Wzór Taylora. Badanie funkcji.

Zadania z Analizy Matematycznej I dla grupy D3 (2015/2016)
Zestaw 7
7. Wzór Taylora. Badanie funkcji.
1. Udowodnić, że wzór
√
1
1
1 + x ≈ 1 + x − x2
2
8
dla x ∈ [0, 1]
przybliża wartość pierwiastka z bledem
nie przekraczajacym
,
,
1
.
16
2. Z jaka, dokladnościa, wzór
ex ≈ 1 + x +
x2
xn
+ .. +
2!
n!
przybliża wartość ex ? Oszacować blad
, przybliżenia dla x ∈ [0, 1].
3. Dla jakich x wzór
x2
2
przybliża wartość cos x z bledem
mniejszym niż 10−4 ?
,
cos x ≈ 1 −
1,2
4. Korzystajac
z bledem
nie przekraczajacym
10−3 .
, ze wzoru Taylora obliczyć (1, 1)
,
,
5. Korzystajac
, ze wzoru Taylora z reszta, Peano obliczyć granice:
√
√
ex sin x − x(1 + x)
6
6
6
5
6
5
b) lim
a) lim
x +x − x −x
x→+∞
x→0
x3
1
2
.
c) lim x − x ln 1 +
x→+∞
x
6. Udowodnić, że
√
a) ∀x>0 ∀k∈N ln x < k k x,
b) ∀x∈R
c) ∀x>0
d) ∀x>0
1
1
2
− √ ≤ xe−x ≤ √ ,
2e
2e
1
π
arctg + arctg x = ,
x
2
arctg x
ln(1 + x) >
.
1+x
7. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykresy funkcji
3
a) f (x) = ln x−3 ln x,
2x
b) f (x) = arcsin
,
1 + x2
1
c) f (x) =
1
x e− x 2
0
dla x 6= 0
.
dla x = 0