md05

MD'2010, zadanie domowe nr 5
termin: 2010-04-08
Udowodnij, »e liczba rozstawie« k nie atakuj¡cych si¦ wie» na planszy
jest równa
½
n+1
n+1−k
¾
−
½
B = {(i, j) : 1 ≤ i ≤ j ≤ n} \ {(1, n)}
¾
n−1
.
n−k
1
Zadanie 5
Xilexio
n > 0 i k > 0, bo tylko wtedy zadanie ma logiczny
A = B ∪ {(1, n)}. Aby sobie ªatwiej wyobra»a¢ plansz¦, ustalmy
Na pocz¡tek ustalmy, »e
A
z rogiem, tzn.
sens. Rozpatrzmy najpierw plansz¦
»e pierwszy wspóªczynnik to numer
wiersza, a drugi to kolumny oraz »e numerujemy kolumny i wiersze od lewego dolnego rogu. Oznaczmy ilo±¢ rozstawie«
n i k przez An,k i Bn,k .
A w ostatniej (n-tej) kolumnie mo»e nie by¢ wie»y i
n pomniejszonego o 1). W przeciwnym przypadku jest
nieatakuj¡cych si¦ wie» na planszy A i B dla podanych
Zauwa»my, »e na planszy
(która te» jest plansz¡ A dla
ju» istniej¡c¡) i mo»e sta¢ na nieatakowanym polu. Jako »e w pozostaªej cz¦±ci jest
jakie± pole ostatniej kolumny to wie»a w ostatniej kolumnie mo»e sta¢ na jednym z
oraz przypadki graniczne opisane jest poni»ej:
wtedy
k
wie» musi by¢ w reszcie
jedna wie»a (kolejna atakowaªaby
k − 1 wie» i ka»da z nich atakuje
n − k + 1 nieatakowanych pól. To
n < k ⇒ An,k = 0
(1)
k = 0 ⇒ An,k = 1
(2)
n > k > 0 ⇒ An,k = An−1,k + (n + 1 − k)An−1,k−1
(3)
Udowodnijmy »e:
An,k =
n+1
n+1−k
(4)
Skorzystajmy z znajomo±ci wzoru rekurencyjnego na liczby Stirlinga 2 rodzaju. Przypadek specjalny (1) dla
n<k
daje poprawny wynik. Dla (2) wynik równie» si¦ zgadza. Rekurencja (3) jest równie» speªniona, bo:
n+1
n+1−k
=
n
n−k
n
+ (n + 1 − k)
n+1−k
An,k = An−1,k + (n − 1 + k)An−1,k−1
Wszystkie warunki brzegowe, które mo»emy wyliczaj¡c
tylko doj±¢ do przypadku (1), a w
An−1,k−1
An,k
uzyska¢ zawieraj¡ si¦ w (1) lub (2), bo w
do przypadku (2). Nie jest mo»liwe zej±¢ do przypadku z
Skoro osi¡galne warunki pocz¡tkowe si¦ zgadzaj¡ i sama rekurencja si¦ zgadza to wzór (4) na
An,k
An−1,k mo»emy
n < 0 ani k < 0.
jest poprawny.
Teraz zauwa»my, »e plansza A uwzgl¦dnia wszystkie ukªady wie» z planszy B oraz te ukªady w których jedna wie»a
stoi w rogu
(1, n) a pozostaªe k − 1 wie» stoi gdzie± w polu nieatakowanym
n pomniejszonego o 2. Mo»na to zapisa¢ wzorem:
przez wie»¦ w rogu, tzn. na takiej samej
planszy A dla
An,k = Bn,k + An−2,k−1
Zatem uwzgl¦dniaj¡c (4):
Bn,k = An,k − An−2,k−1 =
Co daje równo±¢ z tre±ci zadania.
2
n+1
n+1−k
n−1
−
n−k