6.1 - Mierniki oceny inwestycji finansowych

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Ćwiczenia 6
Temat:
IiE, I rok SSL
Mierniki oceny inwestycji finansowych.
1. Inwestycja finansowa – jest to ciąg płatności znanych co do wielkości i momentów występowania.
Płatność ujemna oznacza nakład inwestora, płatność dodatnia jego dochód. Jeśli w tym samym okresie
występują i nakład, i dochód, to płatnością jest suma tych dwóch wielkości. Zakładamy, że pierwsza płatność
jest nakładem, a moment jej uiszczenia jest początkiem okresu inwestycyjnego ( t = 0 ) . Wśród pozostałych
płatności przynajmniej jedna musi być dochodem (tzn. być wielkością dodatnią). Za jednostkę czasu
przyjmujemy rok.
Dokonamy oznaczeń:
n + 1 – liczba wszystkich płatności,
tj
– moment wystąpienia j-tej płatności, j = 0,1,..., n ,
Cj
– płatność w momencie t j .
Inwestycja jest zatem skończonym ciągiem płatności C0 , C1 ,..., Cn o własnościach C0 < 0, Cn ≠ 0 i C j > 0 dla
przynajmniej jednego j ∈ {1, 2,..., n} .
Długość okresu objętego inwestycją (tzn. tn ) nazywamy horyzontem czasowym inwestycji.
2. Wartość bieżąca netto inwestycji (NPV – net present value)
NPV jest sumą zdyskontowanych na moment t = 0 nakładów i dochodów z inwestycji przy ustalonej stopie
procentowej.
n
∑ C (1 + r )
=
NPV
j =0
−t j
j
W porównaniu z rachunkiem bankowym oprocentowanym według stopy r inwestycja, dla której:
•
NPV > 0 jest bardziej opłacalna,
•
NPV < 0 jest mniej opłacalna,
•
NPV = 0 jest tak samo opłacalna.
3. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR – internal rate of return)
IRR nazywamy taką roczną stopę r ∗ , dla której bieżąca wartość netto inwestycji wynosi zero. Jest ona zatem
rozwiązaniem (ze względu na r ) równania:
n
∑ C (1 + r )
j =0
j
−t j
=
0
• Dla inwestycji o pojedynczym nakładzie IRR jest maksymalną stopą, przy której inwestycja się zwraca.
• Dla kredytu konsumpcyjnego IRR i rzeczywista roczna stopa procentowa są takie same.
• Dla inwestycji o pojedynczym nakładzie i pojedynczym dochodzie IRR wyraża relację zysków do
nakładów z uwzględnieniem czynnika czasu – jest zatem miarą rentowności inwestycji.
1
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Ćwiczenia 6
3.1.
IiE, I rok SSL
Twierdzenie (o istnieniu IRR)
Dla inwestycji opisanej ciągiem płatności C j , j = 0,1,..., n , w którym znak wyrazów ciągu zmienia się
dokładnie jeden raz, istnieje dokładnie jedno dodatnie rozwiązanie równania
n
∑ C (1 + r )
−t j
j
j =0
=
0
wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność:
−
∑
j: C j < 0
Cj <
∑
j: C j > 0
Cj
4. Średni czas trwania inwestycji
Rozważamy inwestycję o pojedynczym nakładzie, tzn.: C0 < 0, C j > 0 dla j =
1, 2,..., n. Zauważmy, że
wewnętrzna stopa zwrotu takiej inwestycji istnieje i jest jednoznacznie określona (oznaczymy ją symbolem r ∗ ).
n
Dokonamy jeszcze oznaczenia:
P0 =
∑ C j (1 + r ∗ )
−t j
j =1
=
−C0 .
Średni czas trwania inwestycji (oznaczymy symbolem D) to średnia ważona momentów występowania
płatności, przy czym wagami są zaktualizowane na moment t = 0 udziały kolejnych płatności w wartości
bieżącej inwestycji.
Mamy zatem:
n
D = ∑tj
C j (1 + r ∗ )
−t j
P0
j =1
4.1. Uwagi
4.1.1.
Średni czas trwania jest pozycją środka ciężkości strumienia płatności na osi czasu (im wartość D
jest mniejsza, tym inwestycja jest bardziej korzystna).
4.1.2.
Średni czas trwania jest wrażliwy na zmianę rozmieszczenia płatności w czasie, ale nie jest
wrażliwy na zmianę skali inwestycji.
4.1.3.
Średni czas trwania wyraża przybliżony procentowy (tzn. względny) spadek ceny inwestycji na
skutek wzrostu stopy procentowej o jeden punkt procentowy, tzn.:
∆P0
≈ − D∆r
P0
2