8. Cz. Prętki

Czesław PRĘTKI
Instytut Matematyki
Politechniki Poznanskiej
KLASYFIKACJA
UOGOLNIONYCH
OGNISK I UOGOLNIONYCH
KIEROWNIC SToZKowYCH
PŁASKICH')
Cytowane z pracy tl] autora definicje są tu ilustrowane rysunkami. Podaje się
przedziaty zmiennościpromieni i środkow uogolnionych ognisk oraz przedziaĘ zmienności
uogolnionych kierownic d|a dwoch zbiorow F i G tych pojęc wprowadzonych dla elipsy i
hiperboli oraz jednego zbioru F dla paraboli. Zbiory te podzielone są tak jak w tl]
odpowiednio na pięć i cztery podzbiory A-E , A-D. @odziałten uzasadnia przytoczony z pracy
[1] rysunek 4 sugerującyinterpretacjęgeometrycznątychuogolnionych pojęć).
Definicja 1.
Uogolnionym ogniskiem stozkowej naąnvamy kuidy okrąg podwojnie styczny do
stozkowej I I ]
Elipsa i hiperbolao rownaniach
tY .f '
(l)
a
-
*
','=
tD
=
= 1, I
+ I
posiadają dwa zbiory uogolnionych ognisk :
zbior Fo rÓwnaniach .
't
4
+-Y
x"2 tbo
o'ao
@ + xo)'+y'
a
oraz zbior G o rownaniach :
_z , /-.
*
T\,f
c'
r3.lO)
eb-
12 =- xn'bo
-yo'oo
bo
)
gdzie (xo'yo) są wspołrzędnymipunktu stycznościstozkowej z uogolnionym ogniskiem.
Srodki ognisk zbioru F są punktami osi pierwszej stozkowej (oś duiza elipsy, oś
rzecrywista hiperboli). Rysunek l pokazuje przykład uogÓlnionego ogniska na|eiącego do
zbioru F elipsy.
Uogolnione ogniska pierwszego zbioru oznaczaćbędziemYF ", natomiast uogÓlnione
ogniska drugiego zbioru oznaczać będziemy przez G ", Rysunek nr 2 pokazuje przykład
uogÓlnionego ogniska na|eżlącego
do zbioru G hiperboli.
.)
w odrÓżnieniuod stozkolvychsferycznych[3l
-40-
I
Parabola o rÓwnaniu
yf -fpx
il
,
paraboli,czyli ogniska F " na|eŻące
posiada tylko zbior ognisk uogolnionych o środkachna osi
do zbioru F. Posiadująone postać.
(x-xo - P)' +Y' =P' *!o'
i prostej stycznej do
niewłaściwej
Dla paraboli zbior G degenerujesię do pary prostych:prostej
J
paraboli w jej wierzchołku (rys. 3)
\ --t
\/
\
\l
i
II
- 4 1-
Definicja 2.
Uogolnioną kierownicę stozkowej nazywamyprostąłączącąpunkty styczności
uogÓlnionego ogniska ze stozkową.
Jezeli ośduza elipsy oraz ośrzeczywista hiperboli pokrywa się z osiąx prostokątnego
układuwspotrzędnychto elipsa i hiperbola o rownaniach(l) posiadajądwa zbiory
uogolnionych kierownic :
Zbior .K _ kierownic k" o rÓwnaniach x: X0,
Zbi1rl-kierownic l" o rownaniachy:yo,
1
a)
=
(t
prny c;rymdo zbioru K na|eŻądwiekierownice w zwyĘm sensiek,, kz ('o
,
c
1rz
natomiast do zbioru L na|eżądwieurojone kierownice w zwyĘm sensie lt lz (!, = xi -)
Parabola posiada tylko jeden zbior kierownic /(.
rys.4
Uogolnione ogniska naleŻącedo zbioru F moŻnapodzielić na podzbiory :
A: zawterającyokręgt podwojnie styczne do stozkowej w punk.tach rzeczynvistychroznych
(rys.4a)
sĘczne(rys.4b),
B: zawterający
okręs nadściśle
C. zavtterającyokręgl podwojnie styczne do stozkowej w punltach urojonych sprzęzonych
(rys.4c),
-42-
L-
D. zautięrającyokręgi urojonepodwojniestycznedo stozkowejw punktachurojonych
(rys.4d),
E: zawierającyokręgi urojone podwojniestycznedo stozkowej w punktachurojonych
ale nie
sprzęzonych. Przyporządkowane tym okręgom kierownice są prostymi urojonymi'
ogniska
te są przecięciami płaszcz1lznystoŻkowejz powierzchniami urojonych kul wpisanych
w
stozek.
ZlNykłeogniska stozkowej, interpretowanejako pary prostych izotropolvych za|iczamy
do zbioru C.
Dla uogolnionych ognisk etipsy na|eŻących
do zbioru :
,Ł,n ),
l: promienie są zawarte w prze dzia|e \'))
środkiw przedzia|eęL,L
)
cta
kierownice w przedziale (-a,a);
B: promienie
,Uro*n" 41,
a
środkimająwspołrzędne
, _ *t,
a
kierownice mają wspotrzędne x _ +ą,
C: promieniesą zawarte w przedziałach@,t),
ą
środkisą zawartew przedziałach
ś_C,_?, ),({,,
aa
',
kierownicew przedziałach
< _Ł, ą),(a,",_,;
cc
.D: promienie są urojone,
środkisą zawarte w prze działach(- -,_.), (c, -),
kierownice w przedziałach(-co,t),(t,-);
cc
^E:promienie są urojone,
środkii kierownice są elementamiurojonymi określonymiwspołrzędnymizawartymi
w
przedziale (-co, m).
Dla ognisk hiperboli naleizącychdo podzbioru:
.4: promienie są zawarte w prze działach(_*,_t),(4,*),
aa
n2
/,2
środkiw przed ziałach(-m, a), (a, -),
aa
kierownice w przedziałach(-m ,-a),(a,*);
-43-
B: promienie,u.o*n. Ł,
a1
środkimająwspołrzędne, _ +, ,
ct
kierownice mają wspołrzędnex _ +ai
C: promieniesą zawarte w przedziale . O,L),
.-o
środkiw przed ziałachęc- , C ż,. c,L),
aa
kierownicew przedziałach
(-a ,_o, ,,.t,,7;
cc
D: promieniesą urojone ,
środkisą zawarte w przedaa\e (_c,c),
kierownice w przedziale(- {,1r,
cc
E: promienie są urojone,
środkii kierownice są e|ementamiurojonymi określonymiwspotrzędnym|zawartymi w
przedziale (-co, oo).
Dla uogolnionychognisk parabo|i na|eŻących
do podzbioru.
.4: promieniesą zawarte w przedzia|e(p,-);
środkiw przedzia|e (p,*),
kierownice w przedziale (0,*;;
B: promienjest rowny p,
środekma wspołrzędnąX = p,
kierownica rownanie x = 0;
C: promienie są zawarte w przedzia|e <0, p),
środkiw przedzia|e.1
, p),
2'^
kierownice w przedaale < - 4,0)
2',
D: promieniesą urojone,
Środki są zawarte w prze dzia|e(_-,t),
kierownice w przednale (-o,-Z;'
z
E: promieniesą urojone,
środki i kierownice są elementamiurojonymi określonymiwspołrzędnymi zawartymi w
przedziale (-m, rc).
-44-
Klasyfikacjazbioru G
",.kto1epołozonesą
W pracy Il] pokazano,Że zbioremtakichpunktowogniskG
jesthiperbolao potosiachai c (rys.5).
wzjręal* arugie;osi stozkowej
ekstremalnie
rys.5
zbior G moŻnapodzielicna podzbiory :
W oparciu o tę własność
w punktachrzeczywistych roznych,
A. zaulterającyokręgi podwojnie sĘczne do stozkowej
styczne,
B: zawierającyokręgi nadściśle
w punktach urojonych sprzęzonych,
C.. zautterającyokręgr podwojnie styc,ne do stozkowej
w punktach urojonych.
D.. zavtierającyokręgi urojone podwÓjnie styczne do stozkowej
są prostymi urojonymi.
Przyporządkowane tym ogniskom uogolnione kierownice
jako pary nie sprzęzonychprostych
Zwykłeogniska urojone stozkowej interpretowane
zaliczanty do zbioru D'
izotropolvych
Dla ognisk elipsy nalezącychdo zbioru G:
.4: promienie sązawarte w prze dzia|e..o,!)D
w przedzia|eęi
środki
c'
c',
,i-) ,
kierownice w Przedziale (-b,b);
sąrÓwn
B. promienie
" f,,
-45-
)
y -tb;
y _+,kierownice mająwspotrzędne
mająwspołrzędne
środki
b'
1
C: promieniesązawartew przedziale(_*,_T),
1''
(_*,_+),(|,-),
w przedziałach
środki
kierownice w przedziałach(-oo,_b),(Ó,-);
D: promieniesą urojone,środkii kierownicesą elementamiurojonymiokreślonymi
wspołrzędnymizawartymi w prze dzia|e(--, *) .
Dla uogolnionychognisk hiperbolinależącychdo zbioru G:
,{: promieniesą zawattew przedzia|e1a,a),
środkiw przedzia|e (--, *) ,
kierownice w Przedziale (-m, m);
B: dla hiperboli zbior B jest zbiorem pustym;
C: dla hiperboli zbior Cjest zbiorem pustym;
urojonymi
D: prorrrieniesą bądźrÓwne zero bądźurojone,środkii kierownice są elementami
zavłartymiw przedziale (-oo, co) '
LITERATURA:
'.UogÓlnioneogniskastozkowej'',ZeszytyNaukoweGeometriaX, Poznafi
t978.
''Stozkoweokreślone
styczną'',
punktami,stycznymioraz stożkowąściśle
[2) I.Kaczmarek:
RozprawyP.P. 1968.
''Generalised
Foci of Sphero.Conic,,
, ZeszyĘ Naukowe
[3].J Kaczmarek cz. irętki:
Geometria)O(, Poznafi1995.
[1].Cz. Prętki:
FOCI AT{D GENERALISED
OF GENERALISED
CLASSIFICATION
DIRECTRTCES OF PLA}TAR CONICS
This paper quotes author's definitions [1] and illustrates them with some drawings.
for
Variability intervals for radii and centres of generalised foci and variability intervals
an
generalis.d di.".trices are given for two sets F and G of these concepts introduced for
four
and
five
into
łtp,. and a hyperbola and for its set F for a parabola The sets are divided
justified by the drawing 4,
subsets,respectively,according to the work [l]. (The division is
quoted from the work [l], that suggests geometrical interpretation of these generalised
concepts.)
Recenzent : Dr hab. inz. Ludmiła CZECH. prof. Politechniki Częstochowskiej
-46-