Geometria - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

Uniwersytet Łódzki
Wydział Matematyki i Informatyki
Geometria
II rok matematyki
rok akademicki 2012/2013
Podpowiedzi do zagadnienia egzaminacyjne
(numeracja jak w notatkach geometria.pdf)
I. Podstawowe pojęcia i metody
(1) związki miarowe w przestrzeni euklidesowej
(2) związki miarowe na sferze
(3) związki miarowe w przestrzeni hiperbolicznej
(4) modele płaszczyzny hiperbolicznej
(5) izometrie 2–wymiarowych przestrzeni modelowych
(6) porównywanie 2–wymiarowych przestrzeni modelowych
(7) obiekty metryczne
(8) związki geometrii z algebrą i topologią
Przykładowe pytania testowe:
Odległość
(1) NIE
(2) NIE
(3) NIE
l punktów A i B w przestrzeni X spełnia warunek
l2 = kA − Bk, gdy X = En .
sin l = 1 − hA, Bi2 , gdy X = Sn .
l = −hA|Bi, gdy X = Hn .
W modelu na półpłaszczyźnie prosta hiperboliczna może być zawarta w
zbiorze o równaniu
(1) NIE y = x.
(2) NIE (x − 1)2 + (y − 1)2 = 4.
(3) TAK x2 + y 2 = 2x.
Geodezyjną na płaszczyźnie euklidesowej jest krzywa
(1) NIE c(t) = (t, t), t ∈ [0, 1].
(2) TAK c(t) = ( 53 t + 1, 45 t − 1), t ∈ [0, 1].
(3) NIE c(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, π].
Izometrią
(1) NIE
(2) NIE
(3) NIE
hiperboliczną w modelu w kole jest
każda translacja o wektor równoległy do osi rzeczywistej.
symetria względem osi Re z = − 12 .
każda inwersja względem okręgu o środku w początku układu.
Trzeci bok trójkąta prostokątnego równoramiennego o ramionach 1 ma
(1) TAK na płaszczyźnie euklidesowej długość 2 cos π4 .
(2) NIE na sferze długość mniejszą niż π2 .
1
2
(3) NIE na płaszczyźnie hiperbolicznej długość 2.
Na sferze istnieje trójkąt
(1) TAK o wszystkich kątach prostych.
(2) TAK o wszystkich kątach rozwartych.
(3) TAK o kącie mniejszym niż π6 .
Dwa trójkąty, każdy o kątach α, β, γ, są przystające
(1) NIE na sferze i płaszczyźnie euklidesowej.
(2) TAK na sferze i płaszczyźnie hiperbolicznej.
(3) TAK na sferze.
II. Definicje
(1) geodezyjna 2.2.1
(2) przestrzeń geodezyjna 2.2.5
(3) długość krzywej 2.3.3
(4) odległość euklidesowa 3.1.1
(5) symetria hiperpłaszczyznowa 3.3.2
(6) kąt wewnętrzny trójkąta euklidesowego 3.2.1
(7) odległość sferyczna 4.1.2
(8) kąt wewnętrzny trójkąta sferycznego 4.2: 1,2
(9) dwukąt sferyczny 4.4.2
(10) sferyczna symetria hiperpłaszczyznowa 4.3: 3,4
(11) inwersja 5.1.1
(12) dyfeomorfizm konforemny 5.2.1
(13) forma Lorentza 6.2.1
(14) odległość hiperboliczna 6.3.1
(15) kąt wewnętrzny trójkąta hiperbolicznego 6.4: 1,2
(16) hiperboliczna symetria hiperpłaszczyznowa 6.7: 1,3
(17) brzeg idealny 6.6.1
(18) uogólniony trójkąt hiperboliczny 6.8.3
(19) pole hiperboliczne 6.8.2
(20) rozmaitość topologiczna 7.1.1
(21) grupa Liego 7.2.4
(22) wolne, przechodnie działanie grupy 7.2.2
(23) przestrzeń jednospójna 7.1.5
(24) nakrycie uniwersalne 7.1.6
(25) geometria modelowa 7.3.1
III. Twierdzenia
(1) postać geodezyjnych w przestrzeni euklidesowej 3.1.4
(2) suma kątów w trójkącie euklidesowym 3.2.5
(3) pole trójkąta euklidesowego 3.4.2
(4) poprawność określenia odległości sferycznej 4.1.2
(5) postać geodezyjnych na sferze 4.1.6
(6) sferyczne twierdzenie cosinusów 4.2.3
(7) sferyczne twierdzenie sinusów 4.2.5
(8) II sferyczne twierdzenie cosinusów 4.2.6
(9) suma kątów w trójkącie sferycznym 4.2.7
(10) pole trójkąta sferycznego 4.4.4
(11) klasyfikacja izometrii sferycznych 4.3: 1,2
3
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
wypukłość kul sferycznych 4.1.9
odwrotność i punkty stałe inwersji 5.1.6
obrazy sfer i hiperpłaszczyzn w inwersji 5.1.8
twierdzenie Liouville’a 5.2.5
własności formy Lorentza 6.2.5
poprawność określenia odległości hiperbolicznej 6.3.1
postać geodezyjnych w przestrzeni hiperbolicznej 6.3.5
hiperboliczne twierdzenie cosinusów 6.4.4
hiperboliczne twierdzenie sinusów 6.4.6
II hiperboliczne twierdzenie cosinusów 6.4.7
suma kątów w trójkącie hiperbolicznym 6.4.8
homeomorfizm przestrzeni hiperbolicznej z kulą 6.5.1
odległość w modelu w kuli 6.5.3
odległość w modelu na półprzestrzeni 6.5.8
odległość hiperboliczna w B 2 i Π2,+ 6.5: 5,9
postać geodezyjnej przechodzącej przez 0 w modelu w kuli 6.6.10
własności hiperbolicznej symetrii hiperpłaszczyznowej 6.7.4
hiperboliczny V postulat 6.7.11
istnienie hiperbolicznej hiperpłaszczyzny symetralnej 6.7.5
pole uogólnionego trójkąta hiperbolicznego 6.8.4
klasyfikacja izometrii hiperbolicznych w różnych modelach 6.7: 12,14,15
klasyfikacja orientowalnych powierzchni zwartych 7.4.1
geometrie modelowe Thurstona 7.5.2
hipoteza geometryzacyjna 7.5.3
IV. Dowody twierdzeń
(1) postać geodezyjnych w przestrzeni euklidesowej 3.1.4
(2) suma kątów w trójkącie euklidesowym 3.2.5
(3) poprawność określenia odległości sferycznej 4.1.2
(4) postać geodezyjnych na sferze 4.1.6
(5) sferyczne twierdzenie cosinusów 4.2.3
(6) suma kątów w trójkącie sferycznym 4.2.7
(7) pole trójkąta sferycznego 4.4.4
(8) odwrotność i punkty stałe inwersji 5.1.6
(9) własności formy Lorentza 6.2.5
(10) poprawność określenia odległości hiperbolicznej 6.3.1
(11) hiperboliczne twierdzenie sinusów 6.4.6
(12) II hiperboliczne twierdzenie cosinusów 6.4.7
(13) odległość w modelu w kuli 6.5.3
(14) hiperboliczny V postulat 6.7.11
(15) pole uogólnionego trójkąta hiperbolicznego 6.8.4