Wykład 1 Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów

dr Urszula Konieczna-Spychała
Instytut Matematyki i Fizyki UTP
imif.utp.edu.pl
Literatura:
M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych.
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1.
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2.
W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2.
Pomocnicze symbole.
Spójniki logiczne:
i

lub

jeżeli to

wtedy i tylko wtedy gdy 
Symbole kwantyfikatorów:
ogólny (dla każdego)

np. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.
1
x
2
0
xR
szczególny ( istnieje )

np. Nierówność x2-9>0 ma rozwiązanie.
2
x
 9  0
x R
Funkcje jednej zmiennej.
Podstawowe definicje.
Def.1
Funkcją rzeczywistą określoną na zbiorze XR o wartościach ze zbioru YR
nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi xX dokładnie jednego
elementu yY.
Oznaczenie: f: XY, y=f(x),
2
Def.2.
Dziedziną funkcji f:XY nazywamy zbiór X i oznaczamy Df.
Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną.
Z kolei zbiór
Wf.


nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy
Def.3.
Wykresem funkcji f, f: XY nazywamy zbiór


.
Wybrane własności funkcji
Def.4.
Funkcja f: XR jest okresowa jeżeli istnieje taka wartość T0, że
(x+T)X oraz f(x)=f(x+T).
Inaczej
  x  T  X   f ( x  T )  f ( x)
T  0 xX
Def.5.
Funkcja f: XR jest parzysta jeżeli
  x  X   f ( x)  f ( x) .
x X
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy.
Funkcja f: XR jest nieparzysta jeżeli
3
  x  X   f ( x)   f ( x) .
xX
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu (0,0).
Def.6.
Funkcja f jest rosnąca na zbiorze ADf , jeżeli
 x
x1 , x2 A
1
 x2   f ( x1 )  f ( x2 )
.
Def.7
Funkcja f jest malejąca na zbiorze ADf , jeżeli
 x
x1 , x2 A
1
 x2   f ( x1 )  f ( x2 )
.
Def.8.
Niech X, Y, Z, W będą podzbiorami zbioru R przy czym YZ oraz niech f: XY, g:
ZW.
Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g f: XW określoną wzorem:
 .
Def.9.
Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze ADf jeżeli
 x
x1 , x2 A
1
 x2   f ( x1 )  f ( x2 )
4
.
Uwaga:
Jeżeli funkcja jest rosnąca lub malejąca na zbiorze A to jest na nim
różnowartościowa.
Def.10.
Niech funkcja f: XY będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie . Funkcję
odwrotną do f nazywamy funkcję f-1:YX określoną przez warunek:



Wykres funkcji odwrotnej x=f-1(y) otrzymujemy z wykresu funkcji y=f(x)
odwzorowując go symetrycznie względem prostej y=x.
Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej także jest rosnąca.
Funkcja odwrotna do funkcji malejącej także jest malejąca.
Def.11.
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje:
stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i
cyklometryczne.
Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za
pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji
nazywamy funkcjami elementarnymi.
Przegląd funkcji elementarnych.
Funkcja stała

wykresem jest prosta równoległa do osi Ox
5
Funkcja liniowa

a-współczynnik kierunkowy
a>0 funkcja rosnąca
a<0 funkcja malejąca
Funkcja kwadratowa
Wyróżnik:
brak miejsc zerowych
Postać iloczynowa:
Postać kanoniczna:
,
Wykresem jest parabola,
-to wierzchołek paraboli
Wielomian W(x)
6
n- stopień wielomianu,
miejsca zerowe W(x)=0
Równanie algebraiczne:
W(x)=0 tzn.
Tw.( Bézouta).
Liczba a jest pierwiastkiem równania jeżeli wielomian W(x) jest podzielny
przez dwumian (x-a).
Tw.
Jeżeli liczba wymierna
(ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem
równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych (przy czym
ana00) to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0, a q jest dzielnikiem
współczynnika an.
Wniosek:
Pierwiastków całkowitych równania algebraicznego o współczynnikach
całkowitych wystarczy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego a0.
7
Schemat Hornera:
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0= (x-x0)( bn-1 xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0)
gdzie współczynniki bi wyznaczamy w tabeli:
x0
an
an-1
an-2
bn-1=an
bn-2=x0bn-1+an-1
bn-3=x0bn-2+an-2
...
a1
a0
b0=x0∙b1+a1
x0b0+a0=0
Uwaga:
Jeśli w ostatniej kolumnie wartość jest różna od 0
to x0 nie jest pierwiastkiem wielomianu
Funkcja wymierna
,
to wielomiany o różnych miejscach zerowych
Ułamki proste:
I rodzaju
II rodzaju
,
dla trójmianu w mianowniku
8
Funkcja potęgowa.
Dziedzina i własności zależą od wykładnika:


Funkcja pierwiastkowa
Dziedzina zależy od parzystości stopnia n.
Jeśli n jest parzyste to
Jeśli n jest nieparzyste to
9