2. FUNKCJE. Niech będą dane zbiory i . Jeż ż jeden i tylko jeden

1
WYKŁAD 2
2. FUNKCJE.
2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE.
Niech będą dane zbiory i. Jeżeli
Jeż
każdemu
ż
elementowi x ze zbioru ,, przyporządkujemy
jeden i tylko jeden element y ze zbioru , to takie przyporządkowanie
ądkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
inaczej powiemy, że na zbiorze została określona FUNKCJA o wartościach
ściach w zbiorze :
∶ ⋀∈ ⋁∈ ∶ y fx ⟺ → .
Przyporządkowanie,
ąądkowanie, odwzorowanie lub przekształcenie to pojęcia,
pojęęcia, którymi zamiennie okreś
określa
ś sięę
funkcje. Elementy zbioru nazywamy argumentami funkcji, zaś elementy y fx zbioru nazywamy wartościami funkcji lub obrazami elementów x.
Zbiór nazywamy DZIEDZINĄ funkcji i zwykle oznaczamy symbolem
symbol : .
Zbiór wszystkich y fx jest podzbiorem zbioru Y i nazywamy go PRZECIWDZIEDZINĄ lub
ZBIOREM WRTOŚCI FNKCJI lub OBRAZEM funkcji f i oznaczamy : .
WYKRESEM funkcji f nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego
kartezjań
taki, że
ż :
⋀∈ parax, y
∈ ∶ y fx
.
FUNKCJE możemy
ż
przedstawiaćć wzorem, w postaci grafu, tablicy lub wykresu.
Najczęstszym
ęstszym sposobem przedstawiania funkcji jest podanie jej wzoru. Nie należy
należ jednak
utożsamiać
ż
ć funkcji z jej wzorem. Weźmy
Weź
następujące
ę ą przykłady :
∶ ∶ ∶ 〈! 〉
, , , 〈!,
Jak widać na powyższym rysunku, każda z funkcji , jest inna, mimo że wzór dla
wszystkich trzech funkcji jest taki sam.
Jeżeli funkcja podana jest wzorem, lecz nie narzucono jej dziedziny, to należy rozumieć, że jej
dziedziną jest zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wykonalne jest działanie
określone podanym wzorem. Na przykład :
: = ⟹ = ∖ .
ZADANIA :
Określ dziedzinę następujących funkcji :
•
∶ = ∙
,
= •
− ≠ ∧ + ≠ = ∖ −, ,
≠ ∧ ≠ −
∶ = √ + ,
= •
•
+ ≥ = 〈−, ∞),
≥ −
∶ = √ + + √ − ,
+ ≥ ⟹ ≥ −
= = 〈−, 〉,
− ≥ ⟹ ≤ ∶ = − ,
− > 0
= ∧
> 1
− ≠ ∧
≠
− > 0
− − ⋅ + > 0 = , ∨ , .
∈ −, Wyznaczenie zbioru wartości funkcji na podstawie jej wzoru jest zwykle trudne. Dużo łatwiej jest
określić zbiór wartości funkcji jeśli wykona się jej wykres.
ZADANIA :
Określ zbiór wartości następujących funkcji :
•
•
•
•
•
∶ = ,ś = , , , ⟹ ! = , , , ", #,
∶ = ,ś = $
⟹ ! = ∶ = % ∧ % ∈ $ −
&'ó()&'*+,-(+*.)ℎ/+(&.0,.)ℎ = 0, 2, 4, 6, 8, … … … … … . . ,
∶ = ,ś = 〈−, 〉
⟹ ! = 〈−4, 4〉,
∶ = ,ś = ∶ = ,ś = ⟹ ! = ,
⟹ ! = 〈, ∞).
WYKRESEM funkcji f nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego × taki, że :
= ⋀୶∈‫ ܆‬parax, y ∈ × ∶ y = fx.
Sporządzając wykres funkcji korzystnie jest wykonać uprzednio tabelkę, określającą wartości
funkcji argumentów tej funkcji. Wykonanie takiej pełnej tabelki wielokrotnie nie jest możliwe.
2
3
Wykonujemy zatem częściową
ęś
ą tabelkę,
tabelkęę w której dobieramy tak wartości
ści
ś argumentów, aby
uchwycić najważniejsze własności funkcji.
- przykłady :
•
$%&) ∈ 〈1, ∞- $%&
∶ #
,
$%&
$%&) ∈ !∞, 0
•
∶ '$%&
$%&) ∈ 1,
/0 ',
•
∶ $%&
$%&) ∈ 1,
/0 1,
/0 , ,
x -2 2
y -4 4
•
∶ ||$%&) ∈ 1,
/0 〈, ∞,x -4 -2 0 2 4
y 4 2 0 2 4
4
•
/0 〈-, ∞,
∶ !√$%&) ∈ 〈, ∞,-
x
0
1
2.25
4
6.25
9
y
0
-1 -1.5 -2 -2.5 -3
2.2.WŁASNOŚCI FUNKCJI.
MIESCEM ZEROWYM FUNKCJI nazywamy wartość
ść tego argumentu, dla którego wartość funkcji
3443
3443<$= .
wynosi zero, tzn.
- przykłady :
•
∶ 5 $%&) ∈ 1,
⟹ 5 ! ,
•
∶ 5 $%&) ∈ 〈!, '〉,
⟹ 5 !, ale -3 ∉ - zatem funkcja nie posiada miejsca zerowego.
zerowego
•
∶ ! ! $%&)
∈ 1,
⟹ ! ! 7 8 5 ?√7 8
! ∨ .
Ż
ŚCIOWYM, krótko ∶ 9:; ,
Funkcja ∶ → jest ODWZOROWANIEM RÓŻNOWARTOŚCIOWYM
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej
każ
pary ) A) , należących do zbioru takich, że ) G ) ,
x i x są różne, czyli :
odpowiednie wartości funkcji x
x G x .
∶ 9:; 3443<$= ⋀ , ∈ 4&BACD, żF) G ) ∶ x
- przykłady funkcji różnowartościowych
ż
ściowych:
5
- przykłady funkcji nie różnowartościowych:
Funkcja STAŁA
1: 2 ⟶ 3, , to taka funkcja, która dla każdego x, należącego do zbioru 4,
przyjmuje wartość stałą c ze zbioru 5 :
6 ∶ 2 ⟶ 3 :
. = ), 78&) ∈ 5dla ⋀∈ : = ;.
RÓWNOŚĆ DWÓCH FUNKCJI
Funkcje < są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne dziedziny oraz gdy dla
każdego argumentu należącego do ich wspólnej dziedziny, wartości obu funkcji są równe :
= < ⟺ 78. = ∧ ⋀∈ࢌ = <.
- przykłady :
•
= ∧ = ,
< = ∧ = ∖ ,
•
−,8=1-*>)*0ą(ó=*, 78.ż ≠ .
= + ∧ = ,
< =
૛ = + ∧ = ∖ ,
−,8=1-*>)*0ą(ó=*, 78.ż ≠ .
MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI
Funkcję liczbową ∶ 2 → 3 nazywamy ROSNĄCĄ w zbiorze ⊆ ⟺ ż૚ ૛
żąℎ !"ℎ, ż૚ < ૛ ⟹ #૚ < $૛ .
Funkcję liczbową ∶ 2 → 3 nazywamy MALEJĄCĄ w zbiorze ⊆ ⟺ ż૚ ૛
żąℎ !"ℎ, ż૚ < ૛ ⟹ #૚ > $૛ .
Jeśli funkcja jest rosnąca (malejąca) w zbiorze ? ⊆ 2to jest ona w tym zbiorze
różnowartościowa.
6
- przykład :
•
Zbadaj monotoniczność
ść funkcji ∶ 1 ∖ ,
- przeprowadźmy analizę dla :
1 - ) ∈ !∞, 0 niech na przykład !A ! czyli O ! ! ,&! !
to
⟹ P H - czyli w tym przedziale funkcja jest malejącą,
2 - ) ∈ 0, ∞ niech na przykład A czyli O H ,&
to
⟹ P H - czyli w tym przedziale funkcja jest również malejącą,
3 - ) ∈ !∞, 0 ∨ 0, ∞ niech na przykład !A czyli O H! !,&
to
⟹ O H ,
- czyli w całej dziedzinie funkcja nie jest malejącą,
ą ą, natomiast jest malejąca
maleją w zbiorach
I !∞, JK&LQ , ∞.
FUNKCJE PARZYSTE I NIEPARZYSTE
Funkcję liczbową nazywamy PARZYSTĄ
PARZY
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ∈ ,
:
liczba ∈ , oraz ⋀∈ࢌ ∈ ∧ .
Przykłady funkcji parzystych przedstawiono na poniższym
poniż
rysunku :
Przykładami funkcji parzystych są następujące
nastę ą funkcje:
•
•
•
$%&) ∈ M,
||$%&) ∈ M,
$%&) ∈ M.
Funkcję liczbową nazywamy NIEPARZYSTĄ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ∈ ,
liczba − ∈ %ࢌ , oraz # = −#−:
7
⋀࢞∈ࡰࢌ&− ∈ %ࢌ ∧ # = −#−'.
Przykłady funkcji nieparzystych przedstawiono na poniższym rysunku
Przykładami funkcji nieparzystych są następujące funkcje :
•
•
•
= 8+@ ∈ A,
= 8+@ ∈ A
= ૛ 8+@ ∈ A.
Dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być zbiorem symetrycznym względem = .
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY układu współrzędnych, zaś wykres
funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Większość jednak spotykanych funkcji nie spełnia warunków parzystości i nieparzystości. Są to
funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste.
ZADANIA :
Zbadaj czy dana funkcja jest parzysta lub nieparzysta:
• = + .
- określamy dziedzinę funkcji B = A,czyli zbiór symetryczny względem x=0,
- określamy wartość funkcji dla argumentu -x
− = − + = + = ⟹ funkcja ta jest parzysta.
•
•
= − .
- określamy dziedzinę funkcji B = A,czyli zbiór symetryczny względem x=0,
- określamy wartość funkcji dla argumentu -x
− = − − = − − ≠ ⟹ funkcja ta nie jest parzysta, ale
− = − − = − + ≠ − ⟹funkcja ta nie jest też nieparzysta.
= ૛ .
- określamy dziedzinę funkcji B = A,czyli zbiór symetryczny względem x=0,
- określamy wartość funkcji dla argumentu -x
૛ − = ૛ = ૛ . = ૛ ૛ ⟹ funkcja ta jest parzysta.
8
•
= ૜ .
- określamy dziedzinę funkcji B = A ∖ −2, 2,czyli zbiór symetryczny względem x=0,
- określamy wartość funkcji dla argumentu -x
૛ − =
•
૜ ()
૛ = ⋅().
=
૜ ૛ = −
૜ ૛ = −
⟹ funkcja ta jest nieparzysta.
૜
- określamy dziedzinę funkcji B = A ∖ −1, 4, czyli zbiór, który nie jest symetryczny
względem x=0, a zatem funkcja ta nie jest parzystą ani też nieparzystą.
FUNKCJE OKRESOWE.
Funkcję
liczba
∶ 2 → 3
nazywamy OKRESOWĄ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
taka
( ≠ ), że dla każdej liczby ∈ %ࢌ , liczba + ( ∈ %ࢌ i zachodzi równość + C = .
− D>(0D=+ ⟺ ⋁ ⋀∈ࢌF + C ∈ ∧ + C = G.
Przykładami funkcji okresowych są następujące funkcje :
•
= − HI8+@ ∈ A,C = ,
•
= JKL 8+@ ∈ A,C = M,
•
= N 8+@ ∈ A ∖ + >O 78&> ∈ P,C = M.
9
FUNKCJE OGRANICZONE.
Funkcję
∶ 2 → 3 nazywamy OGRANICZONĄ Z DOŁU wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
taka liczba *, że dla każdej liczby ∈ %ࢌ , jest spełniony warunek ≥ Q.
Funkcję ∶ 2 → 3 nazywamy OGRANICZONĄ Z GÓRY wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
taka liczba +, że dla każdej liczby ∈ %ࢌ , jest spełniony warunek ≤ R.
Funkcję ∶ 2 → 3 nazywamy OGRANICZONĄ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby
*+, że dla każdej liczby ∈ %ࢌ , jest spełniony warunek Q ≤ ≤ R.
- przykłady :
•
•
•
: = − 0,D7(+*)&D*+&8Dł-*/./(&&)&'ę0,
: = − *0,D7(+*)&D*++*&8Dł-, +*&7ó(.,
: = JKL − 0,D7(+*)&D*+&8Dł-*/./(&&)&'ę − 1D(+&&7ó(./(&&1.
WARTOŚĆ NAJWIĘKSZA I NAJMNIEJSZA FUNKCJI.
Funkcja liczbowa ∶ 2 → 3 przyjmuje WARTOŚĆ NAJWIĘKSZĄ ∈ 38+ ∈ 2, wtedy i
tylko wtedy, gdy dla każdego ∈ 2 zachodzi nierówność ≤ .
Funkcja liczbowa ∶ 2 → 3 przyjmuje WARTOŚĆ NAJMNIEJSZĄ ∈ 38+ ∈ 2, wtedy
i tylko wtedy, gdy dla każdego ∈ 2 zachodzi nierówność ≥ .
TWIERDZENIE
∶ 2 → 3 , która przyjmuje WARTOŚĆ NAJWIĘKSZĄ
OGRANICZONA Z GÓRY.
2. Funkcja liczbowa ∶ 2 → 3 , która przyjmuje WARTOŚĆ NAJMNIEJSZĄ
OGRANICZONA Z DOŁU.
1. Funkcja
liczbowa
jest
jest
10
2.3 FUNKCJE ZŁOŻONE.
<°6 nazywamy FUNKCJĘ :
ZŁOŻENIEM DWÓCH FUNKCJI
,- = <°6 = <./8+k+ż87D@ ∈ 4.
Funkcję 6@ nazywamy pierwszą (wewnętrzną), zaś funkcję @ nazywamy drugą (zewnętrzną).
Złożenie dwóch funkcji f i g przedstawia poniższy rysunek :
- na przykład :
∗ - 6 ∶ S ⟶ S ∶ 6@ = @ + 2@
oraz
,- = <°6 = <./ = . + 2@/ ,
g∶ S ⟶ S ∶ @ = @ to złożenie :
oraz
k- = °< = .</ = . / + 2 = + 2 .
SKŁADANIE FUNKCJI NIE JEST OPERACJĄ PRZEMIENNĄ, tzn. istnieją takie funkcje f i g, że :
<°6 ≠ 6°.
Składać można więcej niż dwie funkcje, np.
∶ 4 ⟶ 5, ∶ 5 ⟶ TKU ∶ T ⟶ V to
W = X°°6 = X YZ6@[\.
SKŁADANIE FUNKCJI JEST OPERACJĄ ŁĄCZNĄ, tzn.
X°°6 = X°°6.
2.4 FUNKCJA ODWROTNA
Jeżeli funkcja f jest funkcją różnowartościową to istnieje do niej funkcja odwrotna. Z grubsza
mówiąc, FUNKCJĄ ODWROTNĄ do danej funkcji różnowartościowej f jest taka FUNKCJA #ି૚ ,
która cofa działanie funkcji f.
Wyznaczając najpierw wartość funkcji f dla argumentu x, a następnie wartość funkcji odwrotnej
#ି૚ dla argumentu @, otrzymujemy wartość argumentu x, dla którego wykonywaliśmy obliczenia.
FUNKCJA # ∶ ⟶ jest ODWRACALNA wtedy i tylko wtedy, gdy jest RÓŻNOWARTOŚCIOWA
i przekształca zbiór X ”NA” zbiór Y.
FUNKCJĘ
#ି૚ ∶ 0 ⟶ nazywamy ODWROTNĄ do funkcji # ∶ ⟶ , jeżeli :
]Z#−૚ [ = T^#i]# = ZWZ#−૚ [ oraz
Z[ = 8+=0&.0,>)ℎ ∈ ]#
11
Przykład tak zdefiniowanej funkcji przedstawiono w sposób graficzny na rysunku :
∶ = = 〈_, `〉
! = 〈a, b〉
∶ = ష૚ = 〈a, b〉
!ష૚ = 〈_, `〉
Nie wszystkie funkcje mają funkcje odwrotne. Funkcje, które mają funkcję odwrotną nazywamy
FUNKCJAMI WZAJEMNIE ODWRACALNYMI.
- na przykład :
∗ - funkcje = i< = √ o dziedzinach ]# = ]Z#−૚ [ =< 0, ∞) są
wzajemnie odwracalnymi.
∗ - funkcje = _ i< = o dziedzinach ]# = Si]Z#−૚ [ = S są wzajemnie odwracalnymi.
∗ - funkcje = jestfunkcjąodwrotnądlasamejsiebiewzbiorzeℝ\.