Elementy teorii gier, Matematyka WPPT semestr zimowy 2013/2014

Elementy teorii gier, Matematyka WPPT
semestr zimowy 2013/2014
V lista zadań
1. Łącząc ze sobą operatory występujące w dowodzie twierdzenia Federgruena ze schematem dowodu
twierdzenia Kuhna (o istnieniu równowagi w strategiach czystych w grze z pełną informacją),
pokaż, że jeśli gra stochastyczna ze skończonymi zbiorami akcji graczy i przeliczalnym zbiorem
stanów kończy się na T -tym etapie, to ma równowagę w strategiach markowskich.
2. Znajdź równowagę w strategiach markowskich w odpowiedniku gry z wykładu (z dwuosobową
fabryczką) kończącym się na T -tym etapie. Zapisz je w postaci rekurencyjnej, bez wyliczania
dokładnych wartości dla każdego t.
Uwaga: Żeby strategie znalezione przy pomocy przyrównywania pochodnych cząstkowych do
zera były najlepszymi odpowiedziami na strategie przeciwników, trzeba pokazać, że odpowiednie
funkcje wypłaty są wklęsłe.
3. Rozważ następującą grę dwóch pijaków: Każdy z graczy może być w jednym z trzech stanów:
trzeźwy (si = 0), na rauszu (si = 1) albo spity do nieprzytomności (si = 2). Na każdym z
(nieskończenie wielu) etapów gracze dostają „wypłaty”: po 0, jeśli obaj są trzeźwi jednocześnie
lub jeśli leżą już pod stołem nieprzytomni (tyle dla każdego nieprzytomnego, niezależnie od stanu
przeciwnika); po 2, jeśli obaj są pijani, ale świadomi (bo wtedy zabawa jest najlepsza), 1 dla
pijanego i −1 dla trzeźwego, jeśli tylko jeden jest pijany i świadomy, 1 dla pijanego i świadomego
oraz 0 dla trzeźwego, jeśli przeciwnik wylądował już pod stołem. Na każdym etapie gracze ponad
to podejmują decyzje, czy się napić. Efektem tych decyzji jest (możliwa) zmiana stanu. Jeśli gracz
był trzeźwy i się napił, to z prawdopodobieństwem 21 pozostaje trzeźwy, a z prawdopodobieństwem
1
2 się upija; jeśli jest pijany i się nie napił, to z równymi prawdopodobieństwami może wytrzeźwieć
lub pozostać w dotychczasowym stanie; jeśli jest pijany i się znowu napił, z prawdopodobieństwem
1
1
2 pozostaje w dotychczasowym stanie, a z prawdopodobieństwem 2 ląduje pod stołem. Jeśli jest
trzeźwy i nie pije, pozostaje w dotychczasowym stanie; gdy jest już nieprzytomny, nie podejmuje
więcej żadnej decyzji, tylko leży sobie pod stołem do końca świata.
(a) Opisz zbiory akcji i stanów tej gry oraz zapisz prawdopodobieństwo przejścia do kolejnego
stanu.
(b) Pokaż, że dla dostatecznie dużych wartości współczynnika dyskonta β (jak dużych?) równowagą w tej grze jest para strategii, w których trzeźwi piją, a pijani nie.
(c) Udowodnij (najlepiej bez używania punktów stałych operatorów, a zamiast tego analizując,
co będzie się działo na pierwszych etapach gry, i dlaczego to, co zdarzy się dalej, nie będzie
miało znaczenia), że dla małych wartości β (tu też spróbuj wskazać wartość graniczną,
poniżej której to na pewno będzie równowaga) strategie w równowadze będą nakazywały
pić aż do momentu, gdy przeciwnik wyląduje pod stołem, a od tego momentu (jeśli to
możliwe, tzn. jeśli my nie leżymy razem z nim) pić na trzeźwo i nie pić po pijaku.
4. Dwóch graczy uczestniczy w pojedynku jednostrzałowymi pistoletami. Ustawiają się w odległości n kroków, a następnie zbliżają do siebie, wykonując ruchy na przemian. Gracz, na którego
przypada ruch, może albo wystrzelić, albo zrobić krok do przodu, chyba że jest już w odległości
1 kroku od przeciwnika – wtedy musi wystrzelić (jeśli ma czym). Prawdopodobieństwo trafienia
z odległości k kroków wynosi k1 . Jeśli jeden z graczy strzelił i trafił, gra kończy się jego wygraną.
Jeśli nie trafił, zakładamy, że przeciwnik wie, że strzał został oddany i z tą wiedzą kontynuuje
swoje ruchy. Znajdź równowagę w tej grze. Załóż, że stanem gry jest trójka złożona z odległości
między graczami oraz informacji o tym, czy gracze już wystrzelili oraz, że strategie graczy są
stacjonarne (nie zależą od etapu gry).
Wskazówka: Zauważ, że (mimo że strategie nie zależą od czasu) strategie w równowadze można
liczyć rekurencyjnie.