Fale pod³u¿ne w pręcie

Fale podłużne
Rozważmy element pręta metalowego znajdujący się pomiędzy
dwoma przekrojami w punktach x oraz x+ ∆x
x
σ(x)
x+∆x
σ(x+∆x)
σ(x) - naprężenie
ψ ( x, t ) ψ ( x + ∆x, t )
(wychylenia względem położenia
równowagi)
Poddajmy pręt odkształceniu (naciskamy, uderzamy pręt) w kierunku x.
Odkształcenie to będzie propagować się w pręcie dzięki powstającym
w nim naprężeniom…
Można przyjąć, że średnie przemieszczenie jakiego doznaje środek masy
elementu pręta zawartego pomiędzy x oraz x+ ∆x wynosi ψ ( x, t )
Zatem równanie ruchu tego
elementu ma postać:
∂ 2ψ ( x, t )
ρS∆x
= Sσ ( x + ∆x) − Sσ ( x)
2
∂t
Gdzie S – powierzchnia przekroju poprzecznego pręta, ρ - gestosc preta
σ(x), σ(x+∆x) – naprężenia, odpowiednio w punktach x oraz x+∆x
Stąd:
σ ( x + ∆x) − σ ( x)
∂ 2ψ ( x, t )
S
ρS
=
∂t 2
∆x
W granicy
dostajemy
∆x → 0
∂ 2ψ ( x, t ) ∂σ
ρ
=
2
∂t
∂x
Zgodnie z prawem Hooke’a
gdzie E - moduł Younga,
σ = εE
Względna zmiana długości
elementu ∆x
Zatem :
ε=
∂ψ ( x, t )
∂x
∂ 2ψ ( x, t ) E ∂ 2ψ ( x, t )
=
2
∂t
σ
∂x 2
Równanie analogiczne do równania
falowego opisującego drgania struny.
Prędkość fal
podłużnych w pręcie :
ul =
E
σ
Fale podłużne– fale akustyczne
Materiał
ołów
cyna
mosiądz
cynk
szkło flint
szkło crown
żelazo
ul (m/s)
1200
2730
3710
3810
4000
5300
5100
Prędkość dźwięku w powietrzu ~ 330m/s. Wiadomo więc
dlaczego Indianie przykładali uszy do szyn kolejowych…
Prędkość fal podłużnych w dużym ciele (np.. w Ziemi)
Przez ciało duże lub grube rozumiemy ciało, którego wymiary poprzeczne są dużo
większe od długości fali dźwiękowej.
Nacisk nie może rozszerzać się na boki, dochodzi do ściskania w jednym wymiarze,
tak jak w belce z uwięzionymi bokami…
Fz
Fx
Fy
Fy
Fz
Wydłużenia
wzdłuż y, z
Fx
Rozpatrzmy belkę, którą rozciągamy
wzdłuż osi x, dbając o to, aby nie nastąpiło
przewężenie w kierunkach y, z – odpowiada to
przykładaniu sił prostopadłych do x…
Wydłużenie wzdłuż kierunku x
 Fy Fz  
∆l x 1 Fx µ Fy µ Fz 1  Fx

=
−
−
=
− µ
+
 Ay Az  
lx
E Ax Y Ay Y Az E  Ax



∆l y 1  Fy
 Fx Fz  


=
− µ 
+

ly
E  Ay
A
A
z 
 x
Boki „zamocowane”
więc:
∆l y ∆l z
=
=0
ly
lz
 Fx Fy  
∆l z 1  Fz

=
− µ
+
 Ax Ay  
lz
E  Az



Fy Fz
µ Fx
=
=
Ay Az 1 − µ Ax
Stąd:
∆l x 1 
2 µ 2  Fx 1  1 − µ − 2 µ 2  Fx


= 1 −
= 
lx
E  1 − µ  Ax E  1 − µ
 Ax
Naprężenie
Wzdłuż osi x
 ∆l x
Fx  1 − µ

E
=
σx =
2 
Ax  1 − µ − 2 µ  l x
E – moduł Younga
 1− µ
 E’- efektywny moduł Younga dla
 E ciała „grubym”…
E ' = 
2 
 1 − µ − 2µ 
Sprężyste fale podłużne
w pręcie :
Sprężyste fale podłużne
w ośrodku „dużym” :
Fale poprzeczne
skręceń w pręcie:
ul =
E
ρ
u =
1− µ
(1 + µ )(1 − 2 µ )
ut =
G
ρ
∞
l
E
=
ρ
E'
ρ
G – moduł sztywności
Ponieważ G =
E
2(1 + µ )
ul > u t
G < E < E'
Fale podłużne są
szybsze niż fale
poprzeczne!
Fale sejsmiczne
Epicentrum
Ziemia
Fale podłużne P (primary)
płaszcz
P, S
PK
jądro
PKKP
Stacja
obserwacyjna
PKP
Fale poprzeczne S (secondary)
K- fale podłużne, które
przeszły przez jądro
(z niem. kern)
Fale powierzchniowe (Rayleigha i Love'a)
podłużno-poprzeczne…
http://www.pgi.gov.pl/
Rejestracja
fal sejsmicznych
• składowa pionowa -Z
• składowa pozioma wzdłuż
kierunku N-S (północ-południe)
• składowa pozioma wzdłuż
kierunku W-E
Zasada działania
sejsmografu do rejestracji
drgań poziomych.
Przy rejestracji drganiach
pionowych używa się
ciężarka na sprężynie…
http://www.pgi.gov.pl/
Fale dźwiękowe w powietrzu
Fale dźwiękowe w powietrzu to fale podłużne, w których mamy do czynienia z
przemieszczającymi się zagęszczeniami i rozrzedzeniami gazu…
Sytuacja jest więc bardzo podobna do tej z jaką mamy do czynienia w
przypadku poznanych już sprężystych fal podłużnych…
Prędkość fal
podłużnych:
ul =
E
ρ
Aby skorzystać z analogii należy wyznaczyć efektywny moduł Younga dla gazu…
∆F
-∆V
∆F
∆p =
S
V
l=
S
∆V
∆l =
S
∆F
∆l
∆V
= −E
= −E
S
l
V
∆V
∆p
∆p = − E
E=−
V
V
∆V
ε=
∆l ∆V
=
l
V
E=−
dp
V =K
dV
∆p =
V
Dla słupa gazu (cieczy) rolę modułu Younga przejmuje
moduł ściśliwości K
Prędkość dźwięku w powietrzu
Przemiana izotermiczna
(wymiana ciepła z otoczeniem)
Przemiana adiabatyczna
(brak wymiany ciepła z otoczeniem)
pV = const
pV κ = const
Vdp + pdV = 0
V κ dp + pκV κ −1dV = 0
dp
−
V = p ≡ ET
dV
ul =
−
dp
V = κp ≡ E A Efektywny moduł
dV
Younga
p
ρ
κp
ul =
ρ
Warunkach normalnych:
ulT =
p
m
= 280
ρ
s
κp
m
= 332
ul =
ρ
s
Zgodne
z doświadczeniem!
Proces przewodnictwa jest za wolny aby ciepło przepłynęło
z obszarów zagęszczeń do rozrzedzeń (czyli żeby wyrównać
temperaturę)....