Page 1 Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów
rok 2015/2016
Etap III – wojewódzki
W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi.
Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania zadania uczeo otrzymuje maksymalną liczbę punktów.
Tytuł laureata otrzymuje uczeo, który uzyskał co najmniej 16 punktów.
Tytuł finalisty otrzymuje uczeo, który uzyskał co najmniej 6 punktów i mniej niż 16.
Zadanie 1 [1 pkt.]
Trójkąty T1, T2, T3 są parami podobne każdy z każdym i mają odpowiednio pola P1, P2, P3.
𝑃
1
𝑃
Jeśli 𝑃1 = 9 oraz 𝑃3 = 16, to trójkąt T3 jest podobny do trójkąt T1 w skali:
2
2
A. 144
1
C. 12
B. 12
D.
16
9
Zadanie 2 [1 pkt.]
𝑎
Średnia arytmetyczna liczb 𝑎 𝑖 𝑏 jest równa 0,75𝑏. Wartośd ilorazu 𝑏 jest równa:
1
A. 4
3
B. 4
1
C. 2
D. 2
C. – 50
D. 49
Zadanie 3 [1 pkt.]
1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + … + 97 – 98 + 99 =
A. 50
B. 0
Zadanie 4 [2 pkt.]
Oceo prawdziwośd poniższych zdao. Jeśli zdanie jest prawdziwe – zamaluj kratkę pod literą P, a jeśli
fałszywe – zamaluj kratkę pod literą F.
P
F
□
▪
Reszta z dzielenia liczby 20163 przez 10 jest równa 6.
▪
□
2016 cyfrą po przecinku w liczbie 0,23456734567… jest cyfra 3.
□
▪
Z pojemnika, w którym jest 30 kul ponumerowanych liczbami od 0 do 29 wylosowano
jedną kulę. Prawdopodobieostwo wylosowania kulki oznaczonej liczbą pierwszą jest równe
11
.
30
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 poprawnie określi prawdziwośd dwóch zdao.
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy:
 poprawnie określi prawdziwośd trzech zdao.
Zadanie 5 [3 pkt.]
Oblicz pole kwadratu, którego przekątna jest o 1 cm dłuższa od boku. Odpowiedź zapisz w postaci
𝑎 + 𝑏 𝑐, gdzie a, b i c są liczbami całkowitymi.
Przykładowe rozwiązanie:
𝑥 – długośd boku kwadratu
𝑥 2=𝑥+1
𝑥 2−1 = 1
1
𝑥=
= 2+1
2−1
𝑃 =3+2 2
Odpowiedź: Pole kwadratu jest równe 3 + 2 2 𝑐𝑚2 .
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 poprawnie obliczy długośd boku kwadratu 𝑥 =
1
2−1
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy:
 przedstawi długośd boku kwadratu w postaci 2 + 1
lub

przedstawi pole kwadratu w postaci
1
2−2 2+1
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy:
 poprawnie obliczy pole kwadratu
𝑃 = 3 + 2 2 𝑐𝑚2
Uwaga!
Jeżeli uczeo poprawnie obliczy pole kwadratu i błędnie zapisze jednostkę (𝑛𝑝. 𝑃 = 3 + 2 2 𝑐𝑚)
to otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 6. [2 pkt.]
Karol ma w skarbonce tylko banknoty o nominałach 100 zł i 200 zł i nie ma monet. Karol obliczył, że
średnia arytmetyczna wartości wszystkich banknotów znajdujących się w skarbonce jest równa 120 zł.
Oblicz, jakim procentem liczby wszystkich banknotów znajdujących się w skarbonce jest liczba
banknotów o nominale 100 zł.
Przykładowe rozwiązanie:
𝑥 – liczba banknotów o nominale 100 zł
𝑦 – liczba banknotów o nominale 200 zł
100𝑥 + 200𝑦
= 120
𝑥+𝑦
100𝑥 + 200𝑦 = 120𝑥 + 120𝑦
20𝑥 = 80𝑦
𝑥 = 4𝑦
𝑥
4𝑦
=
= 80%
𝑥 + 𝑦 5𝑦
Odpowiedź:
Banknoty o nominale 100 zł stanowią 80% liczby wszystkich banknotów.
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 obliczy, że liczba banknotów o nominale 100 zł jest cztery razy większa od liczby banknotów
o nominale 200 zł
Uczeo otrzymuje 2 punkt, gdy:
 poprawnie obliczy, jakim procentem liczby wszystkich banknotów znajdujących się
w skarbonce jest liczba banknotów o nominale 100 zł.
Uwaga!
Jeżeli uczeo rozwiąże zadanie zakładając, że w portfelu jest 100 banknotów, to otrzymuje 0 punktów.
Zadanie 7 [3 pkt.]
E
Ze stożka o promieniu podstawy 18 odcięto stożek o promieniu podstawy 4
i otrzymano bryłę przedstawioną na rysunku. Oblicz objętośd tej bryły.
C
Przykładowe rozwiązanie:
𝐸𝐶
21 + 𝐸𝐶
=
4
18
18 𝐸𝐶 = 84 + 4 𝐸𝐶
14 𝐸𝐶 = 84
𝐸𝐶 = 6
𝑉=
1
𝜋 182 ∙ 27 − 16 ∙ 6 = 𝜋 324 ∙ 9 − 32 = 2884𝜋
3
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 poprawnie obliczy długośd odcinka 𝐸𝐶
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy:
 poprawnie obliczy długośd odcinka 𝐸𝐶 i zastosuje poprawną metodę obliczenia objętości bryły
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy:
 poprawnie obliczy objętośd bryły.
Zadanie 8 [3 pkt.]
W trójkącie prostokątnym ABC wysokośd poprowadzona z wierzchołka kąta prostego przecina
przeciwprostokątną AB w punkcie D, który dzieli tą przeciwprostokątną na odcinki o długości 3 cm oraz
5 cm. Oblicz pole trójkąta ABC.
Przykładowe rozwiązanie:
B
D
A
C
∆𝐶𝐷𝐵 ∼ ∆𝐷𝐶𝐴
𝐶𝐷
𝐷𝐴
=
𝐵𝐷
𝐶𝐷
2
𝐶𝐷 = 𝐵𝐷 ∙ 𝐷𝐴 = 15
1
𝑃 = 3 + 5 15 = 4 15
2
Odpowiedź: Pole trójkąta jest równe 4 15 𝑐𝑚2
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 obliczy, że
𝐶𝐷
2
= 𝐵𝐷 ∙ 𝐷𝐴
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy:
 poprawnie wyznaczy długośd wysokości 𝐶𝐷 = 15
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy:
 poprawnie wyznaczy pole trójkąta
𝑃 = 4 15 𝑐𝑚2
Zadanie 9 [2 pkt.]
Wiedząc, że 𝑛 jest dowolną liczbą całkowitą oraz, że liczba 𝑛7 – 𝑛 jest podzielna przez 5 wykaż, że liczba:
2𝑛7 + 13𝑛 – 5 jest również podzielna przez 5.
Z: 𝑛7 – 𝑛 = 5𝑥; 𝑥 ∈ 𝐶
Dowód
2𝑛7 + 13𝑛 – 5 = 2𝑛7 − 2𝑛 + 15𝑛 − 5 = 2 𝑛7 – 𝑛 + 15𝑛 − 5 = 10𝑥 + 5 𝑛 − 1 = 5 2𝑥 + 𝑛 − 1 .
2𝑥 + 𝑛 − 1 ∈ 𝐶.
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkty, gdy:
 zapisze liczbę 2𝑛7 + 13𝑛 – 5 w postaci 2 𝑛7 – 𝑛 + 15𝑛 − 5
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy:
 przeprowadzi pełny dowód 2𝑛7 + 13𝑛 – 5 = 5 2𝑥 + 𝑛 − 1 ; 2𝑥 + 𝑛 − 1 ∈ 𝐶.
Zadanie 10 [2 pkt.]
Na przyprostokątnych BC i CA trójkąta prostokątnego ABC zbudowano na zewnątrz kwadraty ECBD i FGAC.
Prosta AD przecina bok BC w punkcie P, a prosta BG przecina bok CA w punkcie R. Udowodnij, że odcinki
CP i CR mają równą długośd.
B
D
P
E
Przykładowe rozwiązanie:
𝐷𝐸 = 𝐸𝐶
𝐷𝐸
𝐸𝐶 + 𝐶𝐴
=
𝑃𝐶
𝐶𝐴
|𝐷𝐸|
𝐷𝐸 + 𝐶𝐴
=
𝑃𝐶
𝐶𝐴
𝑷𝑪 =
𝑫𝑬 𝑪𝑨
𝑫𝑬 + 𝑪𝑨
𝐵𝐶 = 𝐷𝐸
𝐶𝐹 = 𝐶𝐴
𝐵𝐶
𝐵𝐶 + 𝐶𝐹
=
𝐶𝑅
𝐹𝐺
𝐷𝐸
𝐷𝐸 + 𝐶𝐴
=
𝐶𝑅
𝐶𝐴
𝑪𝑹 =
𝑫𝑬 𝑪𝑨
𝑫𝑬 + 𝑪𝑨
𝑃𝐶 = 𝐶𝑅
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:

zapisze równanie 𝑷𝑪 =
𝑫𝑬 𝑪𝑨
𝑫𝑬 + 𝑪𝑨
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy:
 przeprowadzi pełny dowód.
lub 𝑷𝑪 =
𝑫𝑬 𝑪𝑨
𝑫𝑬 + 𝑪𝑨
C
R
F
G