Word Pro
Transkrypt
Word Pro
Problem decyzyjny Liniowy model decyzyjny to taki model decyzyjny w którym funkcja celu i warunki ograniczające są liniowe y cel y różne sposoby działania (decyzje) Przykładowe zagadnienia PL y warunki ograniczające (determinują zbiór decyzji dopuszczalnych) y Ustalanie asortymentu produkcji (koszty - min, zysk - max) y kryterium wyboru: umożliwia porównanie efektywności różnych decyzji dopuszczalnych z punktu widzenia celu i wybór najlepszej z nich (decyzja optymalna) y Zagadnienie diety (koszty - min) Rozwiązanie problemu decyzyjnego polega na wskazaniu w zbiorze decyzji dopuszczalnych decyzji optymalnej. Model decyzyjny to problem decyzyjny przedsatwiony w postaci modelu matematycznego y Zagadnienie rozkroju (odpady - min) y Alokacja zasobów (koszty, czas łączny, czas maksymalny - min, zysk max) Posatać matemetyczna modelu liniowego funkcja celu max(min)f(x ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ¢ + c n x n warunki ograniczające a 11 x 1 + a 12 x 2 + ¢ + a 1n x n ´ b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ¢ + a 2n x n ´ b 2 £££££££££££££ a k1 x 1 + a k2 x 2 + ¢ + a kn x n ´ b k warunki brzegowe: x1 ú 0 x2 ú 0 £ xn ú 0 y zmienne - zmienne decyzyjne, y parametry - parametry funkcji celu i parametry warunków ograniczających Model decyzyjny: f(x, ) funkcja kryterium (funkcja celu) V(x, ) = 0 układ warunków ograniczających . gdzie: gdzie: f funkcja celu x wektor zmiennych decyzyjnych zbiór parametrów funkcji celu V wektorowa funkcja warunków ograniczających zbiór parametrów warunków ograniczających Rozwiązanie optymalne to wektor wartości zmiennych decyzyjnych będących rozwiązaniem modelu decyzyjnego 1 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii x zmienne decyzyjne n liczba zmiennych decyzyjnych c współczynniki funkcji celu a współczynniki przy zmienych decyzyjnych w warunkach ograniczających k liczba warunków ograniczających b wyrazy wolne warunków ograniczających Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 2 Oznaczmy x1 x x= 2 £ xn b1 b2 b= £ bk c1 c c= 2 £ cn a 11 a 21 A= § a k1 £ £ • £ a 12 a 22 § a k2 a 1n a 2n § a kn Postać standardowa modelu PL w zapisie macierzowym max f(x ) = c x min f(x ) = c x Ax ñ b Ax ú b xú0 xú0 T T Liczba zmiennych postaci kanonicznej (n + k ) > k (liczba ograniczeń) Układ k warunków z (n + k ) zmiennymi można rozwiązać przyjmując, że k zmiennych przyjmuje wartości różne od 0, a pozostałych n zmiennych wartości równe 0. Zmienne bazowe - tworzą rozwiązanie (zmienne ! 0) B - zbiór wszystkich wskaźników wektorów bazy Baza - macierz złożona z kolumn współczynników ograniczeń przy zmiennych bazowych (B) Zmienne niebazowe - w rozwiązaniu z założenia = 0 Postać kanoniczna modelu PL gdzie s = Rozwiązanie zdegenerowane - jeśli jedna lub więcej zmiennych bazowych = 0 max f(x ) = c T x + 0s min f(x ) = c T x + 0s Ax + Is = b Ax − Is = b xú0 sú0 xú0 sú0 s1 s2 £ sk wektor zmiennych swobodnych - nadwyżki y zasobów (w ograniczeniach typu ñ) y w stosunku do niezbędnego minimum (w ograniczeniach typu ú) Zbiór (obszar) rozwiązań dopuszczalnych (ORD) jest zbiorem wypukłym tzn. wszystkie punkty odcinka łączącego dowolne dwa punkty ORD należą ORD. Rozwiązywanie modeli PL Rozwiązywanie zadania PL - porównywanie wartości funkcji celu w punktach wierzchołkowych Punkty wierzchołkowe - rozwiązania układu równań utworzonego z warunków postaci kanonicznej dla różnych kombinacji zmiennych bazowych Spsoby rozwiązywania y metoda graficzna y metody analityczne ORD ma skończoną liczbę wierzchołków algorytm simpleks Twierdzenie Weierstrassa algorytm transportowy Forma liniowa f(x ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ¢ + c n x n określona na domkniętym zbiorze wypukłym o skończonej liczbie wierzchołków osiąga swą wartość największą (najmniejszą) na brzegu tego zbioru. Wniosek Rozwiązania optymalnego zadania PL należy szukać jedynie wśród rozwiązań dopuszczalnych będących wierzchołkami ORD. Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 3 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 4 Przykład Zyski jednostkowy, jednostkowe nakłady środków produkcji i zasoby środków produkcji niezbędnych do produkcji wyrobów A i B Środki produkcji Jednostka miary Nakłady środków produkcji na Zasoby jednostkę środków produkt A (x 1 ) produkt B (x 2 ) produkcji Maszyny rh 2 4 800 Praca rh 0,5 0,5 200 Surowiec kg 6 3 1 500 4 6 Zysk jednostkowy ($/szt.) surowiec x2 5 praca 4 3 maszyny Model maksymalizacji zysków z produkcji wyrobów A i B 4x 1 + 6x 2 funkcja celu t max 2x 1 + 4x 2 ñ 800 0, 5x 1 + 0, 5x 2 ñ 200 6x 1 + 3x 2 ñ 1500 warunki ograniczające B 2 1 (maszyny ) (praca ) (surowce ) ω D x1 ú 0 x2 ú 0 warunki brzegowe C A 1 2 3 4 S X 1 - wielkość produkcji wyrobu A (w sztukach) X 2 - wielkość produkcji wyrobu B (w sztukach) 4x 1 + 6x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 warunki ograniczające 4x 2 + s 1 0, 5x 1 + 0, 5x 2 6x 1 + + s2 =0 u f (x B) = 1200 = 800 C(200, 100 ) u f( x C) = 1400 = 200 D(250, 0 ) f(x D ) = 1000 t max + s 3 = 1500 3x 2 B(0, 200 ) u u 5 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii Wykorzystanie czynników y maszyny 2 $ 200 + 4 $ 100 = 800 y praca 0, 5 $ 200 + 0, 5 $ 100 = 150 y surowiec 6 $ 200 + 3 $ 100 = 1500 6 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii III. Kryterium optymalności Algorytm simpleks Typ funkcji celu I. Zagwarantować, aby max f(x ) min f(x ) . j = zj − cj m 0 . j = zj − cj [ 0 lub . j = cj − zj [ 0 lub . j = cj − zj m 0 j bú0 j j II. Budowa postaci kanonicznej A. Zmodyfikować warunki ograniczające (postępowanie nie zależy od typu funkcji celu): 1.dodać zmienne swobodne do ograniczeń typu " ñ" j gdzie z j = c i a ij icB IV. Kryterium WEJŚCIA przy wektorze wchodzącym x p 2.dodać zminne sztuczne do ograniczeń typu " =" Typ funkcji celu max f(x ) 3.odjąć zmienną swobodną i dodać zminną sztuczną do ograniczeń typu " ú" p : p =max ( j ) lub p : p =max ( j ) lub p : p =min ( j ) j <0 Typ funkcji celu współczynniki funkcji celu przy zmiennych swobodnych V. Typ funkcji celu - nie zależy max f(x ) min f(x ) współczynniki funkcji celu przy zmiennych sztucznych cj = M r: gdzie M p 0 Jako wyjściową przyjąć bazę złożoną z wektorów współczynników stojących przy: y zmiennych swobodnych dołączonych do warunków typu " ñ" y zmiennych sztucznych dołączonych do warunków typu " =" i "ú" . j <0 Kryterium WYJŚCIA przy wektorze wychodzącym x r cj = 0 c j = −M j >0 j >0 min f(x ) min(x ) p : p =min ( j ) Zmodyfikować funkcję celu max f(x ) C. opt x1 ú 0 x2 ú 0 s1 ú 0 s2 ú 0 s3 ú 0 warunki brzegowe B. opt x 1 = 200 x 2 = 100 f( x A(0, 0 ) 2x 1 + x1 M Rozwiązanie optymalne: A) Postać kanoniczna funkcja celu 5 P br a rp =min a ip >0 bi a ip Typy rozwiazań: Nieograniczone - rozwiązanie nie jest optymalne i można wprowadzić zmienną do bazy, ale nie można żadnego wyrzucić Niejednoznaczne - w rozwiązaniu optymalnym liczba wskaźników optymalności j = 0 jest większa od k (liczby ograniczeń) Sprzeczne - rozwiązanie optymalne zawiera zmienną sztuczną przyjmącą wartość ! 0 nierówną 0 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 7 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 8 Rozwiazanie przykładu algorytmem simpleks Baza cB x1 x2 s1 s2 s3 4 6 0 0 0 Model dualny bi bi a ik Model prymalny (MP) max f(x ) = c T x Model dualny (MD) min g(y ) = b T y ATy ú c Ax ñ b s1 0 2 4 1 0 0 800 200 s2 0 1/2 1/2 0 1 0 200 400 xú0 yú0 500 min f(x ) = c T x max g(y ) = b T y s3 0 ∆j = zj-cj 6 3 0 0 1 1500 -4 -6 0 0 0 0 x2 6 1/2 1 1/4 0 0 200 400 s2 0 1/4 0 -1/8 1 0 100 400 s3 0 9/2 0 -3/4 0 1 900 200 -1 0 3/2 0 0 1200 1/3 0 -1/9 100 ∆j = zj-cj x2 6 0 1 s2 0 0 0 -1/12 1 -1/18 x1 4 1 0 -1/6 0 2/9 200 0 0 4/3 0 2/9 1400 ∆j = zj-cj 0 0 = 1, 33 0 0, 22 x1 xD x2 x opt = − − = s 1 s2 xS s3 f(x ) = 1400 ($ ) B x x opt = − − xN Oznacznia: x D −decyzyjne x S − swobodne 1 1 3 0 9 1 1 1 − 18 = B −1 b = − 12 1 2 −6 0 9 B x B − bazowe x N − niebazowe −1 2. Współczynniki funkcji celu c MP stają się wyrazami wolnymi warunków ograniczających MD 50 3. Wyrazy wolne b warunków ograniczających MP stają się współczynnikami funkcji celu MD 4. Macierz współczynników MD jest transponowaną macierzą A współczynników MP 5. Ograniczenia i zmienne w MP i MD MP (max) i-te ograniczenie typu ñ ú = zmienna xj ú 0 xj ñ 0 xj c R 800 100 200 = 50 1500 200 −1 4 0 2 = 0, 5 1 0, 5 3 0 6 1 3 1 − 12 − 16 = 0 19 1 1 − 18 0 29 9 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 0 50 = 0 200 100 800y 1 + 200y 2 + 1500y 3 warunki ograniczające t min 2y 1 + 0, 5y 2 + 6y 3 ú 4 4y 1 + 0, 5y 2 + 3y 3 ú 6 e e e 10 4/3 0 = 2/9 0 0 f(y ) = 1400 ($ ) Związki rozwiązań optymalnych MP i MD y1 ú 0 y2 ú 0 warunki brzegowe y1 y2 y opt = y 3 s1 s2 MD (min) zmienna yi ú 0 yi ñ 0 yi c R j-te ograniczenie typu ú ñ = e e e Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii Zadanie dualne funkcja celu yú0 1. Maksymalizacji wartości funkcji celu w MP odpowiada minimalizacja w MD s 2 = 50 - nadwyżka zasobów pracy w wysokości 50 rh. x2 xB = s2 x1 ATy ñ c xú0 Zasady konstrukcji modeli dualnych produkt A szt. produkt B szt. maszyny rh. rh. praca surowiec kg. 200 100 = 0 50 0 Ax ú b f(x opt ) = g(y opt ) opt - superskrypt oznaczajacy rozwiązanie optymalne Zadanie dualne w postaci kanonicznej funkcja celu 800y 1 + 200y 2 + 1500y 3 + 0s 1 + 0s 2 +Mt 1 +Mt 2 t min warunki ograniczające 2y 1 + 0, 5y 2 + 6y 3 − s 1 + t1 =4 4y 1 + 0, 5y 2 + 3y 3 − s2 + t2 = 6 warunki brzegowe y1 ú 0 y2 ú 0 y3 ú 0 s1 ú 0 s2 ú 0 t1 ú 0 t2 ú 0 Baza cB t1 t2 M M ∆j = zj-cj y3 1500 t2 M ∆j = zj-cj y3 y1 1500 800 y1 800 y2 y3 200 1500 2 4 6M800 1/3 3 3M -300 0 1 1/2 6 -1 0 1 0 1/2 3 0 -1 0 1 M- 9M-M -M 0 0 200 1500 1/12 1 -1/6 0 1/6 0 1/4 0 1/2 -1 -1/2 1 M/4 M/2 -3M/2 0 -M 0 -75 -250 + 250 1/18 1 -2/9 1/9 2/9 -1/9 1/12 0 1/6 -1/3 -1/6 1/3 -M -M -50 0 -200 -100 +200 +100 ∆j = zj-cj B −1 d = 62 34 0 −1 = 2 9 − 16 − 19 1 3 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii s1 0 opt s2 0 y B = B −1 d b= 11 t1 M 2 9 − 16 − 19 1 3 t2 M 4 = 6 B - macierz utworzona ze współczynników przy zmiennych (y D ) T bazowych rozwiązania optymalnego MP, występujących w warunkach ograniczających postaci kanonicznej MP y D - zmienne decyzyjne w rozwiązaniau optymalnym MD c B - współczynniki funkcji celu zmiennych bazowych MP bi bi a ik 4 6 2/3 2 Np. (y D ) T = 6 0 4 x B = B −1 b y B = B −1 d bd 10M 2/3 4 4M+ 1000 2/9 4/3 = (c B ) T B−1 2 4/3 4 0 2 0, 5 1 0, 5 3 0 6 −1 = 6 0 4 (y D ) T = (c B ) T B −1 = ( s ) T s T (x D ) T = (c Bd ) T B −1 d = ( d ) 1/3 0 −1/9 −1/12 1 −1/18 −1/6 0 2/9 4/3 = 0 2/9 gdzie x D − zmienne decyzyjne MP y D − zmienne decyzyjne MD MP - rozwiązanie sprzeczne MP - rozwiązanie nieograniczone p p MD - rozwiązanie sprzeczne MD - ??? (nieograniczone lub sprzeczne) 1400 2 9 4 3 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 12 T Analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Zadanie prymalne Przedziały dla współczynników funkcji celu: c1 i c2 (z j − c j © 0) Wartości bezwzględne wskaźników optymalności Optymalne wartości zmiennych Zmienne z3 − c3 = 6 0 c1 x1 200 0 s1 x2 100 0 s2 s1 0 4/3 y1 s2 50 0 y2 0 2/9 y3 decyzyjne swobodne swobodne s3 Wartości bezwzględne wskaźników optymalności Optymalne wartości zmiennych Zmienne Dla oryginalnych ograniczeń: 2 9 − 16 ( sd ) T = (x D ) T = (c Bd ) T B −1 d = 1500 800 − 19 1 3 = 1500 801 1 3 200 − = 100 + 1 6 1 3 f(x 1 ) = 1400 − 4/6 + 6/3 = T = f(x opt ) + 4/3 13 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii i=1 tzn. c 1 c …3, 12 . c1 ú 3 1/3 −1/2 ... −1/6 Podobnie wyznaczamy przedział dla c2: c 2 0 4 1/3 0 −1/9 −1/12 1 −1/18 −1/6 0 2/9 b1 200 ú 0 1500 tzn. b 1 c …500, 1400 . 1 3 b1 1 − 12 b 1 − 16 b 1 − 19 $ 1500 ú 0 1 + 200 − 18 $ 1500 ú 0 + 29 $ 1500 ú 0 b 1 ú 500 b 1 ñ 1400 b 1 ñ 2000 Podobnie wyznaczamy przedziały dla b 2 i b3. Współczynni k Dolne ograniczenie Wartość w modelu Górne ograniczenie C1 3 4 12 C2 2 6 8 Przedziały optymalności dla składowych wektora wyrazów wolnych = 200 100 Wzrost zasobów czasu pracy maszyn o 1 rh: − 19 − 69 − 29 c 1 ú 0 gdzie c 1 ñ 12 z 3 = 3 c i a i3 Przedziały optymalności dla współczynników funkcji celu Interpretacja wskaźników optymalności: o ile zmieni się wartość funkcji celu jeśli ograniczenie zmieni się o jedną jednostkę, np. wzrost limitu czasu pracy maszyn o 1 rh spowoduje zmianę rozwiązania optymalnego i wzrost wartości funkcji celu o 1.33 dolara 2 9 − 16 −1/9 −1/18 − 0 ú 0 2/9 − 16 c 1 ú 0 Przedziały dla wyrazów wolnych ograniczeń: b1 i b2 i b3 (x B = B −1 b ú 0) Zadanie dualne (x D1 ) T 6 3 i z5 − c5 = 6 0 c1 decyzyjne 1/3 −1/12 − 0 ú 0 −1/6 Współczynni k Dolne ograniczenie Wartość w modelu Górne ograniczenie b1 500 800 1 400 b2 150 200 ∞ b3 600 1 500 2 400 14 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii Zagadnienie przesyłu i alokacji (zagadnienie transportowe) Własności zagadnień transportowych y m + n równań Dane do zagadnienia transportowego Klasyczne zagadnienie transportowe Opracować plan przewozów tak aby y możliwości dostawców y zaspokoić zapotrzebowanie odbiorców y zapotrzebowanie odbiorców y macierz jednostkowych kosztów przewozu od każdego dostawcy do każdego odbiorcy y m $ n zmiennych y Każda ze zmiennych x ij występuje w ograniczeniach dwukrotnie y Współczynniki przy zmiennych decyzyjnych w warunkach ograniczających (współczynniki macierzy A) równe 0 lub 1. funkcja celu min f(x ) = c ij x ij y Rozwiązanie składa się z co najwyżej Rozwiązanie niezdegenerowane m + n − 1 dodatnich zmiennych x ij zawiera m + n − 1 dodatnich y Zawsze istnieje przynajmniej jedno zmiennych x ij bazowe rozwiząnie dopuszczalne Rozwiązanie zdegenerowane - jeśli y Zawsze posiada rozwiązanie ich liczba jest mniejsza od m + n − 1 optymalne ograniczenia dostawców j x ij = a i (i = 1, 2, ¢m ) Typy zagadnień transportowych popyt odbiorców i x ij = bj (j = 1, 2, ¢n) y zamknięte (zbilansowane) x ij ú 0 (i = 1, ¢, m, j = 1, 2, ¢n ) y otwarte y zminimalizować koszty przewozów Model zagadnienia transportowego warunki brzegowe i j Zadanie zamknięte (zbilansowane) a i = b j i gdzie m liczba punktów nadania (dostawców) n liczba punktów odbioru (odbiorców) ai ilości ładunku u dostawców (i = 1¢m ) bj zapotrzebowanie odbiorców (j = 1¢n ) c ij jednostkowe koszty przewozu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy (i = 1¢m, j = 1¢n ) x ij wielkość ładunku do przewiezienia od od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy (i = 1¢m, j = 1¢n ) Macierz c ij może zawierać y koszty przewozu y długość trasy y zysk jednostkowy y czas przewozu Tablica przewozów - tabela zawierajaca plan przewozów) Węzeł (trasa) - element tablicy przewozów Model dualny zagadnienia transportowego max a i u i + b j v j i u i + v j ñ c ij j (i = 1, 2, ¢m ), (j = 1, 2, ¢n ) ui c R vj c R Wskaźniki optymalności w zagadnieniu transportowym ij = u i + v j − c ij Liczba zmiennych bazowych ij = 0 wynosi m + n − 1 Liczba nieznanych wartości u i oraz v j wynosi m + n Linia - wiersz lub kolumna tablicy przewozów Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 15 j Zadanie otwarte (niezbilansowane) a > b lub a < b Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 16 Algorytm transportowy IV.Kryterium WYJŚCIA z bazy A. Wyznaczenie cyklu I. Wyznaczenie wstępneg planu przewozów Metody y kąta płónocno - zachodniego (KPZ) y minimum w wierszu y minimum w kolumnie Metoda KPZ 1. Maksymalny przepływ na trasie (1, 1 ) : x 11 = min(a 1 , b 1 ) 2. Korekta podaży a 1 = a 1 − x 11 i popytu b 1 = b 1 − x 11 y minimum w macierzy kosztów jednostkowych 3. Wybór następnej trasy Wskazać węzły cyklu zawierającego trasę wchodzącą do bazy i oznaczyć elementy cyklu znakami “+” lub “-” (element wchdzący znakiem “+”) + - zbiór tras oznaczonych znakiem “+” − - zbiór tras oznaczonych znakiem “-” B. Wyznaczenie maksymalnego przewozu na trasach cyklu =min x ij − y metoda przydziałów r = r + 1, s = s + 1 jeżeli a r = 0, b s = 0 y metoda potencjałów r = r + 1 jeżeli a r = 0, b s > 0 4. Maksymalny przepływ na trasie (rs ) : x rs = min(a r , b s ) Wskaźniki optymalności ij = u i + v j − c ij lub ij = c ij − u i + v j Z bazy wypadnie trasa (r, s), dla której x rs = s = s + 1 jeżeli a r > 0, b s = 0 II. Kryterium optymalności Cykl - taki zbiór węzłów, że w każdej linii tego zbioru znajdują 2 węzły lub nie ma żadnego węzła tego zbioru V. Wyznaczenie nowego planu przewozów x ∏ij x ∏ij = x ij + dla (i,j)c + Degeneracja w trakcie rozwiazywania - jako zmienną bazową przyjmuje się tę, która wypadła z cyklu x ∏ij = x ij + dla (i,j)c − x ∏ij = x ij dla (i,j)" − oraz (i,j)" + 5. Jeżeli r = m oraz s = n to KONIEC postępowania 6. Korekta podaży a r = a r − x rs i popytub s = b s − x rs Ocena optymalności jak w algorytmie simpleks 7. Powrót do kroku 3 III.Kryterium WEJŚCIA do bazy kl =min ij (i = 1, 2, ..., m ) (j = 1, 2, ..., n ) ij <0 17 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii Postępowanie w przypadku niezbilansowania i ai < j bj podaż > popyt Fikcyjny dostawca m + 1. y i ai > j b j Jednostkowe koszty transportu Fikcyjny odbiorca n + 1. . c m+1j = 0 y j . cin+1 = 0 i y b n+1 = a i − b j y a m+1 = bj − a i j Macierz jednostkowych kosztów przewozu, ilość towaru u dostawców oraz zapotrzebowanie odbiorców Numer dostawcy podaż < popyt i i j Postępowanie w przypadku ograniczenia przepustowości trasy c ij = Przyjąć c kl = M (M >> 0 ) y Częściowa blokada trasy: ograniczenie na trasie (k, l ) wynosi x max kl max 2. Popyt: b l ∏ = (b k − x max kl ) i b l ∏∏ = x kl 3. Współczynniki: cil ∏ dla i = 1, ¢, m = cil i cil ∏∏ = cil Analogiczną procedurę postępowania można również rozpocząć od zastąpienia r-tego wiersza 4. Zablokować trasę (k, l ∏ ), tj. przyjmjąc ckl ∏ 374 496 5. Rozwiązać zmodyfikowany model 6. Optymalny plan przewozów do l-tego odbiorcy: x il = x il ∏ + x il ∏∏ (i = 1, ¢, m ) 3 1 3 7 4 100 2 0 9 6 200 80 150 70 300 [a i ] = 100 200 19 80 b j = 150 70 Model 3x 11 + 7x 12 + 4x 13 + 4x 21 + 9x 22 + 6x 23 x 11 + x 12 + x 13 x 21 + x 22 + x 23 x 21 x 22 x 23 t min = 100 = 200 = 80 = 150 = 70 u1 u2 v1 v2 v3 x ij ú 0 (i = 1, 2 j = 1, 2, 3 ) 1 0 Macierz współczynników A = 1 0 0 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii Podaż 2 i a i =j b j - zadanie zbilansowane x 11 + x 12 + x 13 = M (M >> 0) Numer odbiorcy 1 Popyt y Całkowita blokada trasy (k, l ) 1. Zastąpić l-tą kolumnę (odbiorcę) dwiema kolumnami l ∏ i l ∏∏ 18 Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 20 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 zmienne dualne Model dualny 100u 1 + 200u 2 + 80v 1 + 150v 2 + 70v 3 u1 + v1 ñ 3 u1 + v2 ñ 7 u1 + v3 ñ 4 u2 + v1 ñ 4 u2 + v2 ñ 9 u2 + v3 ñ 6 + 80 + 20 - 130 150 200 70 300 Optymalna wartość funkcji celu: = 4 $ 80 + 7 $ 100 + 9 $ 50 + 6 $ 70 = 1890 i j c ij x opt ij u i c R (i = 1, 2 ) v j c R (j = 1, 2, 3 ) = min − 100, 70 = 70 30 Tabela wskaźnikowa 100 70 t max ∏ Tabela przewozowa 80 3 7 5 1 3 4 9 6 7 4 ∏∏ x opt = 2 u v 80 80 50 150 + + 70 70 - 2 100 -1 200 4 300 2 120 80 150 70 9 7 -1 21 4 0 0 200 4 9 6 300 2 7 4 2 u v ∏∏ = 4 $ 80 + 7 $ 30 + 9 $ 120 + 4 $ 70 = 1890 i j c ij x opt ij ∏∏ 0 100 0 0 30 70 + (1 − ) 80 50 70 80 120 0 gdzie 0 ñ ñ 1 4 0 6 4 Na przykład 0 = 0, 5 opt x =0,5 = 0, 5 2 u 0 100 0 0 30 70 0 65 35 + (1 − 0, 5 ) = 80 50 70 80 120 0 80 85 35 i j c ij x opt =0,5 = 4 $ 80 + 7 $ 65 + 9 $ 85 + 4 $ 35 + 6 $ 35 = 1890 v Rozwiązanie jest niejednoznaczne bo liczba wskaźników optymalności równych 0 wynosi (4+1) > (2+3-1) Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 7 0 30 70 80 120 0 ∏ 7 2 100 x opt = x opt + (1 − )x opt = Kryterium optymalności: u i + v j − c ij ñ 0 - 80 70 0 0 = min − 80, 130 = 80 100 0 100 0 80 50 70 ∏ Rozwiązanie optymalne x opt = Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 22