Nieosobliwe formy dwuliniowe na sumie prostej ideałów

Transkrypt

Nieosobliwe formy dwuliniowe na sumie
prostej ideałów
Beata Rothkegel
Zakład Algebry i Teorii Liczb
Beata Rothkegel
R − pierścień przemienny z jedynką
M − skończenie generowany R-moduł projektywny
α : M × M → R − symetryczna forma dwuliniowa na M
Definicja
Parę (M, α) nazywamy nieosobliwą przestrzenią dwuliniową, gdy
b : M → HomR (M, R),
tzw. homomorfizm dołączony α
b
α(x)(y
) := α(x, y )
dla x, y ∈ M
jest izomorfizmem R-modułów.
Beata Rothkegel
Definicja
b
α(x)(y
) := α(x, y )
dla x, y ∈ M
Beata Rothkegel
Definicja
b
α(x)(y
) := α(x, y )
dla x, y ∈ M
Beata Rothkegel
Definicja
b
α(x)(y
) := α(x, y )
dla x, y ∈ M
Beata Rothkegel
Definicja
Nieosobliwa przestrzeń dwuliniowa (M, α) jest metaboliczna, gdy
istnieją podmoduły N, M 0 modułu M, dla których
M = N ⊕ M 0,
N∼
= N ⊥.
M := (M, α)
Definicja
Dwie nieosobliwe przestrzenie M i N nazywamy podobnymi, gdy
istnieją przestrzenie metaboliczne S i S 0 takie, że
M⊥S ∼
= N ⊥ S 0.
Beata Rothkegel
Definicja
M = N ⊕ M 0,
N∼
= N ⊥.
M := (M, α)
Definicja
M⊥S ∼
= N ⊥ S 0.
Beata Rothkegel
Definicja
M = N ⊕ M 0,
N∼
= N ⊥.
M := (M, α)
Definicja
M⊥S ∼
= N ⊥ S 0.
Beata Rothkegel
Stwierdzenie
Podobieństwo nieosobliwych przestrzeni dwuliniowych jest relacją
równoważności.
WR − zbiór wszystkich klas podobieństwa (klas Witta)
h M i lub h M, α i − klasa zawierająca przestrzeń (M, α)
h a1 , . . . , an i − gdy M wolny z bazą ortogonalną;
macierz α z główną przekątną a1 , . . . , an
Beata Rothkegel
Stwierdzenie
równoważności.
Beata Rothkegel
Stwierdzenie
równoważności.
Beata Rothkegel
Stwierdzenie
równoważności.
Beata Rothkegel
DODAWANIE W WR
hM i + hN i = hM ⊥ N i
MNOŻENIE W WR
h M i · h N i = h M ⊗R N i
Twierdzenie
Zbiór WR wszystkich klas podobieństwa nieosobliwych przestrzeni
dwuliniowych nad R z operacją dodawania + i mnożenia · jest
pierścieniem przemiennym z jedynką.
h 1 i − jedynka pierścienia
h 0 i − zero pierścienia
(klasa złożona z wszystkich przestrzeni metabolicznych)
Definicja
Pierścień WR nazywamy pierścieniem Witta pierścienia R.
Beata Rothkegel
DODAWANIE W WR
MNOŻENIE W WR
Twierdzenie
Definicja
Beata Rothkegel
DODAWANIE W WR
MNOŻENIE W WR
Twierdzenie
Definicja
Beata Rothkegel
DODAWANIE W WR
MNOŻENIE W WR
Twierdzenie
Definicja
Beata Rothkegel
Kiedy (M, α) jest nieosobliwa?
M – skończenie generowany R-moduł wolny
Twierdzenie
(M, α) jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy macierz α w
dowolnej bazie M jest odwracalna.
M – dowolny skończenie generowany R-moduł projektywny
(M, α) jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy?
Beata Rothkegel
Twierdzenie
Beata Rothkegel
Twierdzenie
Beata Rothkegel
Twierdzenie
Beata Rothkegel
M. Ciemała, K. Szymiczek, On the Existence of Nonsingular
Bilinear Forms, Tatra Mt. Math. Publ. 32 (2005), 1–13
OPIS NIEOSOBLIWYCH FORM DWULINIOWYCH NA
IDEAŁACH UŁAMKOWYCH
Twierdzenie
R – pierścień całkowity, K – jego ciało ułamków, I – ideał
ułamkowy ciała K .
Na ideale I można zdefiniować nieosobliwą formę dwuliniową wtedy
i tylko wtedy, gdy I 2 jest ideałem głównym.
Beata Rothkegel
M. Ciemała, K. Szymiczek, On the Existence of Nonsingular
Bilinear Forms, Tatra Mt. Math. Publ. 32 (2005), 1–13
OPIS NIEOSOBLIWYCH FORM DWULINIOWYCH NA
IDEAŁACH UŁAMKOWYCH
Twierdzenie
ułamkowy ciała K .
Na ideale I można zdefiniować nieosobliwą formę dwuliniową wtedy
i tylko wtedy, gdy I 2 jest ideałem głównym.
Beata Rothkegel
Twierdzenie
ułamkowy ciała K taki, że I 2 = pR dla pewnego p ∈ K , p 6= 0.
Forma α : I × I → R jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje wyznaczony w sposób jednoznaczny element odwracalny
u ∈ R taki, że
α(x, y ) =
u
xy
p
dla wszystkich x, y ∈ I .
Opiszemy wszystkie nieosobliwe formy dwuliniowe na sumie prostej
skończonej liczby ideałów ułamkowych.
Motywacja: badanie własności pierścieni Witta pewnych pierścieni
noetherowskich wymiaru (Krulla) 1.
Beata Rothkegel
Twierdzenie
u ∈ R taki, że
α(x, y ) =
u
xy
p
Beata Rothkegel
Twierdzenie
u ∈ R taki, że
α(x, y ) =
u
xy
p
Beata Rothkegel
Stwierdzenie
R – pierścień noetherowski wymiaru 1.
M jest skończenie generowanym R-modułem projektywnym rangi
n, n 1, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwracalny ideał I
pierścienia R taki, że
M∼
= I ⊕ R n.
R – dowolny pierścień całkowity
K – ciało ułamków pierścienia R
M – suma prosta skończonej liczby ideałów ułamkowych
ciała K
Stwierdzenie
n, n 1, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją odwracalne ideały
I1 , . . . , In pierścienia R takie, że
M∼
= I1 ⊕ · · · ⊕ In .
Beata Rothkegel
Stwierdzenie
M∼
= I ⊕ R n.
ciała K
Stwierdzenie
M∼
= I1 ⊕ · · · ⊕ In .
Beata Rothkegel
Stwierdzenie
M∼
= I ⊕ R n.
ciała K
Stwierdzenie
M∼
= I1 ⊕ · · · ⊕ In .
Beata Rothkegel
Stwierdzenie
M∼
= I ⊕ R n.
ciała K
Stwierdzenie
M∼
= I1 ⊕ · · · ⊕ In .
Beata Rothkegel
Stwierdzenie
M∼
= I ⊕ R n.
ciała K
Stwierdzenie
M∼
= I1 ⊕ · · · ⊕ In .
Beata Rothkegel
Opiszemy wszystkie nieosobliwe formy dwuliniowe na
Ln
j=1 Ij = I1 ⊕ · · · ⊕ In .
Warunek konieczny
Twierdzenie
I1 , . . . , In – odwracalne ideały pierścienia R.
L
Jeśli na R-module nj=1 Ij można zdefiniować nieosobliwą formę
dwuliniową, to (I1 · · · In )2 jest ideałem głównym.
Beata Rothkegel
Opiszemy wszystkie nieosobliwe formy dwuliniowe na
Ln
j=1 Ij = I1 ⊕ · · · ⊕ In .
Warunek konieczny
Twierdzenie
I1 , . . . , In – odwracalne ideały pierścienia R.
L
Jeśli na R-module nj=1 Ij można zdefiniować nieosobliwą formę
dwuliniową, to (I1 · · · In )2 jest ideałem głównym.
Beata Rothkegel
Najpierw opiszemy dowolną, niekoniecznie nieosobliwą, formę
L
dwuliniową na nj=1 Ij .
Oznaczmy
Sjj := (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 ,
j = 1, . . . , n
jeśli n = 1, to S11 = R
Sjk := (I1 · · · Ij−1 )2 · Ij · (Ij+1 · · · Ik−1 )2 · Ik · (Ik+1 · · · In )2 ,
j, k = 1, . . . , n, j 6= k
Beata Rothkegel
L
Oznaczmy
Sjj := (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 ,
j = 1, . . . , n
j, k = 1, . . . , n, j 6= k
Beata Rothkegel
L
Oznaczmy
Sjj := (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 ,
j = 1, . . . , n
j, k = 1, . . . , n, j 6= k
Beata Rothkegel
L
Oznaczmy
Sjj := (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 ,
j = 1, . . . , n
j, k = 1, . . . , n, j 6= k
Beata Rothkegel
Stwierdzenie
R – pierścień całkowity, I1 , . . . , In – ideały w R takie, że
(I1 · · · In )2 = pR dla pewnego 0 6= p ∈ R.
n
Odwzorowanie α :
I × nj=1 Ij → R jest symetryczną formą
Ln j=1 j
dwuliniową na j=1 Ij wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją wyznaczone
w sposób jednoznaczny elementy
ajk ∈ Sjk , ajk = akj , j, k ∈ {1, . . . , n} takie, że
L
L
α((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
n
X
ajk
j,k=1
dla wszystkich (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) ∈
Beata Rothkegel
p
xj yk
Ln
j=1 Ij .
WKW na nieosobliwość α
Twierdzenie
Forma α jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy
det (ajk )1¬j,k¬n = p n−1 · u
dla pewnego elementu odwracalnego u ∈ R.
Beata Rothkegel
Przykład.
I – ideał pierścienia R
I 2 = pR dla pewnego 0 6= p ∈ R
α : I × I → R – symetryczna forma dwuliniowa na I
a
α(x, y ) = xy dla wszystkich x, y ∈ I
p
o jeśli n = 1, to S11 = R o
Zatem a ∈ R
o α nieosobliwa wtw., gdy a jest odwracalne w R o
Pokażemy oczywisty geometrycznie fakt, że suma prosta
ortogonalna n egzemplarzy przestrzeni (I , α) jest nieosobliwa wtw.,
gdy przestrzeń (I , α) jest nieosobliwa.
Beata Rothkegel
Przykład.
a
p
Zatem a ∈ R
Beata Rothkegel
Przykład.
a
p
Zatem a ∈ R
Beata Rothkegel
Przykład.
a
p
Zatem a ∈ R
Beata Rothkegel
Przykład.
a
p
Zatem a ∈ R
Beata Rothkegel
Przykład.
a
p
Zatem a ∈ R
Beata Rothkegel
Przykład.
a
p
Zatem a ∈ R
Beata Rothkegel
Przykład.
a
p
Zatem a ∈ R
Beata Rothkegel
Przykład.
a
p
Zatem a ∈ R
Beata Rothkegel
M = I| ⊕ ·{z
· · ⊕ }I
n
(M, β) = (I , α) ⊥ · · · ⊥ (I , α) – suma prosta ortogonalna
|
{z
n
}
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
α(x1 , y1 ) + α(x2 , y2 ) + · · · + α(xn , yn ) =
a
a
a
p n−1 · a
P
x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = nj=1
xj yj
p
p
p
pn
dla wszystkich (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) ∈ M
Zauważmy, że (I| ·{z
· · }I )2 = p n R
oraz
n
dla j ∈ {1, . . . , n}
ajj = p n−1 · a ∈ p n−1 R = (I| ·{z
· · }I )2 = Sjj
n−1
oSjj = (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 o
dla j, k ∈ {1, . . . , n}, j 6= k,
Beata Rothkegel
ajk = 0
M = I| ⊕ ·{z
· · ⊕ }I
n
|
{z
n
}
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
α(x1 , y1 ) + α(x2 , y2 ) + · · · + α(xn , yn ) =
a
a
a
p n−1 · a
P
x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = nj=1
xj yj
p
p
p
pn
· · }I )2 = p n R
oraz
n
dla j ∈ {1, . . . , n}
ajj = p n−1 · a ∈ p n−1 R = (I| ·{z
· · }I )2 = Sjj
n−1
oSjj = (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 o
dla j, k ∈ {1, . . . , n}, j 6= k,
Beata Rothkegel
ajk = 0
M = I| ⊕ ·{z
· · ⊕ }I
n
|
{z
n
}
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
α(x1 , y1 ) + α(x2 , y2 ) + · · · + α(xn , yn ) =
a
a
a
p n−1 · a
P
x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = nj=1
xj yj
p
p
p
pn
· · }I )2 = p n R
oraz
n
dla j ∈ {1, . . . , n}
ajj = p n−1 · a ∈ p n−1 R = (I| ·{z
· · }I )2 = Sjj
n−1
oSjj = (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 o
dla j, k ∈ {1, . . . , n}, j 6= k,
Beata Rothkegel
ajk = 0
M = I| ⊕ ·{z
· · ⊕ }I
n
|
{z
n
}
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
α(x1 , y1 ) + α(x2 , y2 ) + · · · + α(xn , yn ) =
a
a
a
p n−1 · a
P
x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = nj=1
xj yj
p
p
p
pn
· · }I )2 = p n R
oraz
n
dla j ∈ {1, . . . , n}
ajj = p n−1 · a ∈ p n−1 R = (I| ·{z
· · }I )2 = Sjj
n−1
oSjj = (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 o
dla j, k ∈ {1, . . . , n}, j 6= k,
Beata Rothkegel
ajk = 0
M = I| ⊕ ·{z
· · ⊕ }I
n
|
{z
n
}
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
α(x1 , y1 ) + α(x2 , y2 ) + · · · + α(xn , yn ) =
a
a
a
p n−1 · a
P
x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = nj=1
xj yj
p
p
p
pn
· · }I )2 = p n R
oraz
n
dla j ∈ {1, . . . , n}
ajj = p n−1 · a ∈ p n−1 R = (I| ·{z
· · }I )2 = Sjj
n−1
oSjj = (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 o
dla j, k ∈ {1, . . . , n}, j 6= k,
Beata Rothkegel
ajk = 0
M = I| ⊕ ·{z
· · ⊕ }I
n
|
{z
n
}
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
α(x1 , y1 ) + α(x2 , y2 ) + · · · + α(xn , yn ) =
a
a
a
p n−1 · a
P
x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = nj=1
xj yj
p
p
p
pn
· · }I )2 = p n R
oraz
n
dla j ∈ {1, . . . , n}
ajj = p n−1 · a ∈ p n−1 R = (I| ·{z
· · }I )2 = Sjj
n−1
oSjj = (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 o
dla j, k ∈ {1, . . . , n}, j 6= k,
Beata Rothkegel
ajk = 0
M = I| ⊕ ·{z
· · ⊕ }I
n
|
{z
n
}
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
α(x1 , y1 ) + α(x2 , y2 ) + · · · + α(xn , yn ) =
a
a
a
p n−1 · a
P
x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = nj=1
xj yj
p
p
p
pn
· · }I )2 = p n R
oraz
n
dla j ∈ {1, . . . , n}
ajj = p n−1 · a ∈ p n−1 R = (I| ·{z
· · }I )2 = Sjj
n−1
oSjj = (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 o
dla j, k ∈ {1, . . . , n}, j 6= k,
Beata Rothkegel
ajk = 0
M = I| ⊕ ·{z
· · ⊕ }I
n
|
{z
n
}
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
α(x1 , y1 ) + α(x2 , y2 ) + · · · + α(xn , yn ) =
a
a
a
p n−1 · a
P
x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = nj=1
xj yj
p
p
p
pn
· · }I )2 = p n R
oraz
n
dla j ∈ {1, . . . , n}
ajj = p n−1 · a ∈ p n−1 R = (I| ·{z
· · }I )2 = Sjj
n−1
oSjj = (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 o
dla j, k ∈ {1, . . . , n}, j 6= k,
Beata Rothkegel
ajk = 0
M = I| ⊕ ·{z
· · ⊕ }I
n
|
{z
n
}
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
α(x1 , y1 ) + α(x2 , y2 ) + · · · + α(xn , yn ) =
a
a
a
p n−1 · a
P
x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = nj=1
xj yj
p
p
p
pn
· · }I )2 = p n R
oraz
n
dla j ∈ {1, . . . , n}
ajj = p n−1 · a ∈ p n−1 R = (I| ·{z
· · }I )2 = Sjj
n−1
oSjj = (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 o
dla j, k ∈ {1, . . . , n}, j 6= k,
Beata Rothkegel
ajk = 0
M = I| ⊕ ·{z
· · ⊕ }I
n
|
{z
n
}
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
α(x1 , y1 ) + α(x2 , y2 ) + · · · + α(xn , yn ) =
a
a
a
p n−1 · a
P
x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = nj=1
xj yj
p
p
p
pn
· · }I )2 = p n R
oraz
n
dla j ∈ {1, . . . , n}
ajj = p n−1 · a ∈ p n−1 R = (I| ·{z
· · }I )2 = Sjj
n−1
oSjj = (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 o
dla j, k ∈ {1, . . . , n}, j 6= k,
Beata Rothkegel
ajk = 0
M = I| ⊕ ·{z
· · ⊕ }I
n
|
{z
n
}
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
α(x1 , y1 ) + α(x2 , y2 ) + · · · + α(xn , yn ) =
a
a
a
p n−1 · a
P
x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = nj=1
xj yj
p
p
p
pn
· · }I )2 = p n R
oraz
n
dla j ∈ {1, . . . , n}
ajj = p n−1 · a ∈ p n−1 R = (I| ·{z
· · }I )2 = Sjj
n−1
oSjj = (I1 · · · Ij−1 )2 · (Ij+1 · · · In )2 o
dla j, k ∈ {1, . . . , n}, j 6= k,
Beata Rothkegel
ajk = 0
Zatem
β jest nieosobliwa ⇔ det(ajk ) = p n(n−1) · u
dla pewnego elementu odwracalnego u ∈ R ⇔



det 


p n−1 · a
0
···
0
p n−1 · a · · ·
..
..
..
.
.
.
0
0
···
0
0
..
.
p n−1 · a



 = p n(n−1) · u


an = u
a jest odwracalne w R ⇔
a
forma α(x, y ) = xy jest nieosobliwa.
p
Beata Rothkegel
Zatem



det 


p n−1 · a
0
···
0
p n−1 · a · · ·
..
..
..
.
.
.
0
0
···
0
0
..
.
p n−1 · a



 = p n(n−1) · u


an = u
a
p
Beata Rothkegel
Zatem



det 


p n−1 · a
0
···
0
p n−1 · a · · ·
..
..
..
.
.
.
0
0
···
0
0
..
.
p n−1 · a



 = p n(n−1) · u


an = u
a
p
Beata Rothkegel
Zatem



det 


p n−1 · a
0
···
0
p n−1 · a · · ·
..
..
..
.
.
.
0
0
···
0
0
..
.
p n−1 · a



 = p n(n−1) · u


an = u
a
p
Beata Rothkegel
Zatem



det 


p n−1 · a
0
···
0
p n−1 · a · · ·
..
..
..
.
.
.
0
0
···
0
0
..
.
p n−1 · a



 = p n(n−1) · u


an = u
a
p
Beata Rothkegel
Zatem



det 


p n−1 · a
0
···
0
p n−1 · a · · ·
..
..
..
.
.
.
0
0
···
0
0
..
.
p n−1 · a



 = p n(n−1) · u


an = u
a
p
Beata Rothkegel
Klasyfikacja nieosobliwych form dwuliniowych na
ze względu na izometrię
Ln
j=1 Ij
(I1 · · · In )2 = pR dla pewnego 0 6= p ∈ R
Oznaczmy dla k, r ∈ {1, . . . , n}, k 6= r ,
Tkr := (I1 · · · Ik−1 )2 · Ik · (Ik+1 · · · Ir −1 )2 · Ir3 · (Ir +1 · · · In )2
(?)
C=
1
· (ckr )1¬k,r ¬n ,
p
crr ∈ pR, ckr ∈ Tkr , k, r ∈ {1, . . . , n}, k 6= r
Beata Rothkegel
Ln
j=1 Ij
(?)
C=
1
· (ckr )1¬k,r ¬n ,
p
Beata Rothkegel
Ln
j=1 Ij
(?)
C=
1
· (ckr )1¬k,r ¬n ,
p
Beata Rothkegel
Ln
j=1 Ij
(?)
C=
1
· (ckr )1¬k,r ¬n ,
p
Beata Rothkegel
Twierdzenie
L
α, β – nieosobliwe formy dwuliniowe na nj=1 Ij zdefiniowane
wzorami
α((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
n
X
ajk
j,k=1
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
n
X
bjk
j,k=1
Ln
p
p
xj yk ,
xj yk .
Ln
Przestrzenie ( j=1 Ij , α), ( j=1 Ij , β) są izometryczne wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieje macierz C taka jak w (?) o wyznaczniku
odwracalnym w R oraz
(ajk )1¬j,k¬n = C · (bjk )1¬j,k¬n · C T .
Beata Rothkegel
ze względu na podobieństwo
Ln
j=1 Ij
(tzn. kiedy dwie nieosobliwe przestrzenie należą do tej samej klasy
podobieństwa w pierścieniu Witta WR?)
R – pierścień Dedekinda
charK 6= 2
Beata Rothkegel
Ln
j=1 Ij
charK 6= 2
Beata Rothkegel
Ln
j=1 Ij
charK 6= 2
Beata Rothkegel
Ln
j=1 Ij
charK 6= 2
Beata Rothkegel
Twierdzenie
L
α, β – nieosobliwe formy dwuliniowe na nj=1 Ij zdefiniowane
wzorami
α((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
n
X
ajk
j,k=1
β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) =
n
X
bjk
j,k=1
Przestrzenie ( nj=1 Ij , α), (
wtedy, gdy istnieje macierz
L
Ln
C = (ckr )1¬k,r ¬n ,
j=1 Ij , β)
p
p
xj yk ,
xj yk .
są podobne wtedy i tylko
ckr ∈ K , k, r ∈ {1, . . . , n},
o wyznaczniku odwracalnym w R oraz
(ajk )1¬j,k¬n = C · (bjk )1¬j,k¬n · C T .
Beata Rothkegel
Literatura
R. Baeza, Quadratic Forms Over Semilocal Rings, LNM 655, Springer Verlag,
Berlin-Heidelberg-New York 1978.
M. Ciemała, K. Szymiczek, On the Existence of Nonsingular Bilinear Forms on
Projective Modules, Tatra Mt. Math. Publ. 32 (2005), 1–13.
M. A. Marshall, Bilinear Forms and Orderings on Commutative Rings, Queen’s
Papers in Pure and Applied Mathematics – No. 71, Queen’s University Kingston,
Ontario, Canada 1985.
J. Milnor, Introduction to Algebraic K -Theory, Ann. of Math. Stud., Vol. 72,
Princeton University Press and University of Tokyo Press, Princeton N. J., 1971.
J. Milnor, D. Husemoller, Symmetric Bilinear Forms, Ergeb. Math. Grenzgeb.,
Vol. 73, Springer-Verlag, Berlin, 1973.
B. Rothkegel, Nonsingular Bilinear Forms on a Direct Sum of Ideals, preprint.
K. Szymiczek, Bilinear Algebra: an Introduction to the Algebraic Theory of
Quadratic Forms, Algebra, Logic and Applications Series Vol. 7, Gordon and
Breach Science Publishers, Amsterdam 1997.
Ch. Weibel, An Introduction to Algebraic K -Theory,
http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0105/.
Beata Rothkegel

Nieosobliwe formy dwuliniowe na sumie prostej ideałów

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zadanie domowe 8 Termin: 21 stycznia 2014 (1) Niech S będzie

Beata Sikora i Beata Wołyńska Beata Jaworska i Maria Wieczorek W

Nr 35/2014 - Zmiana w składzie Zarządu - załącznik

Nowy układ graficzny strony internetowej

Dolnośląski Przedsiębiorca Społeczny Roku 2012

319 000 136.07 m2

29.04.2013 - Trwa aktualizacja strony internetowej

PARK-M Sp. z o.o. Ul.Piaski 12 33-340 Stary Sącz 248 997,51 zł

Poręczny rozszywacz o prostej, niezawodnej konstrukcji, do

SPIS TREŚCI PŁACA MINIMALNA – DUŻY PROBLEM – Wiktor