) = ŝ(k) + sp (k + 1)
(18)
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów
Obserwacja z wykorzystaniem modelu identyfikowanego w
trakcie normalnej pracy napędu
W porównaniu z obserwatorem wykorzystującym model obliczeniowy lub
identyfikowany w eksperymencie uruchomieniowym obserwator
identyfikowany w trakcie normalnej pracy napędu zapewnia
najlepszą jakość odtwarzania - nie jest jednak wolny od wad
związanych ze stosowaniem modelu
szacowaniem modelu,
trudnością identyfikacji modelu (np. w trakcie małych
przemieszczeń),
zaniżaniem wartości szacowanej pulsacji w skrajnych położeniach
(np. w przypadku napędów płynowych),
wrażliwością na błąd punktu zerowego wysterowania.
dr inż. Jakub Możaryn
Sterowanie napędów maszyn i robotów