Gleason, Kahane, Zelazko

Twierdzenie (Gleason, Kahane, ›elazko) o funkcjonaªach
multiplikatywnych
Lemat 1. Je±li funkcja caªkowita
f
speªnia
f (0) = 1, f 0 (0) = 0
0 < |f (λ)| ¬ e|λ| ,
i
to
f ≡ 1.
Zdeniujmy zbiór N = {a ∈ A : ϕ(a) = 0}.
Lemat 2. Je±li
ϕ
jest ci¡gªym funkcjonaªem liniowym na algebrze Banacha
A,
to zachodzi
a ∈ N =⇒ a2 ∈ N.
Dowód.
Dla ustalonego a ∈ N rozwa»my
f (λ) =
∞
X
ϕ(an ) n
λ ,
n!
n=0
λ ∈ C.
Bez straty ogólno±ci mo»emy zaªo»y¢, »e ||a|| = 1. Zauwa»my, »e wtedy
|ϕ(an )| ¬ ||an || ¬ ||a||n = 1,
co implikuje
|f (λ)| ¬ e|λ| ,
∀λ ∈ C.
Ponadto f (0) = ϕ(e) = 1, oraz f 0 (0) = ϕ(a) = 0. Je±li udowodnimy, »e f (λ) 6= 0, dla ka»dego λ ∈ C, to z
Lematu 1 f ≡ 1. St¡d f ”(0) = ϕ(a2 ) = 0, co zako«czy dowód. Ci¡g
E(λ) =
∞
X
λn n
a
n!
n=0
jest zbie»ny w normie A, dla ka»dego λ ∈ C. Z ci¡gªo±ci ϕ
f (λ) = ϕ(E(λ)),
(1)
λ ∈ C.
W podobny sposób jak w przypadku skalarnym, mo»na pokaza¢, »e
E(λ + µ) = E(λ)E(µ).
W szczególno±ci, E(λ)E(−λ) = E(0) = e. Wynika st¡d, »e E(λ) jest odwracalny, co zgodnie z zalo»eniami
twierdzenia oznacza, »e ϕ(E(λ)) 6= 0. Na podstawie równo±ci (1) otrzymujemy tez¦.
Twierdzenie 1
Banacha
A,
(Gleason,
speªniaj¡cym
)
Kahane, ›elazko . Zaªó»my, »e
ϕ(e) = 1,
oraz
ϕ(x) 6= 0
ϕ
jest liniowym fukcjonaªem na algebrze
dla ka»dego odwracalnego
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y)
x, y ∈ A.
x ∈ A.
Wówczas
Dowód.
Zauwa»my, »e dla x, y ∈ A zachodzi
x = a + ϕ(x)e
y = b + ϕ(y)e,
dla a, b ∈ N. Po naªo»eniu ϕ na iloczyn xy otrzymujemy
ϕ(xy)
=
ϕ(ab + aϕ(y)e + bϕ(x)e + ϕ(x)eϕ(y)e)
=
ϕ(ab) + ϕ(x)ϕ(y).
Poka»emy, »e
a, b ∈ N =⇒ ab ∈ N.
(2)
Zauwa»my, »e dla x ∈ A zgodnie z twierdzeniem zachodzi ||e − x|| ­ 1. St¡d
||λe − x|| ­ |λ| = |ϕ(λe − x)|.
Z Lematu 2, dla x = y
(3)
ϕ(x2 ) = [ϕ(x)]2 .
Podstawiaj¡c do powy»szej równo±ci x = x + y, otrzymujemy
ϕ(xy + yx) = 2ϕ(x)ϕ(y)
x, y ∈ A.
Zatem je±li x ∈ N, y ∈ A to
xy + yx ∈ N.
(4)
Rozwa»my równo±¢
(xy − yx)2 + (xy + yx)2 = 2[x(yxy) + (yxy)x] = RHS.
Je±li x ∈ N , to RHS ∈ N . Dodatkowo z (3) i (4) wynika, »e (xy + yx)2 ∈ N , oraz (xy − yx)2 ∈ N. Po
raz kolejny korzystaj¡c z (3) mamy, »e
xy − yx ∈ N.
(5)
Po zsumowaniu (4) i (5) otrzymujemy (2), co ko«czy dowód.
ªw