Możliwości wykorzystania i pomocy matematyki w

Zespół Szkół Mechanicznych Elektrycznych i Elektronicznych
mgr inŜ. Michał Strom
Możliwości wykorzystania i pomocy matematyki w
nauczaniu elektrycznych przedmiotów zawodowych
Wstęp
Matematyka jest dziedziną wiedzy, która ma zastosowanie niemal we
wszystkich innych dziedzinach. Przedmioty zawodowe wymagają znajomości matematyki
w szczególnym stopniu. Na przedmiotach zawodowych często korzysta się z róŜnych
wzorów, które w sposób matematyczny opisują róŜne zjawiska występujące w technice.
W celu wykonania obliczenia interesujących nas wielkości niejednokrotnie trzeba
wspomniane wzory przekształcić do dogodnej postaci. W technice często określa się,
w jaki sposób zmienia się jeden z parametrów w zaleŜności od innego, gdy pozostałe są
stałe. Najwygodniej jest to przedstawić w formie graficznej, czyli na charakterystyce.
Zachodzi tu więc konieczność poprawnego odczytywania wartości parametrów z takiej
charakterystyki oraz szybkiego oszacowania na podstawie jej kształtu, jak będzie
zachowywało się urządzenie techniczne przy zmianie pozostałych parametrów. WaŜna
jest równieŜ umiejętność sporządzenia wykresu na podstawie podanego wzoru, aby móc
łatwiej określić własności urządzenia, czy zjawiska. Od pewnego czasu daje się zauwaŜyć,
Ŝe uczniowie zwłaszcza młodszych klas, mają problemy z omawianymi tu
umiejętnościami, czyli przekształcaniem wzorów, odczytywaniem róŜnych parametrów
z charakterystyk, a zwłaszcza z ich rysowaniem na podstawie równania matematycznego
opisującego zaleŜność między parametrami. Na takich przedmiotach zawodowych, jak
między innymi maszyny elektryczne, napęd elektryczny, energoelektronika, występuje
sporo zagadnień, które są opisywane wzorami i charakterystykami. Przykładami mogą być
następujące tematy: „Charakterystyki mechaniczne silników prądu stałego”, (indukcyjnych
itd.), „Kształtowanie charakterystyk mechanicznych silników”, „Charakterystyki prądnic”,
„Sprawność silników, prądnic, transformatorów”, itp. PoniewaŜ wzorów i wykresów
charakterystyk uŜywa się na przedmiotach bardzo często, doszedłem do wniosku, Ŝe
naleŜy podjąć pewne działania, aby lepiej wyjaśniać te zagadnienia. Na pewno nie da się
tego zrobić na jednej lekcji. Ćwiczenia dotyczące przekształcania wzorów i rysowania
charakterystyk naleŜy przeprowadzać niemal na kaŜdych zajęciach. RównieŜ matematyka
i jej nauczyciele mogą wnieść spory wkład w poprawę tych umiejętności u uczniów. Na
przykład na matematyce moŜna rozwiązywać zadania z wykorzystaniem funkcji będącej
opisem pewnych zjawisk fizycznych, czy teŜ własności urządzeń technicznych.
Przekształcanie wzorów
Przekształcanie wzorów występuje bardzo często przy rozwiązywaniu róŜnych
zadań i problemów na zajęciach z przedmiotów zawodowych. Jedną z przyczyn braku
umiejętności ich przekształcania jest z pewnością niezrozumienie lub niedouczenie się
przez uczniów wcześniej omawianych zagadnień związanych z zagadnieniami
omawianymi na lekcjach np. maszyn elektrycznych. Zjawisko to występuje w mniejszym
lub większym stopniu we wszystkich klasach. Przeszkodą w sprawnym przekształcaniu
niektórych wzorów jest na pewno duŜa liczba parametrów, od których zaleŜy jeden z nich.
ZauwaŜyłem tutaj, Ŝe prostsze wzory, które zawierają małą ilość zmiennych (np.
mgr inŜ. Michał Strom - MoŜliwości wykorzystania i pomocy matematyki w nauczaniu …
2
wzór na moc P=UI) nie stwarza Ŝadnych problemów. Inne wzory, z większą ilością
Pwy
zmiennych, (np. U=E-(Ra+Rd)I, η =
), które przekształca się przy pomocy
Pwy + ∆P
podstawowych działań algebraicznych, takich jak: dodawanie, odejmowanie, mnoŜenie
i dzielenie sprawiają juŜ problemy większej grupie uczniów. JeŜeli zaś chodzi o te
najbardziej złoŜone zaleŜności, które naleŜy przekształcać stosując bardziej złoŜone
t
− 

działania, jak potęgowanie, pierwiastkowanie czy funkcję wykładniczą (np. υ = υ u 1 − e T  ,


υ gd − υ o
I dd =
) zauwaŜyłem, Ŝe sprawiają trudności niemal wszystkim. ZauwaŜyłem
RS
równieŜ, Ŝe najwięcej problemów stwarza uczniom przekształcanie wzorów ogólnych, czyli
takich, które nie zawierają w sobie Ŝadnych wartości liczbowych. JeŜeli np. w zadaniu są
podane wartości liczbowe, większość uczniów najpierw podstawia je pod zmienne
i upraszcza całe wyraŜenie czyniąc je łatwiejszym do dalszych przekształceń. Oczywiście
jest to dobry sposób, ale dość powaŜnie spłyca całe zagadnienie czyniąc niemoŜliwym
zaobserwowanie pewnych zaleŜności. Nasunęło mi to myśl, Ŝe opisywany przeze mnie
problem moŜe mieć głębsze podłoŜe, związane z matematyką. Największą trudnością dla
uczniów jest wykonywanie działań przeznaczonych dla liczb uŜywając zmiennych (liter,
które w ogólny sposób reprezentują liczby). ZauwaŜyłem równieŜ, Ŝe uczniowie łatwiej
sobie radzą z przekształcaniem wzorów, jeŜeli zastąpi się występujące zmienne literami
występującymi bardzo często w matematyce (x, y, z itp.).
W celu wyeliminowania problemu nieumiejętności przekształcania wzorów
naleŜy dokładniej wyjaśniać kaŜdy bardziej skomplikowany wzór. PoniewaŜ wymaga to
niewiele czasu, moŜna to robić niemal przy kaŜdej okazji. Na przykład, jeŜeli zachodzi
P − ∆P
potrzeba przekształcenia wzoru: η = we
w celu obliczenia ∆P najpierw stosuję
Pwe
2 − ∆P
2− x
podstawienie: η =
, a jeszcze lepiej y =
. Okazuje się, Ŝe uczniowie o wiele
2
2
szybciej dokonują odpowiednich przekształceń, gdy występują tylko dwie zmienne i w tym
przypadku otrzymują: x=2(1-y). Po przekształceniu oczywiście naleŜy z powrotem
w miejsce wykorzystanych liczb (tu 2) podstawić zamieniony symbol (tu Pwe) oraz
w miejsce x i y pozostałe zmienne (tu η i ∆P), aby otrzymać: ∆P=Pwe(1-η).
Podobny problem występuje przy obliczaniu pochodnych. Przykładem moŜe tu być prawo
dφ
indukcji Faraday’a: e = − z
gdzie φ = φm sin (ωt ) . NaleŜy w tym przypadku we wzorze:
dt
d (sin (ωt ))
d (sin (ωt ))
e = − zφ m
obliczyć pochodną funkcji trygonometrycznej:
. JeŜeli
dt
dt
d (sin (ax ))
powyŜszy wzór napiszę uŜywając zmiennych stosowanych w matematyce:
lub
dx
po prostu: (sin(ax))’, większość uczniów zauwaŜa podobieństwa i łatwiej dochodzi do
prawidłowego rozwiązania. Oczywiście naleŜy tu równieŜ rozróŜnić moŜliwości uczniów
zdolnych, średnio zdolnych i mało zdolnych. Jednak zmiana zmiennych na
„matematyczne” mocno pomaga w przekształceniach wzorów. Opisywaną zamianę nazw
zmiennych naleŜy robić raz w czasie wprowadzania danego tematu i po wykonaniu
przekształceń z powrotem podmienić zmienne oraz pokazać przekształcenia uŜywając
oryginalnych zmiennych.
mgr inŜ. Michał Strom - MoŜliwości wykorzystania i pomocy matematyki w nauczaniu …
3
Rysowanie i odczytywanie z wykresów funkcji
Podobny problem występuje przy rysowaniu wykresów na podstawie wzoru
opisującego jakieś prawo lub właściwość urządzenia technicznego. Chodzi tu zarówno
o dokładne, wyskalowane odpowiednio wykresy jak i o odręczne szkice tych wykresów
potrzebnych jedynie do określenia charakteru zmian rozpatrywanej wielkości (rośnie,
maleje, jest stała itp.). W tym przypadku zauwaŜam podobne tendencje jak przy
przekształcaniu wzorów. Proste zaleŜności, które zawierają mniej zmiennych, uczniowie
są w stanie naszkicować niemal bezbłędnie (czasami błędy się zdarzają) i stosunkowo
szybko. Przykładem moŜe tu być prawo Ohma U=IR, gdzie po przekształceniu moŜna
U
uzyskać zaleŜność I = , dla której wykresem I=f(U), przy R=const. jest prosta rosnąca
R
przechodząca przez początek układu współrzędnych lub hiperbola dla I=f(R), przy
U=const. W przypadku tych wykresów czasami trzeba sobie pomóc zastępując stałe
2
U
oraz I = albo jednocześnie stosując zmienne
wartościami liczbowymi np. I =
5
R
x 1
2
„matematyczne” x i y: y = = x = 0,2 x oraz y = . Po takich zamianach nie ma juŜ
5 5
x
wątpliwości, Ŝe chodzi o prostą (rys. 1.) i hiperbolę (rys. 2.).
Rysunek 1.
Rysunek 2.
Nieco większe problemy stwarzają zaleŜności bardziej skomplikowane, które
P
zawierają np. potęgi, pierwiastki (P=I2R, co po przekształceniach daje R=P/I2 i I =
.
R
WiąŜe się to oczywiście z bardziej skomplikowanym, wymagającym większej wiedzy
matematycznej przekształcaniem wzorów. Jeszcze więcej problemów stwarzają wykresy
zaleŜności zawierające poza podstawowymi działaniami, funkcje standardowe takie jak
sin(x), cos(x), ex itp. Tutaj uczniowie popełniają sporo błędów, gdy wielkość, która ma być
stałym parametrem jest argumentem funkcji trygonometrycznej. Np. dla zaleŜności
P=UIcos(ϕ), gdy trzeba narysować wykres P = f(I), przy U, ϕ = const., co jest oczywiście
prostą, rysują kosinusoidę. Sporą przeszkodą w przezwycięŜeniu tego przypadku jest dość
silnie wyrobiony nawyk, Ŝe osie są oznaczone, jak w matematyce, literami x i y.
ZauwaŜyłem to w róŜnych klasach, Ŝe jeŜeli zmienną zaleŜną i niezaleŜną, nawet
w najtrudniejszych wzorach zastąpić właśnie zmiennymi x i y, a pozostałe zmienne,
stałymi np. a, b itd. problemy z narysowaniem wykresu są sporo mniejsze, (np. aby
narysować wykres P=f(I) z wzoru P=UIcos(ϕ) przedstawiamy jako y = acos(b)x = acx =
a’x). Otrzymujemy tu oczywiście prostą. Wzory zawierające wiele parametrów sprawiają
oczywiście najwięcej problemów. Tutaj niemal zawsze muszę stosować podstawienia.
W zaleŜności od tego co chcemy narysować, rozwiązanie nieraz moŜe się mocno róŜnić.
Na przykład wykorzystując wzór na charakterystykę mechaniczną silnika prądu stałego:
mgr inŜ. Michał Strom - MoŜliwości wykorzystania i pomocy matematyki w nauczaniu …
U ( Ra + Rd )
−
M otrzymujemy róŜne wykresy. W celu narysowania zaleŜności ω=f(M)
cφ
c 2φ 2
a (d + e )
podstawiając stałe i zmienne „matematyczne” otrzymamy y = − 2 2 x = A − Bx gdzie
bc b c
(d + e)
a
A=
, B = 2 2 ). Jest to prosta malejąca przechodząca przez I, II i IV ćwiartkę układu
bc
b c
współrzędnych (rys. 3.). Natomiast, aby uzyskać wykres ω=f(U) otrzymamy prostą
(c + d )
1
x (c + d )
− 2 2 e = Ax − B gdzie A =
, B = 2 2 e (rys. 4.)).
rosnącą ( y =
ab a b
ab
a b
4
ω=
Rysunek 3.
Rysunek 4.
Powiązany z rysowaniem wykresów problem to odczytywanie wartości
z wykresu (graficznej prezentacji charakterystyki). W przypadku pojedynczych wykresów
w zasadzie nie ma problemów, zdecydowana większość uczniów orientuje się
i prawidłowo dokonuje odczytu. Nieco gorzej jest z rodzinami charakterystyk, które
przedstawiają zaleŜność między dwoma parametrami, dla kilku wartości trzeciego
parametru, który dla danej charakterystyki jest uwaŜany za stały, (np. wykres
charakterystyk mechanicznych silnika obcowzbudnego dla róŜnych napięć zasilających:
U (R + R )
ω = − a 2 2 d M , czyli ω = f (M ) dla napięć U1, U2, U3 = const. itd.).
cφ
cφ
Podsumowanie
Problem nieumiejętności lub słabej umiejętności przekształcania wzorów
i rysowania wykresów jest problemem ciągłym. Wymaga to więc ciągłych oddziaływań
i sprawdzania osiągniętych efektów. UwaŜam, Ŝe obie umiejętności przekształcania
wzorów oraz rysowania i odczytywania wykresów trzeba rozpatrywać łącznie: kaŜdy wzór
naleŜy przekształcić i narysować wykres lub opisać występujące zaleŜności. Jednocześnie
chciałbym zwrócić uwagę nauczycieli matematyki na istniejący problem. Sądzę, Ŝe na
matematyce równieŜ moŜna zajmować się funkcjami, które są przydatne na przedmiotach
zawodowych, jak i moŜna nazywać zmienne innymi literami niŜ standardowe x, y czy z.
Z pewnością to nie zaszkodzi matematyce, a mocno moŜe pomóc innym dziedzinom
wiedzy.
mgr inŜ. Michał Strom
nauczyciel przedmiotów zawodowych
w ZSMEiE w Toruniu