Kolokwium I, gr. B

Fizyka Statystyczna, gr. 1
8 kwiecień 2013
Kolokwium nr 1, gr. B
Kolokwium trwa przez
całe zajęcia. Do zdoby-
Zadanie 1 (1 punkt)
cia jest 20 punktów. Jak
skończycie pisać, może-
Napisz swoje imię i nazwisko.
cie wyjść.
Zadanie 2 (3 punkty)
Cząstka skacze z punktu 1 do punktu 2 lub na odwrót. Prawdopodobieństwo P12 p∆tq przejścia
z 1 do 2 w bardzo małym czasie ∆t jest równe λ∆t, natomiast P21 p∆tq, tj. prawdopodobieństwo
przejścia z 2 do 1 w bardzo małym czasie ∆t jest równe 3λ∆t. W chwili t0 0 cząstka znajduje się
w położeniu 2. Znajdź prawdopodobieństwo P22 ptq, że cząstka w chwili t znajduje się w punkcie 2.
Za ściąganie (pierwsza
próba) minus 5 punktów. Druga próba – brak
zaliczenia.
Zadanie 3 (5 punkty)
Przykładowo świeże wi-
Prawdziwe sherry wyrabiane jest w Hiszpanii zgodnie z wielostopniowym systemem zwanym
„Solera”. Uprościmy przypadek, który omawialiśmy na zajęciach. Załóżmy, że mamy tylko dwie
beczki, A i B. Każdego roku 2{3 wina z beczki B rozlewamy do butelek, a następnie dopełniamy
beczkę B winem z beczki A. Potem beczkę A dopełniamy do pełna nowym winem. Niech Apz q,
B pz q będą funkcjami tworzącymi, dla których współczynnik przy z n jest proporcją n-letniego wina
w odpowiedniej beczce, tuż po dokonaniu przelewania.
no ma funkcję tworzącą
p q 1 z0
z
. . . 1.
S z
0 z1
0
2
i) czynności były wykonywane od niepamiętnych czasów, tak że mamy ustabilizowany stan, w
którym Apz q i B pz q są takie same na początku każdego roku. Znajdź postać zwartą dla tych
funkcji tworzących.
ii) Znajdź wartość średnią i odchylenie standardowe dla wieku wina w każdej beczce, przy tych
samych założeniach.
iii) Jaki jest średni wiek sherry, gdy się ja butelkuje? Jaka część ma dokładnie 8 lat?
Zadanie 4 (3 punkt)
Tresowana mysz żyje w pudełku podzielonym na 4 pokoje. Pokój A ma jedno przejście do
pokoju B i jedno przejście do pokoju D. Pokój B ma jedno przejście do pokoju A i dwa przejścia
do pokoju C. Pokój C ma dwa przejścia do pokoju B i jedno przejście do pokoju D. Pokój D ma
jedno przejście do pokoju C i jedno przejście do pokoju A (patrz rysunek).
Na dźwięk dzwonka mysz przechodzi z równym prawdopodobieństwem przez jedno z przejść.
Wylicz, jaką część życia mysz spędza w każdym z pokoi. Załóż, że dzwonek odzywa się regularnie
i czas między poszczególnymi dzwonkami jest dużo mniejszy niż czas życia myszy.
Zadanie 5 (4 punkt)
Oblicz gęstość entropii s S {V gazu fononowego. Skorzystaj z faktu, że dla gazu fononowego
p 13 u oraz u σT 4 , gdzie u U {V to gęstość energii, p to ciśnienie gazu fononowego, a σ to
pewna stała.
Zadanie 6 (4 punkt)
Współczynnik rozszerzalności cieplnej αp
αp
V1
V1
a
BV pewnego gazu jest opisany zależnością:
BT p
bp
cp2 .
Oblicz zmianę entropii tego gazu podczas izotermicznego sprężania. Załóż, że początkowe ciśnienie
gazu wynosi p1 , zaś końcowe p2 .
Pamiętaj,
że
energia
swobodna
GpT,pq mamy
SdT V dp.
Gibbsa
dG
dla
Powodzenia!