Metoda stabilizacji

Metoda stabilizacji
Metoda stabilizacji
Mirosław Bylicki
Instytut Fizyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika
Wykład monograficzny
Strona 1
Metoda stabilizacji
Metoda stabilizacji jest najprostszą metodą pozwalającą na wyznaczenie przybliżonych energii stanów rezonansowych i — w jej bardziej
zaawansowanej wersji — szerokości poziomów rezonansowych.
Jest ona połączeniem metody Ritza ze skalowaniem współrzędnych.
Najważniejszym przybliżeniem jest zastosowanie funkcji normowalnych (całkowanych z kwadratem) do opisu stanów rezonansowych,
o których wiadomo, że nie dają się unormować do jedynki.
Uzasadnienie tego przybliżenia:
a) W zerowym przybliżeniu, rezonans to stan zlokalizowany (“związany”).
Teoria Fano oparta jest na zakłożeniu stanu związanego opisanego
unormowaną funkcją ϕo , zatopionego w kontinuum nienormowalnych
stanów rozproszeniowych.
b) Zamknijmy układ w pudle. Funkcje falowe będą ograniczone przestrzennie (całkowalne z kwadratem). Jeśli pudło jest wystarczająco duże, to jego
wpływ na własności interesującego nas układu nie będzie istotnie duży.
Wykład monograficzny
Strona 2
Metoda stabilizacji
Zakładamy, że dana jest baza funkcji
{φi (~r1 , ~r2 , · · · , ~rN )}M
i=1 .
Są one unormowane i określone jednoznacznie (nie ma w nich
nieokreślonych parametrów, które możnaby zmieniać, dopasowywać).
Gdyby zastosować tę bazę w metodzie Ritza, to jedynymi
parametrami wariacyjnymi byłyby współczynniki rozwinięcia
(parametry liniowe).
Wprowadzimy dodatkowo jeden parametr nieliniowy, wspólny dla
wszystkich funkcji bazowych. Będzie to parametr skalowania
współrzędnych
~ri → ρ~i = α~ri .
Mamy więc bazę funkcji
r1 , ~r2 , · · · , ~rN ) ≡ φi (α~r1 , α~r2 , · · · , α~rN ),
φα
i (~
Wykład monograficzny
i = 1, . . . , M.
Strona 3
Metoda stabilizacji
Funkcja próbna, którą mamy wariacyjnie optymalizować, ma postać
X
ψ̃(~r1 , ~r2 , · · · , ~rN ; c1 , · · · , cM , α) =
c i φα
i.
i
Funkcjonał staje się funkcją M + 1 zmiennych (α i ci , i = 1, . . . , M )
K[ψ] → K[ψ̃] = K(c1 , · · · , cM , α).
Warunek znikania wariacji funkcjonału, δK = 0, przekłada się na
znikanie pierwszych pochodnych cząstkowych po wszystkich
parametrach
∂K
∂K
= 0.
= 0 dla i = 1, . . . , M oraz
∂ci
∂α
Warunki
∂K
∂ci
= 0 prowadzą do równania macierzowego
H αC α = EαSαC α.
Ponieważ macierze hamiltonianu H α i nakrywania S α zależą od α, to
Wykład monograficzny
Strona 4
Metoda stabilizacji
rozwiązania — wartości własne E i wektory własne C — też będą od
α zależne. Ta zależność energii od parametru skalowania, jest trudna
do ujęcia analitycznego, dlatego w praktyce rozważa się ją
numerycznie. Wykonuje się serię obliczeń dla kolejnych,
zmieniających się w sposób systematyczny, wartości parametru α.
Każdy taki krok, dla jednej ustalonej wartości α, to obliczenia
metodą Ritza, których wynikiem jest M pierwiastków równania
sekularnego. Są one oczywiście dyskretne, choć przynajmniej część
spośród nich reprezentuje ciągły zakres energii. Co więcej, pewne
szczególne pierwiastki reprezentują przybliżone energie interesujących
nas stanów rezonansowych. Niestety, mając M takich pierwiastków z
pojedynczego rachunku (dla jednej wartości α) nie jesteśmy w stanie
ustalić ich tożsamości. Nie wiemy, które należy przypisać
rezonansom. Dopiero analiza zachowania pierwiastków ze względu na
zmiany α pozwala znaleźć te rezonansowe.
Wykład monograficzny
Strona 5
Metoda stabilizacji
Stabilizacja
Wykreślamy więc zależność kolejnych pierwiastków od α i poszukujemy miejsc spełniających wynikający z zasady wariacyjnej wymóg:
∂Ei ∂K ∂α αo = 0. Oznacza on ∂α α(i) = 0 dla poszczególnych pierwiastków
o
(i)
i = 1, · · · , M. Chodzi zatem o znalezienie miejsc (αo ) stabilizacji
danego pierwiastka. Mogą to być ekstrema lub punkty przegięcia. Te
które ujawniają się w obszarze przewidzianym dla ciągłego widma
energii, przypisujemy (ostrożnie!) rezonansom.
Wykład monograficzny
Strona 6
Metoda stabilizacji
Skalowanie jako “skanowanie” kontinuum
Dyskretne pierwiastki otrzymane metodą Ritza reprezentują
kontinuum energii w sposób wielce przypadkowy. Zależą od
wybranych funkcji bazowych, ich parametrów, a w szczególności —
od aktualnej wartości parametru α. Systematyczne zmienianie
parametru skalowania α w odpowiednio dużym zakresie, i zebranie
pierwiastków otrzymanych dla wszystkich wartości α daje bardziej
reprezentatywny obraz kontinuum. To pokrycie kontinuum, choć
ciągle dyskretne, daje niezły opis jego rzeczywistych własności, np.
gęstości stanów lub pojawiania się rezonansowych energii.
Na rysunku obserwujemy monotoniczny wzrost energii ze wzrostem
parametru skalowania α. Jest to spowodowane charakterem funkcji
bazowych: dla coraz mniejszego α są one coraz bardziej rozmyte
(mają coraz większy zasięg); coraz lepiej opisują niezwiązany układ
na dużych odległościach, dla których odpychanie pomiędzy
Wykład monograficzny
Strona 7
Metoda stabilizacji
niezwiązanym częściami układu jest coraz słabsze (dodatnia energia
odpychania coraz mniejsza).
To zachowanie zaburzone jest miejscową stabilizacją energii (punkty
przegięcia). Przejściowa stabilizacja pierwiastka jest przekazywana
następnemu, który “dodarł” do poziomu rezonansowego, potem
następnemu itd. Powstawają tzw. antyskrzyżowania poziomów
(avoided crossings). Nie dochodzi do przecięcia dwóch krzywych, bo
widmo energii (w rozważanym przypadku) jest niezdegenerowane.
Dwa pierwiastki, które ze zmianą α zbliżają się do siebie, zaczynają
się “odpychać”. Jest to przejaw tego oddziaływania, które w teorii
Fano opisane jest elementem macierzowym VoE . Przecież jeden z
pierwiastków (ten stabilny) reprezentuje stan rezonansowy, a drugi
(ten rosnący) odpowiada stanowi niezwiązanemu. Analiza odległości
antykrzyżujących się linii pozwala oszacować szerokość poziomu
rezonansowego Γ = 2π|VoE |2 .
Wykład monograficzny
Strona 8
Metoda stabilizacji
Określenie rezonansu na podstawie gęstości stanów
Rozkład stanów
• dyskretny: w punkcie Ej mamy nj stanów
• ciągły: gęstość stanów ρ(E)
na przedział energii hE, E + dEi przypada dN = ρ(E)dE stanów.
Rozkład dyskretny też można zapisać w postaci funkcji gęstości
stanów:
X
nj δ(E − Ej ),
ρ(E) =
j
lub w przypadku bez degeneracji (nj = 1):
X
δ(E − Ej ).
ρ(E) =
j
Wykład monograficzny
Strona 9
Metoda stabilizacji
W metodzie stabilizacji widmo ciągłe jest zdyskretyzowane
{Ej (α)}M
j=1
(M −wymiar przestrzeni próbnej).
Przywróćmy mu ciągłość
ρα (E) =
X
δ(E − Ej (α)).
j
Ze względu na “przypadkową” zależność od α, uśredniamy rozkład
po pewnym zakresie α ∈ hα1 , α2 i :
=
1
α2 −α1
1
α2 −α1
=
1
α2 −α1
ρ(E) =
R α2
α
R α12
α1
ρα (E)dα =
δ(E − Ej (α))dα =
−1
P dEj j dα Ej (αi )=E W tak odtworzonym rozkładzie stanów znajdziemy teraz stany
rezonansowe.
Wykład monograficzny
Strona 10
Metoda stabilizacji
Do gęstości stanów wkład mają stany rozproszeniowe (“czyste”
niezwiązane) i rezonansowe
ρ(E) = ρrozproszeniowe (E) + ρrezonansowe (E).
Wkład od wszystkich rezonansów jest następujący
1 X
Γk
.
ρrezonansowe (E) =
2 + 1 Γ2
2π
(E
−
E)
k
4 k
k
Każdy rezonans daje typowy lorentzowski przyczynek, zanikający
dość szybko w miarę oddalania się od energii rezonansu. Z drugiej
strony, ρrozproszeniowe (E) jest funkcją wolno(!)-zmienną, tak że na
skończonych, ale niewielkich przedziałach energii można traktować ją
jako stałą, ρrozproszeniowe (E) ' ρo . Rozpatrując zatem mały przedział
energii w otoczeniu rezonansu r, można przyjąć
ρ(E) = ρo +
Wykład monograficzny
Γr
1
.
1
2
2
2π (Er − E) + 4 Γr
Strona 11
Metoda stabilizacji
Mamy tu trzy parametry: ρo , Er i Γr , które należy dopasować tak,
aby ta teoretyczna krzywa rozkładu jak najlepiej zgadzała się z
rozkładem odtworzonym z rozkładu pierwiastków metody stabilizacji.
W ten sposób otrzymujemy położenie (Er ) i szerokość poziomu
rezonansowego (Γr ).
−0.1
−0.125
−0.125
E [a.u.]
−0.1
Przykład
Rezonanse 1 S e w H−
Wykład monograficzny
−0.15
−0.2
−0.15
(a)
0.6
0.8
1
1.2
Stabilization parameter
(b)
1.4
−0.2
0
20
40
Density of eigenvalues
60
Strona 12