jako prawda o liczbie dzielników
Transkrypt
jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów π jako prawda o liczbie dzielników Damian Orlef 9. Wielodyscyplinarne Warsztaty Wakacyjne, 17.08.2013 Damian Orlef π jako prawda o liczbie dzielników Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów Skrót treści 1 Wzór Leibniza 2 Liczba jako suma kwadratów π jako prawda o r2 (n) r2 (n) jako prawda o dzielnikach 3 Skojarzenie faktów Połaczenie ˛ własności widzialnej z niewidzialna˛ Ostateczne starcie Damian Orlef π jako prawda o liczbie dzielników Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów Wzór Leibniza Oto nasz cel: π 1 1 1 1 = − + − + ... 4 1 3 5 7 Damian Orlef π jako prawda o liczbie dzielników Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów π jako prawda o r2 (n) r2 (n) jako prawda o dzielnikach Liczba jako suma kwadratów Dla n ∈ Z+ oznaczmy liczbe˛ przedstawień n w postaci sumy dwóch kwadratów przez: r2 (n) = {(a, b) ∈ Z2 |a2 + b2 = n} Przykładowo r2 (5) = 8, gdyż 5 = (±1)2 + (±2)2 = (±2)2 + (±1)2 Damian Orlef π jako prawda o liczbie dzielników Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów π jako prawda o r2 (n) r2 (n) jako prawda o dzielnikach Widzialna własnosć r2 (n) Niech N bedzie ˛ duże √i naturalne, przyjrzyjmy sie˛ kołu o środku w (0, 0) i promieniu N. Przy pomocy punktów kratowych wewnatrz ˛ koła szacujemy pole. r2 (1) + r2 (2) + . . . + r2 (N) ≈ π · N Po podzieleniu obustronnie przez N otrzymamy r2 (1) + r2 (2) + . . . + r2 (N) =π N N→+∞ lim Damian Orlef π jako prawda o liczbie dzielników Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów π jako prawda o r2 (n) r2 (n) jako prawda o dzielnikach Widzialna własnosć r2 (n) Niech N bedzie ˛ duże √i naturalne, przyjrzyjmy sie˛ kołu o środku w (0, 0) i promieniu N. Przy pomocy punktów kratowych wewnatrz ˛ koła szacujemy pole. r2 (1) + r2 (2) + . . . + r2 (N) ≈ π · N Po podzieleniu obustronnie przez N otrzymamy r2 (1) + r2 (2) + . . . + r2 (N) =π N N→+∞ lim Damian Orlef π jako prawda o liczbie dzielników Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów π jako prawda o r2 (n) r2 (n) jako prawda o dzielnikach Niewidzialna własność r2 (n) Dla n dodatnich zachodzi r2 (n) = 4(d1 (n) − d3 (n)), gdzie dr (n) jest liczba˛ dzielników dodatnich n przystajacych ˛ do r modulo 4. Przykładowo d1 (5) = 2, d3 (5) = 0, wiec ˛ r2 (5) = 4(2 − 0) = 8. Damian Orlef π jako prawda o liczbie dzielników Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów π jako prawda o r2 (n) r2 (n) jako prawda o dzielnikach Niewidzialna własność r2 (n) Dla n dodatnich zachodzi r2 (n) = 4(d1 (n) − d3 (n)), gdzie dr (n) jest liczba˛ dzielników dodatnich n przystajacych ˛ do r modulo 4. Przykładowo d1 (5) = 2, d3 (5) = 0, wiec ˛ r2 (5) = 4(2 − 0) = 8. Damian Orlef π jako prawda o liczbie dzielników Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów Połaczenie ˛ własności widzialnej z niewidzialna˛ Ostateczne starcie Połaczenie ˛ własności niewidzialnej z widzialna˛ Mieliśmy: r2 (1) + r2 (2) + . . . + r2 (N) =π N N→+∞ lim Dostajemy: lim N→+∞ π (d1 (1) + . . . + d1 (N)) − (d3 (1) + . . . + d3 (N)) = N 4 Damian Orlef π jako prawda o liczbie dzielników Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów Połaczenie ˛ własności widzialnej z niewidzialna˛ Ostateczne starcie Połaczenie ˛ własności niewidzialnej z widzialna˛ Mieliśmy: r2 (1) + r2 (2) + . . . + r2 (N) =π N N→+∞ lim Dostajemy: lim N→+∞ (d1 (1) + . . . + d1 (N)) − (d3 (1) + . . . + d3 (N)) π = N 4 Damian Orlef π jako prawda o liczbie dzielników Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów Połaczenie ˛ własności widzialnej z niewidzialna˛ Ostateczne starcie Zmiana kolejności Suma d1 (1) + . . . + d1 (N) to sumaryczna liczba (wielokrotnie liczonych) dzielników postaci 4k + 1 liczb od 1 do N, wiec ˛ można te˛ sume˛ też wyrazić z perspektywy zliczania po konkretnych dzielnikach jako ∞ X k =0 N 4k + 1 Podobnie przekształcimy d3 (1) + . . . + d3 (N) = Damian Orlef P∞ j k =0 π jako prawda o liczbie dzielników N 4k +3 k Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów Połaczenie ˛ własności widzialnej z niewidzialna˛ Ostateczne starcie Zmiana kolejności Suma d1 (1) + . . . + d1 (N) to sumaryczna liczba (wielokrotnie liczonych) dzielników postaci 4k + 1 liczb od 1 do N, wiec ˛ można te˛ sume˛ też wyrazić z perspektywy zliczania po konkretnych dzielnikach jako ∞ X k =0 N 4k + 1 Podobnie przekształcimy d3 (1) + . . . + d3 (N) = Damian Orlef P∞ j k =0 π jako prawda o liczbie dzielników N 4k +3 k Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów Połaczenie ˛ własności widzialnej z niewidzialna˛ Ostateczne starcie Ostateczne starcie Zamieniamy π (d1 (1) + . . . + d1 (N)) − (d3 (1) + . . . + d3 (N)) = N 4 N→+∞ lim na P∞ j k =0 lim N 4k +1 k P∞ j k =0 N 4k +3 k N N→+∞ zaś z uwagi na − N d b c N = π , 4 → d1 , przekonujemy sie˛ łatwo, że zatem ∞ X k =0 1 1 − 4k + 1 4k + 3 Damian Orlef = π 4 π jako prawda o liczbie dzielników Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów Połaczenie ˛ własności widzialnej z niewidzialna˛ Ostateczne starcie Ostateczne starcie Zamieniamy π (d1 (1) + . . . + d1 (N)) − (d3 (1) + . . . + d3 (N)) = N 4 N→+∞ lim na P∞ j k =0 lim N 4k +1 k P∞ j k =0 N 4k +3 k N N→+∞ zaś z uwagi na − N d b c N = π , 4 → d1 , przekonujemy sie˛ łatwo, że zatem ∞ X k =0 1 1 − 4k + 1 4k + 3 Damian Orlef = π 4 π jako prawda o liczbie dzielników Wzór Leibniza Liczba jako suma kwadratów Skojarzenie faktów Połaczenie ˛ własności widzialnej z niewidzialna˛ Ostateczne starcie Ostrzeżenie Dowód tutaj przedstawiony to troche˛ ściema! Ale daje sie˛ go uściślić z zachowaniem tego samego sensu. Damian Orlef π jako prawda o liczbie dzielników